浙教版数学八年级上册第1章三角形的初步知识 有关全等三角形的开放题与探究题专题（含答案）

有关全等三角形的开放题与探究题

(教材P35探究活动)
如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出四个论断：①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF.
任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？分别给出证明．

　(教材母题图)
解：(1)①③④为条件，
②为结论；
∵BE＝CF，
∴BE＋CE＝CF＋CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴AC＝DF.故本命题为真命题；
(2)①②④为条件，③为结论；
∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠ABC＝∠DEF.故本命题为真命题；
(3)①②③为条件，④为结论；
无法证明△ABC≌△DEF，故本命题不是真命题．
(4)②③④为条件，①为结论；
无法证明△ABC≌△DEF，故本命题不是真命题．
综上所述，可得到4个命题，其中真命题有2个．
【思想方法】 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
　条件探索型问题
1．[余姚期中]如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是(　　)
A．BD＝DC，AB＝AC
B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DC
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD
D．∠B＝∠C，BD＝DC

(第1题图) 　　 (第2题图)
2．[台州校级期中]如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是(　　)
A．∠A＝∠D B．BC＝EF
C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF
3．[杭州临安区期末]如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：____(写出一个条件即可)，可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．

(第3题图) (第4题图)
4．[金华校级期中]已知：如图，D，E是△ABC中BC边上的两点，AD＝AE，要证明△ABE≌△ACD，应该再增加一个什么条件？请你增加这个条件后再给予证明．




　结论探索型问题
5．[杭州上城区期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，有下列说法：①CD＝BE；②∠ADB＝112.5°；③AC＋CD＝AB；④若△DEB的面积为1，点P是边AB上的中点，则△ADP的面积为2＋.其中正确的是(　　)
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①②③④

(第5题图) 　　 (第6题图)
6．[台州校级期中]如图，在Rt△ABC 中，∠B＝45°，AB＝AC，点D为BC中点，直角∠MDN 绕点 D 旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③BE＋CF＝EF；④△BDE≌△ADF，其中正确结论是(　　)
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．①②③④
7．[绍兴柯桥区校级期中]如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.则下面结论中：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有____．

(第7题图)
8．[台州校级期中]如图，△ABC是等边三角形，D，E分别为BC，AC的中点，P是AD上一动点，当EP＋PC最短时，PE，PC满足的数量关系是__ _．

(第8题图)
9．[宁波校级期中]如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一点，点D在边OA上．爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OB上取一点E，使得PE＝PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间有一定的数量关系，请你写出∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系．

(第9题图) 　







10．[乐清校级期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，沿BD对折恰使点A落在BC边上的E点，EC上有一点F，且DF＝CF.
(1)求证：DF＝AD；
(2)猜想：BC与BD＋AD的关系，并说明理由．

　(第10题图)






11．[金华校级期中]如图，AD是△ABC的高线，E为AC上一点，BE交AD于F，且有DC＝FD，AC＝BF.
(1)证明：△BFD≌△ACD；
(2)若AB＝，求AD的长；
(3)请猜想BF和AC的位置关系并说明理由．

　(第11题图)








12．[台州校级期中](1)阅读理解：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若 AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化到△ADF中即可判断．请将上述方法补充完整；
(2)问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

(第12题图)




13．[杭州上城区校级期中]如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，且∠ABE＝∠CBE.
(1)求证：AB＝CB；
(2)若∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H；
①判断线段BH与AC相等吗？请说明理由；
②求证：BG2－GE2＝EA2.

(第13题图) 　




14．[金华校级期中]如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ.

　(第14题图)
(1)求∠PCQ的度数；
(2)当AB＝4，AP∶CP＝1∶3时，求PQ的长；
(3)当点P在线段AC上运动时(P不与A，C重合)，请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．





　条件、结论都探索的问题
15．[绍兴柯桥区校级期中]学完“等腰三角形”一章后，老师布置了一道思考题：如图1，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q.求证：∠BQM＝60°.
(1)请你完成这道思考题；
(2)做完(1)后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM＝CN”与“∠BQM＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②如图2，若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM＝60°？

　(第15题图)
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①____；②____．选择一个给出证明．






16．[海宁校级期末]探究题：
(1)如图1，△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P在边BC上，若这两点分别从C，B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连结AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP＝BD成立吗？请证明你的结论；
(2)如果把原题中：“动点D在边CA上，动点P在边BC上”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条件不变，如图2所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．求证：∠BQP＝60°；
(3)如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连结PD交BC于E”，其他条件不变，如图3，则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程．

(第16题图)












　图形变化型问题
17．[杭州临安区期末]在直线上顺次取 A，B，C 三点，分别以 AB，BC 为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为 D，E.
(1)如图1，连结 CD，AE，求证：CD＝AE；
(2)如图2，若 AB＝1，BC＝2，求 DE 的长；
(3)如图3，将图2中的正三角形 BCE绕B点作适当的旋转，连结AE，若有DE2＋BE2＝AE2，试求∠DEB 的度数．

(第17题图)






18．[湖州校级期中]已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
(1)如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是__ __，QE与QF的数量关系为__ __；
(2)如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；(提示：延长FQ与AE交于点D)
(3)如图3，当点P在线段BA(或AB)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

(第18题图)







19．[义乌校级期中]定义：四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形．我校“快乐走班”数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB＝6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q.

(第19题图)
(1)求证：DP＝DQ；
(2)如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连结PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
(3)如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连结PE，若AB∶AP＝3∶4，请帮小明算出△DEP的面积．









答案
　条件探索型问题
1．[余姚期中]如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是(　D　)
A．BD＝DC，AB＝AC
B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DC
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD
D．∠B＝∠C，BD＝DC
【解析】 全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．

(第1题图) 　　 (第2题图)
2．[台州校级期中]如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是(　D　)
A．∠A＝∠D B．BC＝EF
C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF
【解析】 ∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，
∴添加∠A＝∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF.
故选D.
3．[杭州临安区期末]如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：__AC＝AD__等(答案不唯一)__(写出一个条件即可)，可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．

(第3题图) (第4题图)
4．[金华校级期中]已知：如图，D，E是△ABC中BC边上的两点，AD＝AE，要证明△ABE≌△ACD，应该再增加一个什么条件？请你增加这个条件后再给予证明．
解：本题答案不唯一，增加一个条件可以是：EC＝BD或AB＝AC或BE＝CD或∠B＝∠C或∠BAD＝∠CAE或∠BAE＝∠CAD等．
证明：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，
∵EC＝BD，∴CD＝BD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)．
　结论探索型问题
5．[杭州上城区期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，有下列说法：①CD＝BE；②∠ADB＝112.5°；③AC＋CD＝AB；④若△DEB的面积为1，点P是边AB上的中点，则△ADP的面积为2＋.其中正确的是(　A　)
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①②③④
【解析】 ∵△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，
∴DE＝BE，
∵CD＝DE，∴CD＝BE，故①正确．
∵AD平分∠CAB，∴∠DAB＝∠CAB＝22.5°，
又∵∠B＝45°，∴在△ADB中，∠ADB＝180°－∠DAB－∠B＝112.5°.故②正确．
∵△ACD≌△AED(AAS)，∴AC＝AE.
又∵CD＝BE，∴AC＋CD＝AE＋BE＝AB.故③正确．
∵△DEB为等腰直角三角形，
∴DE＝BE＝，BD＝2，
∴BC＝＋2，AB＝2＋2，
∵P为AB中点，∴AP＝AB＝1＋.
∴S△ADP＝AP·DE
＝×(1＋)×＝1＋，故④错误．

(第5题图) 　　 (第6题图)
6．[台州校级期中]如图，在Rt△ABC 中，∠B＝45°，AB＝AC，点D为BC中点，直角∠MDN 绕点 D 旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③BE＋CF＝EF；④△BDE≌△ADF，其中正确结论是(　C　)
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．①②③④
【解析】 ∵∠B＝45°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF＋∠ADE＝90°，
∵∠BDE＋∠ADE＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF＝∠BDE，
在△BDE和△ADF中，
∠CAD＝∠B，AD＝BD，∠ADF＝∠BDE，
∴△BDE≌△ADF(ASA)，故④正确；
∴DE＝DF，BE＝AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∵AE＝AB－BE，CF＝AC－AF，
∴AE＝CF，故②正确；
∵BE＋CF＝AF＋AE，
∴BE＋CF＞EF，故③错误．故选C.
7．[绍兴柯桥区校级期中]如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.则下面结论中：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有__①②③④__．

(第7题图)
【解析】 已知DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，
∴∠EDA＝∠FDA，①正确；
可证△ADE≌△ADF，
故有AE＝AF，DE＝DF，②正确；
AD是△ABC的平分线，AB＝AC，根据“三线合一”可知AD是BC的垂直平分线，
∴AD上的点到B，C两点距离相等，③正确；
根据图形的对称性可知，图中共有3对全等三角形，④正确．
8．[台州校级期中]如图，△ABC是等边三角形，D，E分别为BC，AC的中点，P是AD上一动点，当EP＋PC最短时，PE，PC满足的数量关系是__PC＝2PE__．

(第8题图) 　　第8题答图
【解析】 ∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴B，C关于直线AD对称，
∴如答图，连结BE，交AD于点P′，
则此时EP＋PC最短，
∵E为AC的中点，
∴BE⊥AC，∠ABE＝∠CBE＝30°，
∴∠P′CB＝30°，∴∠P′CE＝30°，
∴P′C＝2P′E.
9．[宁波校级期中]如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一点，点D在边OA上．爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OB上取一点E，使得PE＝PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间有一定的数量关系，请你写出∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系．

(第9题图) 　　第9题答图
解：数量关系是∠OEP＝∠ODP或∠OEP＋∠ODP＝180°.理由：如答图，以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连结PE2，根据SAS证△E2OP≌△DOP，推出E2P＝PD，得出此时点E2符合条件，此时∠OE2P＝∠ODP；以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连结PE1，根据等腰三角形性质推出∠PE2E1＝∠PE1E2，求出∠OE1P＋∠ODP＝180°.
10．[乐清校级期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，沿BD对折恰使点A落在BC边上的E点，EC上有一点F，且DF＝CF.
(1)求证：DF＝AD；
(2)猜想：BC与BD＋AD的关系，并说明理由．

　(第10题图)
解：(1)∵∠A＝100°，
AB＝AC，∴∠C＝40°，
又∵DF＝CF，
∴∠DFE＝80°，
∵∠BED＝∠A＝100°，
∴∠DEF＝80°，
∴DE＝DF，∵DE＝AD，∴DF＝AD.
(2)BC＝BD＋AD.
理由：∵∠DEF＝∠DFE＝80°，
∴∠EDF＝20°，∴∠BDF＝80°，
∴BD＝BF，∵CF＝DF＝AD，
∴BC＝BF＋FC＝BD＋AD.
11．[金华校级期中]如图，AD是△ABC的高线，E为AC上一点，BE交AD于F，且有DC＝FD，AC＝BF.
(1)证明：△BFD≌△ACD；
(2)若AB＝，求AD的长；
(3)请猜想BF和AC的位置关系并说明理由．

　(第11题图)
解：(1)证明：∵AD是△ABC的高线，
∴△ACD与△BFD都是直角三角形，
∵DC＝FD，AC＝BF，
∴Rt△BFD≌Rt△ACD.
(2)∵Rt△ACD≌Rt△BFD，∴AD＝BD.
在Rt△ABD中，∵AD2＋BD2＝AB2，
∴2AD2＝AB2，∴AD＝；
(3)BF⊥AC.理由：
∵△ADC≌△BDF，∴∠EBC＝∠DAC.
又∵∠DAC＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＋∠ACD＝90°，
∴∠BEC＝90°，∴BF⊥AC.
12．[台州校级期中](1)阅读理解：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若 AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化到△ADF中即可判断．请将上述方法补充完整；
(2)问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

(第12题图)
解：(1)∵AB∥DC，∴∠BAF＝∠F，
∵E是BC的中点，∴CE＝BE，
在△AEB和△FEC中，
∵∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE，
∴△AEB≌△FEC，∴AB＝FC，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD，
∴AD＝DC＋CF＝DC＋AB；
(2)AB＝AF＋CF.
证明：如答图，延长AE交DF的延长线于点G，

第12题答图
∵E是BC的中点，∴CE＝BE，
∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G，
在△AEB和△GEC中，
∵∠BAE＝∠G，∠AEB＝∠GEC，BE＝CE，
∴△AEB≌△GEC，
∴AB＝GC，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠FAG，
∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，
∴AB＝CG＝AF＋CF.
13．[杭州上城区校级期中]如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，且∠ABE＝∠CBE.
(1)求证：AB＝CB；
(2)若∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H；
①判断线段BH与AC相等吗？请说明理由；
②求证：BG2－GE2＝EA2.

(第13题图) 　　第13题答图
解：(1)证明：在△ABE与△CBE中，

∴△ABE≌△CBE(SAS)，∴AB＝CB.
(2)①BH＝AC.
理由：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BCD＝∠ABC＝45°，∠A＋∠DCA＝90°，∠A＋∠ABE＝90°，
∴DB＝DC，∠ABE＝∠DCA，
在△DBH与△DCA中，

∴△DBH≌△DCA(ASA)，
∴BH＝AC.
②证明：如答图，连结CG，AG，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，∴AG＝CG，
∵F点是BC的中点，DB＝DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG＝CG，∴AG＝BG，
在Rt△AEG中，AG2－GE2＝EA2，
∴BG2－GE2＝EA2.
14．[金华校级期中]如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ.

　(第14题图)
(1)求∠PCQ的度数；
(2)当AB＝4，AP∶CP＝1∶3时，求PQ的长；
(3)当点P在线段AC上运动时(P不与A，C重合)，请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．
解：由题意知，△ABP≌△CBQ，
∴∠A＝∠ACB＝∠BCQ＝45°，
∴∠PCQ＝∠ACB＋∠BCQ＝90°；
(2)当AB＝4，AP∶PC＝1∶3时，有AC＝4，AP＝，PC＝3，∴PQ＝＝2；
(3)存在2PB2＝PA2＋PC2.
易证△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB，
∵AP＝CQ，∴PQ2＝PC2＋CQ2＝PA2＋PC2，
故有2PB2＝PA2＋PC2.
　条件、结论都探索的问题
15．[绍兴柯桥区校级期中]学完“等腰三角形”一章后，老师布置了一道思考题：如图1，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q.求证：∠BQM＝60°.
(1)请你完成这道思考题；
(2)做完(1)后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM＝CN”与“∠BQM＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②如图2，若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM＝60°？

　(第15题图)
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①__是__；②__是__．选择一个给出证明．
解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，
在△ABM和△BCN中，
∴△ABM≌△BCN(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠BAM＋∠ABQ＝∠CBN＋∠ABQ＝∠ABM＝60°；
(2)①是，证明如下：
∵∠BQM＝60°，∴∠BQM＝∠ABM，
∴∠BAM＋∠ABQ＝∠CBN＋∠ABQ，
∴∠BAM＝∠CBN，
在△ABM和△BCN中，
∴△ABM≌△BCN(ASA)，
∴BM＝CN；
②是，证明方法同(1)．
16．[海宁校级期末]探究题：
(1)如图1，△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P在边BC上，若这两点分别从C，B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连结AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP＝BD成立吗？请证明你的结论；
(2)如果把原题中：“动点D在边CA上，动点P在边BC上”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条件不变，如图2所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．求证：∠BQP＝60°；
(3)如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连结PD交BC于E”，其他条件不变，如图3，则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程．

(第16题图)
解：(1)成立．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，
根据题意得CD＝BP，
∴△ABP≌△BCD(SAS)，
∴AP＝BD；
(2)证明：根据题意CP＝AD，
∴CP＋BC＝AD＋AC，即BP＝CD，
∴△ABP≌△BCD(SAS)，
∴∠APB＝∠BDC，
∵∠APB＋∠PAC＝∠ACB＝60°，∠DAQ＝∠PAC，
∴∠BDC＋∠DAQ＝∠BQP＝60°；
(3)DE＝PE.
证明：如答图，过点D作DG∥AB交BC于点G，

第16题答图
∴∠CDG＝∠C＝∠CGD＝60°，∠GDE＝∠BPE，
∴△DCG为等边三角形，
∴DG＝CD＝BP，∵∠DEG＝∠PEB，
∴△DGE≌PBE(AAS)，∴DE＝PE.
　图形变化型问题
17．[杭州临安区期末]在直线上顺次取 A，B，C 三点，分别以 AB，BC 为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为 D，E.
(1)如图1，连结 CD，AE，求证：CD＝AE；
(2)如图2，若 AB＝1，BC＝2，求 DE 的长；
(3)如图3，将图2中的正三角形 BCE绕B点作适当的旋转，连结AE，若有DE2＋BE2＝AE2，试求∠DEB 的度数．

(第17题图)
解：(1)证明：∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD，BC＝BE＝EC，
∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC；
(2)如答图①，取BE中点F，连结DF，
∵BD＝AB＝1，BE＝BC＝2，
∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴BF＝EF＝1＝BD，∠DBF＝60°，
∴△DBF是等边三角形，
∴DF＝BF＝EF，∠DFB＝60°，
∵∠BFD＝∠FED＋∠FDE，
∴∠FDE＝∠FED＝30°，
∴∠EDB＝180°－∠DBE－∠DEB＝90°，
∴DE＝＝＝；

① ②
第17题答图
(3)如答图②，连结DC，
∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD，BC＝BE＝EC，
∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC.
∵DE2＋BE2＝AE2，BE＝CE，
∴DE2＋CE2＝CD2，
∴∠DEC＝90°，∵∠BEC＝60°，
∴∠DEB＝∠DEC－∠BEC＝30°.
18．[湖州校级期中]已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
(1)如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是__AE∥BF__，QE与QF的数量关系为__QE＝QF__；
(2)如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；(提示：延长FQ与AE交于点D)
(3)如图3，当点P在线段BA(或AB)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

(第18题图)
解：(1)AE∥BF，QE＝QF.
∵Q为AB中点，∴AQ＝BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ＝∠AEQ＝90°，
在△BFQ和△AEQ中，
∴△BFQ≌△AEQ(AAS)，∴QE＝QF.
(2)QE＝QF.
证明：如答图①，延长FQ交AE于D，
∵Q为AB中点，∴AQ＝BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，
∴∠QAD＝∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中，
∴△FBQ≌△DAQ(ASA)，
∴QF＝QD，∵AE⊥CP，
∴EQ是Rt△DEF斜边上的中线，
∴QE＝QF＝QD，即QE＝QF.

第18题答图
(3)(2)中的结论仍然成立．
证明：如答图②，延长EQ，FB交于D，
∵Q为AB中点，∴AQ＝BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∴∠1＝∠D，
在△AQE和△BQD中，
∴△AQE≌△BQD(AAS)，
∴QE＝QD，∵BF⊥CP，
∴FQ是斜边DE上的中线，∴QE＝QF.
19．[义乌校级期中]定义：四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形．我校“快乐走班”数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB＝6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q.

(第19题图)
(1)求证：DP＝DQ；
(2)如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连结PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
(3)如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连结PE，若AB∶AP＝3∶4，请帮小明算出△DEP的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝90°，
∵∠PDQ＝90°，
∴∠ADP＋∠PDC＝90°，
∠CDQ＋∠PDC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ，
在△ADP与△CDQ中，
∴△ADP≌△CDQ(ASA)，
∴DP＝DQ；
(2)PE＝QE.证明如下：
∵DE是∠PDQ的平分线，
∴∠PDE＝∠QDE，
在△PDE与△QDE中，
∴△PDE≌△QDE(SAS)，∴PE＝QE；
(3)∵AB∶AP＝3∶4，AB＝6，
∴AP＝8，BP＝2，
由(1)知：△ADP≌△CDQ，则AP＝CQ＝8，
由(2)知：△PDE≌△QDE，PE＝QE，
设CE＝x，则PE＝QE＝CQ－CE＝8－x，
在Rt△PEB中，BP＝2，BE＝6＋x，PE＝8－x，
由勾股定理得22＋(6＋x)2＝(8－x)2，解得x＝，
∴QE＝8－＝，
∴S△DEP＝S△DEQ＝QE·DC＝××6＝.