浙教版九年级有关切线问题的辅助线作法专题（含答案）
文档属性
| 名称 | 浙教版九年级有关切线问题的辅助线作法专题（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 508.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-28 16:36:16 | ||
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文档简介
有关切线问题的辅助线作法
一、切线的性质
(教材P44作业题第5题)
如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于F点，已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．
(教材母题图) 教材母题答图
解：连结OE，如答图所示：
∵BC⊥AC于点C，∴∠C＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝12，BC＝9，根据勾股定理得AB＝15，
∵AC切半圆于点E，∴OE⊥AC，
∴OE∥BC，∴＝，
设OE为x，则AO为15－x，
∴＝，解得x＝，
则AO＝AB－BO＝15－＝.
与切线有关的长度计算
1．如图，已知⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切，若正方形的边长为2，则圆的半径为( )
A. B. C. D．1
(第1 题图)
2．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为( )
(第2题图)
A. B. C．3 D．2
3．一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长是( )
A．2 B. C．2 D．3
(第3题图)
4．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D.
(1)求证：AT平分∠BAC；
(2)若AD＝2，TC＝，求⊙O的半径．
(第4题图)
5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E为AB上一点，O是BC上一点，∠C＝∠BEO，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，AC是⊙O的切线．
(1)求证：OE＝OC；
(2)若BE＝4，BC＝8，求OE的长．
(第5题图)
6．△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径．
(1)过点B的切线与OA的延长线交于点P，如图1，若∠C＝∠ABC，AB＝2，求切线BP的长；
(2)过点A作AD⊥BC于D，交⊙O于H，过点B作弦BF交AD于E，交⊙O于F，且AE＝BE，如图2.求证：＝.
(第6题图)
与切线有关的角度计算
7．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M，N，⊙O与AB，AC相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为( )
A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
(第7题图)
8．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于( )
A．30° B．60° C．45° D．50°
(第8题图)
9．如图，已知，PD为⊙O的直径，直线BC切⊙O于点C，BP的延长线与CD的延长线交于点A，∠A＝28°，∠B＝26°，则∠PDC等于( )
A．34° B．36° C．38° D．40°
(第9题图)
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠C＝130°，则∠ADP＝____．
(第10题图)
11．如图，已知⊙O上有A，B，C三点，D是OB延长线上的点，∠BDC＝30°，CD是⊙O的切线，⊙O的半径为.
(1)求∠A的度数；
(2)如果AC∥BD，请判断四边形ACDB是什么四边形，并求其周长．
( 第11题图)
12．已知⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B.
(1)如图1，若∠BAC＝25°，求∠M的大小；
(2)如图2，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠M的大小．
(第12题图)
二、切线的判定
(教材P44练习题第4题)
已知，如图，PA是⊙O的切线，A是切点，B为⊙O上的一点，PA＝PB.求证：PB是⊙O切线．
(教材母题图) 教材母题答图
证明：连结OA，OB，OP，如答图，
在△AOP和△BOP中，
∴△AOP≌△BOP，∵OA⊥AP，
∴OB⊥BP，即PB是⊙O的切线．
【思想方法】证明某直线为圆的切线时，如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角这一性质．
有共点、作半径、证垂直
13．如图，△ABC中，∠ACB＝ 90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．
(第13题图)
14．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC＝∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D.
(1)试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB＝30°，求CE的长．
(第14题图)
15．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．
(第15题图)
16．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，CA＝4，∠ABC的角平分线BD交AC于点D，点E是线段AB上的一点，以BE为直径的⊙O过点D.
(1)求证：AC是圆O的切线；
(2)求AE的长．
(第16题图)
17．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC＝FC.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径r.
(第17题图)
无共点、作垂直、证半径
18．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD是小圆的切线．
(第18题图)
19．如图，已知四边形ABCD，∠B＝90°，AD∥BC，并且AD＋BC＝CD，O为AB的中点．
(1)求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；
(2)若OC＝8 cm，OD＝6 cm，求CD的长．
(第19题图)
答案
与切线有关的长度计算
1．如图，已知⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切，若正方形的边长为2，则圆的半径为( B )
A. B. C. D．1
(第1 题图) 第1题答图
【解析】 如答图，过点O作OE⊥AB于E，连结OA，设⊙O的半径为r，
∵正方形的边长为2，∴AE＝1，OE＝2－r，
在Rt△OAE中，AE2＋OE2＝OA2，
即12＋(2－r)2＝r2，解得r＝.
2．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为( B )
(第2题图)
A. B. C．3 D．2
解：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠Q＝90°，
∴PQ2＝OP2－OQ2，即PQ＝，
当OP最小时，PQ最小，
∵点O到直线l的距离为3，
∴OP的最小值为3，
∴PQ的最小值为＝.
3．一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长是( D )
A．2 B. C．2 D．3
(第3题图) 第3题答图
【解析】 如答图，连结OC，并过点O作OF⊥CE于F，
∵△ABC为等边三角形，边长为4，
∴△ABC的高为2，∴OC＝，
又∵∠ACB＝60°，∴∠OCF＝30°，
在Rt△OFC中，可得FC＝，∴CE＝2FC＝3.
4．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D.
(1)求证：AT平分∠BAC；
(2)若AD＝2，TC＝，求⊙O的半径．
(第4题图) 第4题答图
解：(1)证明：如答图，连结OT，
∵PQ切⊙O于T，∴OT⊥PQ，
又∵AC⊥PQ，∴OT∥AC，
∴∠TAC＝∠ATO，
又∵OT＝OA，∴∠ATO＝∠OAT，
∴∠OAT＝∠TAC，即AT平分∠BAC.
(2)过点O作OM⊥AC于M，
∴AM＝MD＝＝1，
又∵∠OTC＝∠ACT＝∠OMC＝90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴OM＝TC＝，在Rt△AOM中，
AO＝＝＝2.
即⊙O的半径为2.
5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E为AB上一点，O是BC上一点，∠C＝∠BEO，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，AC是⊙O的切线．
(1)求证：OE＝OC；
(2)若BE＝4，BC＝8，求OE的长．
(第5题图) 第5题答图
解：(1)证明：设AC切⊙O于Q，连结OQ，如答图，
∵AC是⊙O的切线，∴∠CQO＝90°，
在△OQC和△OBE中，
∵∠B＝∠CQO＝90°，∠C＝∠BEO，BO＝OQ，
∴△OQC≌△OBE，∴OC＝OE；
(2)设OE＝OC＝x，则BO＝8－x，
在Rt△OQC中，OQ2＋QC2＝OC2，
∴42＋(8－x)2＝x2，
∴x＝5，即OE＝5.
6．△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径．
(1)过点B的切线与OA的延长线交于点P，如图1，若∠C＝∠ABC，AB＝2，求切线BP的长；
(2)过点A作AD⊥BC于D，交⊙O于H，过点B作弦BF交AD于E，交⊙O于F，且AE＝BE，如图2.求证：＝.
(第6题图)
解：(1)∵BC是直径，∴∠BAC＝90°.
∵∠C＝∠ABC，∴∠ABC＝∠AOB.
又∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，
∴BO＝AB＝2，∠AOB＝60°，
∵BP是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°.
在Rt△PBO中，PB＝BO＝2；
(2)证明：∵AD⊥BC，BC是直径，∴＝.
∵AE＝BE，∴∠ABF＝∠BAH，
∴＝，∴＝.
与切线有关的角度计算
7．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M，N，⊙O与AB，AC相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为( A )
A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
(第7题图) 第7题答图
【解析】 如答图，连结OA，
∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB，
∵∠A＝90°，∴OD∥AC，
∵O为BC的中点，∴OD＝AC＝2，
∵∠DOB＝45°，
∴∠MND＝∠DOB＝22.5°.
8．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于( C )
A．30° B．60° C．45° D．50°
(第8题图) 第8题答图
【解析】 如答图，连结OC，
∵OC＝OA，PD平分∠APC，
∴∠CPD＝∠DPA，∠A＝∠ACO，
∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，
∵∠CPO＋∠COP＝90°，
∴(∠CPD＋∠DPA)＋(∠A＋∠ACO)＝90°，
∴∠DPA＋∠A＝45°，即∠CDP＝45°.
9．如图，已知，PD为⊙O的直径，直线BC切⊙O于点C，BP的延长线与CD的延长线交于点A，∠A＝28°，∠B＝26°，则∠PDC等于( B )
A．34° B．36° C．38° D．40°
(第9题图) 第9题答图
【解析】 如答图，连结OC，
∵直线BC切⊙O于点C，
∴∠OCB＝90°，
∵∠A＝28°，∠B＝26°，
∴∠ACB＝180°－∠B－∠A＝126°，
∠OCD＝∠ACB－∠OCB＝36°，
∵OC＝OD，∴∠PDC＝∠OCD＝36°.
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠C＝130°，则∠ADP＝__40°__．
(第10题图) 第10题答图
【解析】 如答图，连结OD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝130°，
∴∠DAO＝180－∠C＝50°，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝50°，
∵PD是⊙O的切线，∴OD⊥PD，
∴∠ADP＝90°－∠ODA＝40°.
11．如图，已知⊙O上有A，B，C三点，D是OB延长线上的点，∠BDC＝30°，CD是⊙O的切线，⊙O的半径为.
(1)求∠A的度数；
(2)如果AC∥BD，请判断四边形ACDB是什么四边形，并求其周长．
( 第11题图) 第11题答图
解：(1)如答图，连结OC，
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，
即∠OCD＝90°，
∵∠BDC＝30°，∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝∠BOC＝30°；
(2)四边形ACDB是平行四边形．
∵AC∥BD，∴∠D＋∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°－30°＝150°，
∴∠ACD＋∠BAC＝180°，∴AB∥CD，
∴四边形ACDB是平行四边形．
在Rt△DOC中，∠OCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴OD＝2OC＝2，
∴CD＝＝，BD＝OB＝，
∴四边形ACDB的周长为：2(＋)＝2＋2.
12．已知⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B.
(1)如图1，若∠BAC＝25°，求∠M的大小；
(2)如图2，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠M的大小．
(第12题图)
解：(1)∵MA切⊙O于点A，
∴∠MAC＝90°.又∵∠BAC＝25°，
∴∠MAB＝∠MAC－∠BAC＝65°.
∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，
∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA.
∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝50°；
(2)如答图，连结AD，AB.
第12题答图
∵MA⊥AC，BD⊥AC，∴BD∥MA.又∵BD＝MA.
∴四边形MADB是平行四边形．
∵MA＝MB，
∴四边形MADB是菱形，
∴AD＝BD.
又∵AC为直径，BD⊥AC，得＝，∴AB＝AD.
∴△ABD是等边三角形，∴∠D＝60°.
∴在菱形MADB中，∠M＝∠D＝60°.
二、切线的判定
有共点、作半径、证垂直
13．如图，△ABC中，∠ACB＝ 90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．
(第13题图) 第13题答图
解：(1)证明：如答图，连结OD，
∵∠DOB＝2∠DCB，又∵∠A＝2∠DCB，
∴∠A＝∠DOB.又∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠DOB＋∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，
∴OD⊥AB，∴AB是⊙O的切线；
(2)如答图，过点O作OM⊥CD于点M，
∵OD＝OE＝BE＝BO，∠BDO＝90°，
∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，
∴∠DCB＝30°，∴OC＝2OM＝2，
∴OD＝2，BO＝4，∴BD＝2.
14．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC＝∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D.
(1)试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB＝30°，求CE的长．
(第14题图) 第14题答图
解：(1)直线CD与⊙O相切．
理由：如答图，连结OC.
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，
∵∠BAC＝∠CAM，
∴∠OCA＝∠CAM，∴OC∥AM，
∵CD⊥AM，∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
(2)∵∠CAB＝30°，
∴∠COE＝2∠CAB＝60°，
∴在Rt△COE中，OC＝3，CE＝3.
15．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．
(第15题图) 第15题答图
解：(1)证明：如答图，连结OC，
∵AE⊥CD，CF⊥AB，
又∵CE＝CF，∴∠1＝∠2.
∵OA＝OC，∴∠2＝∠3，∠1＝∠3.
∴OC∥AE.∴OC⊥CD.
∴DE是⊙O的切线；
(2)∵AB＝6，∴OB＝OC＝AB＝3.
在Rt△OCD中，OD＝OB＋BD＝6，
OC＝3，∴∠D＝30°，∠COD＝60°.
在Rt△ADE中，AD＝AB＋BD＝9，
∴AE＝AD＝.
在△OBC中，∵∠COD＝60°，OB＝OC，
∴BC＝OB＝3.
16．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，CA＝4，∠ABC的角平分线BD交AC于点D，点E是线段AB上的一点，以BE为直径的⊙O过点D.
(1)求证：AC是圆O的切线；
(2)求AE的长．
(第16题图) 第16题答图
解：(1)证明：如答图，连结OD，
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，即∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∵BC⊥AC，∴OD⊥AC，
又∵点D在⊙O上，∴AC是⊙O的切线；
(2)Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5，
在Rt△AOD中，设AD＝4x，则OD＝3x，OA＝5x，
∵OE＝OD＝3x，∴AE＝OA－OE＝2x，
∵AB＝AE＋BE＝2x＋6x＝5，故x＝，
∴AE＝2x＝.
17．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC＝FC.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径r.
(第17题图) 第17题答图
解：(1)如答图，连结OA，OD，
则OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，∴∠ODA＋∠OFD＝90°，
∴∠OAD＋∠OFD＝90°，
∵∠OFD＝∠AFC，∴∠OAD＋∠AFC＝90°，
∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，
∴∠OAD＋∠FAC＝90°，∴AC是⊙O的切线；
(2)BF＝8，DF＝，
∴OF＝8－r，∴在Rt△OFD中，
r2＋(8－r)2＝40，解得r＝2.
无共点、作垂直、证半径
18．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD是小圆的切线．
(第18题图) 第18题答图
证明：如答图所示，连结OE，过O作OF⊥CD于F.
∵AB与小⊙O切于点E，∴OE⊥AB，
∵AB＝CD，∴OE＝OF，∴CD与小⊙O相切．
19．如图，已知四边形ABCD，∠B＝90°，AD∥BC，并且AD＋BC＝CD，O为AB的中点．
(1)求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；
(2)若OC＝8 cm，OD＝6 cm，求CD的长．
(第19题图) 第19题答图
解：(1)证明：过点O作OE⊥CD于E.
S梯形ABCD＝(AD＋BC)·AB
＝(AD＋BC)·OA
＝2
＝2(S△OAD＋S△OBC)，
由S梯形ABCD＝S△OBC＋ S△OAD＋ S△OCD，
∴S△OBC＋ S△OAD＝S△OCD，
∴AD·OA＋BC·OA＝CD·OE，
∴(AD＋BC)·OA＝CD·OE，
又∵AD＋BC＝CD，∴OA＝OE，
∴E点在以AB为直径的⊙O上，
又∵OE⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
(2)∵DA，DE均为⊙O的切线，
∴DA＝DE，则∠1＝∠2，同理∠3＝∠4.
∴∠COD＝90°.
∴CD＝＝＝10(cm)．
一、切线的性质
(教材P44作业题第5题)
如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于F点，已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．
(教材母题图) 教材母题答图
解：连结OE，如答图所示：
∵BC⊥AC于点C，∴∠C＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝12，BC＝9，根据勾股定理得AB＝15，
∵AC切半圆于点E，∴OE⊥AC，
∴OE∥BC，∴＝，
设OE为x，则AO为15－x，
∴＝，解得x＝，
则AO＝AB－BO＝15－＝.
与切线有关的长度计算
1．如图，已知⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切，若正方形的边长为2，则圆的半径为( )
A. B. C. D．1
(第1 题图)
2．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为( )
(第2题图)
A. B. C．3 D．2
3．一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长是( )
A．2 B. C．2 D．3
(第3题图)
4．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D.
(1)求证：AT平分∠BAC；
(2)若AD＝2，TC＝，求⊙O的半径．
(第4题图)
5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E为AB上一点，O是BC上一点，∠C＝∠BEO，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，AC是⊙O的切线．
(1)求证：OE＝OC；
(2)若BE＝4，BC＝8，求OE的长．
(第5题图)
6．△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径．
(1)过点B的切线与OA的延长线交于点P，如图1，若∠C＝∠ABC，AB＝2，求切线BP的长；
(2)过点A作AD⊥BC于D，交⊙O于H，过点B作弦BF交AD于E，交⊙O于F，且AE＝BE，如图2.求证：＝.
(第6题图)
与切线有关的角度计算
7．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M，N，⊙O与AB，AC相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为( )
A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
(第7题图)
8．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于( )
A．30° B．60° C．45° D．50°
(第8题图)
9．如图，已知，PD为⊙O的直径，直线BC切⊙O于点C，BP的延长线与CD的延长线交于点A，∠A＝28°，∠B＝26°，则∠PDC等于( )
A．34° B．36° C．38° D．40°
(第9题图)
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠C＝130°，则∠ADP＝____．
(第10题图)
11．如图，已知⊙O上有A，B，C三点，D是OB延长线上的点，∠BDC＝30°，CD是⊙O的切线，⊙O的半径为.
(1)求∠A的度数；
(2)如果AC∥BD，请判断四边形ACDB是什么四边形，并求其周长．
( 第11题图)
12．已知⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B.
(1)如图1，若∠BAC＝25°，求∠M的大小；
(2)如图2，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠M的大小．
(第12题图)
二、切线的判定
(教材P44练习题第4题)
已知，如图，PA是⊙O的切线，A是切点，B为⊙O上的一点，PA＝PB.求证：PB是⊙O切线．
(教材母题图) 教材母题答图
证明：连结OA，OB，OP，如答图，
在△AOP和△BOP中，
∴△AOP≌△BOP，∵OA⊥AP，
∴OB⊥BP，即PB是⊙O的切线．
【思想方法】证明某直线为圆的切线时，如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角这一性质．
有共点、作半径、证垂直
13．如图，△ABC中，∠ACB＝ 90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．
(第13题图)
14．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC＝∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D.
(1)试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB＝30°，求CE的长．
(第14题图)
15．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．
(第15题图)
16．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，CA＝4，∠ABC的角平分线BD交AC于点D，点E是线段AB上的一点，以BE为直径的⊙O过点D.
(1)求证：AC是圆O的切线；
(2)求AE的长．
(第16题图)
17．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC＝FC.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径r.
(第17题图)
无共点、作垂直、证半径
18．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD是小圆的切线．
(第18题图)
19．如图，已知四边形ABCD，∠B＝90°，AD∥BC，并且AD＋BC＝CD，O为AB的中点．
(1)求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；
(2)若OC＝8 cm，OD＝6 cm，求CD的长．
(第19题图)
答案
与切线有关的长度计算
1．如图，已知⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切，若正方形的边长为2，则圆的半径为( B )
A. B. C. D．1
(第1 题图) 第1题答图
【解析】 如答图，过点O作OE⊥AB于E，连结OA，设⊙O的半径为r，
∵正方形的边长为2，∴AE＝1，OE＝2－r，
在Rt△OAE中，AE2＋OE2＝OA2，
即12＋(2－r)2＝r2，解得r＝.
2．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为( B )
(第2题图)
A. B. C．3 D．2
解：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠Q＝90°，
∴PQ2＝OP2－OQ2，即PQ＝，
当OP最小时，PQ最小，
∵点O到直线l的距离为3，
∴OP的最小值为3，
∴PQ的最小值为＝.
3．一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长是( D )
A．2 B. C．2 D．3
(第3题图) 第3题答图
【解析】 如答图，连结OC，并过点O作OF⊥CE于F，
∵△ABC为等边三角形，边长为4，
∴△ABC的高为2，∴OC＝，
又∵∠ACB＝60°，∴∠OCF＝30°，
在Rt△OFC中，可得FC＝，∴CE＝2FC＝3.
4．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D.
(1)求证：AT平分∠BAC；
(2)若AD＝2，TC＝，求⊙O的半径．
(第4题图) 第4题答图
解：(1)证明：如答图，连结OT，
∵PQ切⊙O于T，∴OT⊥PQ，
又∵AC⊥PQ，∴OT∥AC，
∴∠TAC＝∠ATO，
又∵OT＝OA，∴∠ATO＝∠OAT，
∴∠OAT＝∠TAC，即AT平分∠BAC.
(2)过点O作OM⊥AC于M，
∴AM＝MD＝＝1，
又∵∠OTC＝∠ACT＝∠OMC＝90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴OM＝TC＝，在Rt△AOM中，
AO＝＝＝2.
即⊙O的半径为2.
5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E为AB上一点，O是BC上一点，∠C＝∠BEO，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，AC是⊙O的切线．
(1)求证：OE＝OC；
(2)若BE＝4，BC＝8，求OE的长．
(第5题图) 第5题答图
解：(1)证明：设AC切⊙O于Q，连结OQ，如答图，
∵AC是⊙O的切线，∴∠CQO＝90°，
在△OQC和△OBE中，
∵∠B＝∠CQO＝90°，∠C＝∠BEO，BO＝OQ，
∴△OQC≌△OBE，∴OC＝OE；
(2)设OE＝OC＝x，则BO＝8－x，
在Rt△OQC中，OQ2＋QC2＝OC2，
∴42＋(8－x)2＝x2，
∴x＝5，即OE＝5.
6．△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径．
(1)过点B的切线与OA的延长线交于点P，如图1，若∠C＝∠ABC，AB＝2，求切线BP的长；
(2)过点A作AD⊥BC于D，交⊙O于H，过点B作弦BF交AD于E，交⊙O于F，且AE＝BE，如图2.求证：＝.
(第6题图)
解：(1)∵BC是直径，∴∠BAC＝90°.
∵∠C＝∠ABC，∴∠ABC＝∠AOB.
又∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，
∴BO＝AB＝2，∠AOB＝60°，
∵BP是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°.
在Rt△PBO中，PB＝BO＝2；
(2)证明：∵AD⊥BC，BC是直径，∴＝.
∵AE＝BE，∴∠ABF＝∠BAH，
∴＝，∴＝.
与切线有关的角度计算
7．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M，N，⊙O与AB，AC相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为( A )
A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
(第7题图) 第7题答图
【解析】 如答图，连结OA，
∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB，
∵∠A＝90°，∴OD∥AC，
∵O为BC的中点，∴OD＝AC＝2，
∵∠DOB＝45°，
∴∠MND＝∠DOB＝22.5°.
8．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于( C )
A．30° B．60° C．45° D．50°
(第8题图) 第8题答图
【解析】 如答图，连结OC，
∵OC＝OA，PD平分∠APC，
∴∠CPD＝∠DPA，∠A＝∠ACO，
∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，
∵∠CPO＋∠COP＝90°，
∴(∠CPD＋∠DPA)＋(∠A＋∠ACO)＝90°，
∴∠DPA＋∠A＝45°，即∠CDP＝45°.
9．如图，已知，PD为⊙O的直径，直线BC切⊙O于点C，BP的延长线与CD的延长线交于点A，∠A＝28°，∠B＝26°，则∠PDC等于( B )
A．34° B．36° C．38° D．40°
(第9题图) 第9题答图
【解析】 如答图，连结OC，
∵直线BC切⊙O于点C，
∴∠OCB＝90°，
∵∠A＝28°，∠B＝26°，
∴∠ACB＝180°－∠B－∠A＝126°，
∠OCD＝∠ACB－∠OCB＝36°，
∵OC＝OD，∴∠PDC＝∠OCD＝36°.
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠C＝130°，则∠ADP＝__40°__．
(第10题图) 第10题答图
【解析】 如答图，连结OD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝130°，
∴∠DAO＝180－∠C＝50°，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝50°，
∵PD是⊙O的切线，∴OD⊥PD，
∴∠ADP＝90°－∠ODA＝40°.
11．如图，已知⊙O上有A，B，C三点，D是OB延长线上的点，∠BDC＝30°，CD是⊙O的切线，⊙O的半径为.
(1)求∠A的度数；
(2)如果AC∥BD，请判断四边形ACDB是什么四边形，并求其周长．
( 第11题图) 第11题答图
解：(1)如答图，连结OC，
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，
即∠OCD＝90°，
∵∠BDC＝30°，∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝∠BOC＝30°；
(2)四边形ACDB是平行四边形．
∵AC∥BD，∴∠D＋∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°－30°＝150°，
∴∠ACD＋∠BAC＝180°，∴AB∥CD，
∴四边形ACDB是平行四边形．
在Rt△DOC中，∠OCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴OD＝2OC＝2，
∴CD＝＝，BD＝OB＝，
∴四边形ACDB的周长为：2(＋)＝2＋2.
12．已知⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B.
(1)如图1，若∠BAC＝25°，求∠M的大小；
(2)如图2，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠M的大小．
(第12题图)
解：(1)∵MA切⊙O于点A，
∴∠MAC＝90°.又∵∠BAC＝25°，
∴∠MAB＝∠MAC－∠BAC＝65°.
∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，
∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA.
∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝50°；
(2)如答图，连结AD，AB.
第12题答图
∵MA⊥AC，BD⊥AC，∴BD∥MA.又∵BD＝MA.
∴四边形MADB是平行四边形．
∵MA＝MB，
∴四边形MADB是菱形，
∴AD＝BD.
又∵AC为直径，BD⊥AC，得＝，∴AB＝AD.
∴△ABD是等边三角形，∴∠D＝60°.
∴在菱形MADB中，∠M＝∠D＝60°.
二、切线的判定
有共点、作半径、证垂直
13．如图，△ABC中，∠ACB＝ 90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．
(第13题图) 第13题答图
解：(1)证明：如答图，连结OD，
∵∠DOB＝2∠DCB，又∵∠A＝2∠DCB，
∴∠A＝∠DOB.又∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠DOB＋∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，
∴OD⊥AB，∴AB是⊙O的切线；
(2)如答图，过点O作OM⊥CD于点M，
∵OD＝OE＝BE＝BO，∠BDO＝90°，
∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，
∴∠DCB＝30°，∴OC＝2OM＝2，
∴OD＝2，BO＝4，∴BD＝2.
14．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC＝∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D.
(1)试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB＝30°，求CE的长．
(第14题图) 第14题答图
解：(1)直线CD与⊙O相切．
理由：如答图，连结OC.
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，
∵∠BAC＝∠CAM，
∴∠OCA＝∠CAM，∴OC∥AM，
∵CD⊥AM，∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
(2)∵∠CAB＝30°，
∴∠COE＝2∠CAB＝60°，
∴在Rt△COE中，OC＝3，CE＝3.
15．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．
(第15题图) 第15题答图
解：(1)证明：如答图，连结OC，
∵AE⊥CD，CF⊥AB，
又∵CE＝CF，∴∠1＝∠2.
∵OA＝OC，∴∠2＝∠3，∠1＝∠3.
∴OC∥AE.∴OC⊥CD.
∴DE是⊙O的切线；
(2)∵AB＝6，∴OB＝OC＝AB＝3.
在Rt△OCD中，OD＝OB＋BD＝6，
OC＝3，∴∠D＝30°，∠COD＝60°.
在Rt△ADE中，AD＝AB＋BD＝9，
∴AE＝AD＝.
在△OBC中，∵∠COD＝60°，OB＝OC，
∴BC＝OB＝3.
16．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，CA＝4，∠ABC的角平分线BD交AC于点D，点E是线段AB上的一点，以BE为直径的⊙O过点D.
(1)求证：AC是圆O的切线；
(2)求AE的长．
(第16题图) 第16题答图
解：(1)证明：如答图，连结OD，
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，即∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∵BC⊥AC，∴OD⊥AC，
又∵点D在⊙O上，∴AC是⊙O的切线；
(2)Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5，
在Rt△AOD中，设AD＝4x，则OD＝3x，OA＝5x，
∵OE＝OD＝3x，∴AE＝OA－OE＝2x，
∵AB＝AE＋BE＝2x＋6x＝5，故x＝，
∴AE＝2x＝.
17．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC＝FC.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径r.
(第17题图) 第17题答图
解：(1)如答图，连结OA，OD，
则OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，∴∠ODA＋∠OFD＝90°，
∴∠OAD＋∠OFD＝90°，
∵∠OFD＝∠AFC，∴∠OAD＋∠AFC＝90°，
∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，
∴∠OAD＋∠FAC＝90°，∴AC是⊙O的切线；
(2)BF＝8，DF＝，
∴OF＝8－r，∴在Rt△OFD中，
r2＋(8－r)2＝40，解得r＝2.
无共点、作垂直、证半径
18．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD是小圆的切线．
(第18题图) 第18题答图
证明：如答图所示，连结OE，过O作OF⊥CD于F.
∵AB与小⊙O切于点E，∴OE⊥AB，
∵AB＝CD，∴OE＝OF，∴CD与小⊙O相切．
19．如图，已知四边形ABCD，∠B＝90°，AD∥BC，并且AD＋BC＝CD，O为AB的中点．
(1)求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；
(2)若OC＝8 cm，OD＝6 cm，求CD的长．
(第19题图) 第19题答图
解：(1)证明：过点O作OE⊥CD于E.
S梯形ABCD＝(AD＋BC)·AB
＝(AD＋BC)·OA
＝2
＝2(S△OAD＋S△OBC)，
由S梯形ABCD＝S△OBC＋ S△OAD＋ S△OCD，
∴S△OBC＋ S△OAD＝S△OCD，
∴AD·OA＋BC·OA＝CD·OE，
∴(AD＋BC)·OA＝CD·OE，
又∵AD＋BC＝CD，∴OA＝OE，
∴E点在以AB为直径的⊙O上，
又∵OE⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
(2)∵DA，DE均为⊙O的切线，
∴DA＝DE，则∠1＝∠2，同理∠3＝∠4.
∴∠COD＝90°.
∴CD＝＝＝10(cm)．