浙教版九年级圆的性质的综合运用专题（含答案）

圆的性质的综合运用
(教材P93作业题第6题)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，连结AD，GD.找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明．

(教材母题图)
解：∠G＝∠ADC，
证明：连结AC，
∵AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，
∴AB垂直平分CD，∴＝，
∴∠G＝∠ADC.
　垂径定理、圆心角定理圆周角定理的综合运用
1．[金华校级期中]如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为(　　)

(第1题图)
A．2 B．4
C．4 D．8
2．[嘉兴校级期中]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝ 4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为(　　)
A. B. C. D.

(第2题图) 　　　　
3．[杭州余杭区期末]如图，已知⊙O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为(　　)

(第3题图)
A．6 B．6
C．8 D．8
4．[金华校级期中]如图，已知⊙O是等腰直角三角形ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是(　　)

(第4题图)
A．3 B．2
C．1 D．1.2
在Rt△BCE中，CE2＋BC2＝BE2，即(4－AE)2＋42＝(5AE)2，解得AE＝1.
5．[杭州西湖区校级期中]有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽24 m，拱顶高出水平面8 m，现有一货船，送一箱货欲从桥下经过，已知货箱(货箱底与水平面持平)宽10 m，至多能载货物的高为(　　)
A．4 m B．5 m
C．6 m D．7 m
6．[诸暨校级期中]如图，△ABC内接于⊙O，BC＝a，AC＝b，∠A－∠B＝90°，则⊙O的面积为____．

(第6题图) 　　　
7．[湖州吴兴区期中]如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，若＋＝＋，且弦AB＝8，CD＝4，则⊙O的半径为____．

(第7题图) 　　　
　圆的基本性质与全等三角形的综合
8．[慈溪期中]如图，BC＝2，A为半径为1的圆B上一点，连结AC，在AC上方作一个正三角形ACD，连结BD，则BD的最大值为___．

(第8题图) 　　
9．[杭州西湖区校级期中]如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点M，且∠OAC＝∠OBD.
(1)求证：AC＝BD；
(2)若OA＝4，∠OAC＝30°，当AC⊥BD时，求：
①图中阴影部分面积；
②弧CD的长．

(第9题图) 　　　









10．[杭州江干区期末]如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过O作OD∥BC交AB于点D.延长DO交⊙O于点E，作EF⊥AC于点F，连结DF并延长交直线BC于点G，连结EG.
(1)求证：FC＝GC；
(2)四边形EDBG是哪种特殊四边形？请说明理由．

(第10题图) 　　　





　圆与内、外角平分线问题
11．[杭州萧山区校级期中]如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆相交于点D，图中所有与∠DCB相等的角的个数为(　　)

(第11题图)
A．1 B．2
C．3 D．4
12．[杭州萧山区校级期中]如图，在⊙O中，AD平分圆周角∠BAC，∠BAC＝60°，∠OAD＝16°，∠C的度数为(　　)
A．50° B．30°
C．44° D．45°

(第12题图) 　　　

13.[宁波鄞州区校级期中]如图，在⊙O中，圆周角∠BAC＝60°，弦AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝3，则AD的长为___．

(第13题图) 　　　
　圆的基本性质与相似三角形
14．[杭州校级期中]如图，△ABC内接⊙O，AD⊥BC于D，AE是⊙O的直径．若AB＝6，AC＝9，AE＝11.

(第14题图)
(1)求证：△ABD∽△AEC；
(2)求AD的长．





15．[衢州校级期中]如图，已知AB为⊙O的直径，弦BE＝DE，且AD，BE的延长线交于点C.
(1)求证：AC＝AB；
(2)若CE＝2，CD＝，求⊙O的直径．

(第15题图) 　　









16．[杭州校级期中]如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G是上一点，连结AC，AG，CG.
(1)在不添辅助线的前提下直接写出图中与∠AGC相等的角，不用证明；
(2)求证：当AB∥DG时，△ACG与△EAC相似；

(第16题图)　　　　备用图
(3)若OE＝BE，求∠AGC的度数．








17．[杭州校级期中]如图，已知A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠BPC＝60°，AB与PC交于Q点．
(1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论；
(2)直接写出所有与△APQ相似的三角形：__ __；
(3)若AP＝6，＝，求PB的长．

(第17题图) 　　　








　圆的综合探究
18．[杭州余杭区期末]已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊥CD，E为垂足，AE＝CD＝8，F是CD延长线上一点，连结AF交圆O于G，连结AD，DG.
(1)求圆O的半径；
(2)求证：△ADG∽△AFD；
(3)当点G是弧AD的中点时，求△ADG的面积与△AFD的面积之比．

(第18题图) 　　






19.[宁波北仑区期末]如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，＝，点D在上，连结CO，并延长CO交线段AB于点F，连结OA，OB，且OA＝，tan∠OBA＝.
(1)求证：∠OBA＝∠OCD；
(2)当△AOF是直角三角形时，求EF的长；
(3)是否存在点F，使得S△CEF＝4S△BOF，若存在，请求出EF的长；若不存在，请说明理由．

(第19题图)　　　　　备用图　　



答案
　垂径定理、圆心角定理圆周角定理的综合运用
1．[金华校级期中]如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为(　C　)

(第1题图)
A．2 B．4
C．4 D．8
解：∵∠A＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠A＝45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OC＝2，
∴CD＝2CE＝4.
2．[嘉兴校级期中]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝ 4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为(　C　)
A. B. C. D.

(第2题图) 　　　　第2题答图
解：过C作CM⊥AB，交AB于点M，如答图所示，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵CM⊥AB，∴M为AD的中点，
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴CM＝，
在Rt△ACM中，AC2＝AM2＋CM2，即32＝AM2＋，解得AM＝，∴AD＝2AM＝.
3．[杭州余杭区期末]如图，已知⊙O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为(　B　)

(第3题图)
A．6 B．6
C．8 D．8
【解析】 作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连结OB，OD，
∵AB＝CD＝16，∴BM＝DN＝8，
∴OM＝ON＝＝6，
∵AB⊥CD，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝＝6.故选B.
4．[金华校级期中]如图，已知⊙O是等腰直角三角形ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是(　C　)

(第4题图)
A．3 B．2
C．1 D．1.2
解：在等腰直角三角形ABC中，BC＝4，
∴AB是⊙O的直径，AC＝4，∴∠D＝90°，
∵∠D＝∠C，∠DAC＝∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∴＝＝，即BE＝5AE，
在Rt△BCE中，CE2＋BC2＝BE2，即(4－AE)2＋42＝(5AE)2，解得AE＝1.
5．[杭州西湖区校级期中]有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽24 m，拱顶高出水平面8 m，现有一货船，送一箱货欲从桥下经过，已知货箱(货箱底与水平面持平)宽10 m，至多能载货物的高为(　D　)
A．4 m B．5 m
C．6 m D．7 m
解：如答图，表示桥拱，AB＝24 m，CD＝8 m，EF＝10 m，D为AB，EF的中点，且CD，ME，NF均垂直于AB，

　第5题答图
设所在圆的圆心为O，连结OA，ON，设OA＝R，
则OD＝OC－DC＝R－8，AD＝AB＝12 m，
又∵OA2＝AD2＋OD2，
即R2＝122＋(R－8)2，解得R＝13(m)．
在Rt△ONG中，由勾股定理得，OG＝＝12 m，
∴FN＝DG＝OG－OD＝OG－(OC－CD)＝7 m．故选D.
6．[诸暨校级期中]如图，△ABC内接于⊙O，BC＝a，AC＝b，∠A－∠B＝90°，则⊙O的面积为__(a2＋b2)__．

(第6题图) 　　　　第6题答图
【解析】 如答图，过点B作圆的直径BE交圆于点E，则∠ECB＝90°，
∴∠E＋∠EBC＝90°，
又∵圆内接四边形的对角互补，即∠E＋∠A＝180°，∴∠A－∠EBC＝90°，
∵∠A－∠ABC＝90°，∴∠CBA＝∠CBE，
∴弧AC＝弧CE，∴CE＝AC＝b，
由勾股定理得，BE＝，
∴⊙O的半径＝，
∴圆的面积＝(a2＋b2)．
7．[湖州吴兴区期中]如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，若＋＝＋，且弦AB＝8，CD＝4，则⊙O的半径为__2__．

(第7题图) 　　　第7题答图
【解析】 如答图，连结BO并延长，与圆交于E，连结AE，
＋＝＋，所以AB，CD所对圆心角之和是180°，
∴CD＝AE，∠A＝90°，
BE＝＝＝4，
∴半径是2.
　圆的基本性质与全等三角形的综合
8．[慈溪期中]如图，BC＝2，A为半径为1的圆B上一点，连结AC，在AC上方作一个正三角形ACD，连结BD，则BD的最大值为__3__．

(第8题图) 　　第8题答图
【解析】 如答图，将BC绕点C顺时针旋转60°到点M，连结MD，MB，当点B，M，D共线时，BD有最大值，
∵∠BCM＝60°，CM＝BC＝2，
∴△BCM是等边三角形，∴BM＝2，
∵∠BCM＝∠ACD＝60°，∴∠ACB＝∠MCD，
∵AC＝CD，BC＝CM，
∴△ABC≌△DMC，∴DM＝AB＝1，
∴BD＝3.
9．[杭州西湖区校级期中]如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点M，且∠OAC＝∠OBD.
(1)求证：AC＝BD；
(2)若OA＝4，∠OAC＝30°，当AC⊥BD时，求：
①图中阴影部分面积；
②弧CD的长．

(第9题图) 　　　第9题答图
解：(1)连结OC，OD，
∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，
∵ ∠OAC＝∠OBD，∴∠CAO＝∠ACO＝∠ODB＝∠OBD，
∵
∴△OAC≌△ODB(AAS)，∴AC＝BD；
(2)如答图，作ON⊥AC于N，OP⊥BD于P，连结OM，
由(1)可知AC＝BD，∴ON＝OP，
∵AC⊥BD，OP⊥BD，ON⊥AC，ON＝OP，
∴四边形OPMN是正方形，
∴∠AMO＝∠BMO＝45°，
∵
∴△AMO≌△BMO，∴S△AMO＝S△BMO，
∵OA＝4，∠OAC＝30°，
∴ON＝2，AN＝2，MN＝2，
∵∠MOA＝45°＋60°＝105°，
∴∠AOB＝360°－105°×2＝150°；
①S阴影＝S扇AOB＋ 2S△AOM
＝×πr2＋2××(2＋2)×2＝＋4＋4；
②∠DOC＝∠AOC＋∠DOB＋∠AOB－360°＝30°，
∴＝×2πr＝π.
10．[杭州江干区期末]如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过O作OD∥BC交AB于点D.延长DO交⊙O于点E，作EF⊥AC于点F，连结DF并延长交直线BC于点G，连结EG.
(1)求证：FC＝GC；
(2)四边形EDBG是哪种特殊四边形？请说明理由．

(第10题图) 　　　第10题答图
解：(1)证明：∵AC为直径，∴∠B＝90°，
∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠B＝90°，
在△AOD和△EOF中，

∴△AOD≌△EOF，∴OD＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD，
∵OD∥BC，∴∠FGC＝∠ODF，
又∵∠GFC＝∠OFD，∴∠CFG＝∠FGC，
∴FC＝GC；
(2)四边形EDBG是矩形，理由如下：
如答图，连结AE，EC，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，
∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，
∴∠OAE＝∠OFD，∴AE∥DG，
∵AC为直径，∴∠AEC＝90°，
又∵CF＝CG，∴CE是FG的垂直平分线，
∴△EFC≌△EGC，
∴∠EGC＝∠EFC＝90°，
又∵∠EDB＝90°，∠ABC＝90°，
∴四边形EDBG是矩形．
　圆与内、外角平分线问题
11．[杭州萧山区校级期中]如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆相交于点D，图中所有与∠DCB相等的角的个数为(　C　)

(第11题图)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠DCB＝∠EAD，
∵AD是△ABC外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD＝∠EAC，
∴∠EAD＝∠CAD＝∠BCD＝∠DBC.故选C.
12．[杭州萧山区校级期中]如图，在⊙O中，AD平分圆周角∠BAC，∠BAC＝60°，∠OAD＝16°，∠C的度数为(　C　)
A．50° B．30°
C．44° D．45°

(第12题图) 　　　第12题答图
【解析】 如答图，连结OD，CD，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝16°，
∴∠AOD＝148°，∴∠ACD＝74°，
∵∠BAC＝60°，AD平分圆周角∠BAC，
∴∠BAD＝30°，∴∠BCD＝30°，
∴∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝44°.
13.[宁波鄞州区校级期中]如图，在⊙O中，圆周角∠BAC＝60°，弦AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝3，则AD的长为____．

(第13题图) 　　　第13题答图
【解析】 如答图，连结BD，CD，过点B作BN⊥AD于N，过点C作CM⊥AD于M.
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AB＝4，∠BAD＝30°，BN⊥AD，
∴BN＝2，AN＝2，
∵AC＝3，∠CAD＝30°，CM⊥AD，
∴CM＝，AM＝，∴MN＝，
设DN＝a，
∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，
由勾股定理得BN2＋DN2＝CM2＋DM2，即22＋a2＝＋，
解得a＝，∴AD＝AN＋DN＝.
　圆的基本性质与相似三角形
14．[杭州校级期中]如图，△ABC内接⊙O，AD⊥BC于D，AE是⊙O的直径．若AB＝6，AC＝9，AE＝11.

(第14题图)
(1)求证：△ABD∽△AEC；
(2)求AD的长．
解：(1)证明：∵AE是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴∠ACE＝∠ADB＝90°，
∵∠E＝∠B，∴△ABD∽△AEC；
(2)∵△ABD ∽△AEC，∴＝，
∵AB＝6，AC＝9，AE＝11，∴AD＝.
15．[衢州校级期中]如图，已知AB为⊙O的直径，弦BE＝DE，且AD，BE的延长线交于点C.
(1)求证：AC＝AB；
(2)若CE＝2，CD＝，求⊙O的直径．

(第15题图) 　　第15题答图
解：(1)证明：如答图，连结AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∵BE＝DE，
∴＝，∴∠DAE＝∠BAE，
∵∠C＝90°－∠DAE，∠B＝90°－∠BAE，
∴∠B＝∠C，∴AC＝AB；
(2)∵∠C＝∠C，∠CED＝∠CAB，
∴△CDE∽△CBA，∴＝，
∴CD·CA＝CB·CE，∴×AC＝2×4，
∴AC＝.∴⊙O的直径为.
16．[杭州校级期中]如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G是上一点，连结AC，AG，CG.
(1)在不添辅助线的前提下直接写出图中与∠AGC相等的角，不用证明；
(2)求证：当AB∥DG时，△ACG与△EAC相似；

(第16题图)　　　　备用图
(3)若OE＝BE，求∠AGC的度数．
解：(1)结论：∠ACE＝∠AGC.
(2)证明：∵DG∥AB，


第16题答图
∴∠AEC＝∠CDG＝90°，
∴CG是直径，∴∠CAG＝90°，
∵∠CAG＝∠AEC＝90°，∠AGC＝∠ACE，
∴△ACG∽△EAC.
(3)如答图，连结OC，BC.
∵OE＝EB，CE⊥OB，
∴CO＝CB＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠B＝60°，∴∠AGC＝∠B＝60°.
17．[杭州校级期中]如图，已知A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠BPC＝60°，AB与PC交于Q点．
(1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论；
(2)直接写出所有与△APQ相似的三角形：__△CBQ和△CPB__；
(3)若AP＝6，＝，求PB的长．

(第17题图) 　　　第17题答图
解：(1)△ABC是等边三角形．
∵∠BPC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
(2)△CBQ和△CPB.
(3)如答图，过B作BD∥PA交PC于D，
则∠BDP＝∠APC＝60°.
又∵∠AQP＝∠BQD，
∴△AQP∽△BQD，∴＝，
∵∠BPD＝∠BDP＝60°，∴PB＝BD.
∴＝，∴＝，∴PB＝10.
　圆的综合探究
18．[杭州余杭区期末]已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊥CD，E为垂足，AE＝CD＝8，F是CD延长线上一点，连结AF交圆O于G，连结AD，DG.
(1)求圆O的半径；
(2)求证：△ADG∽△AFD；
(3)当点G是弧AD的中点时，求△ADG的面积与△AFD的面积之比．

(第18题图) 　　第18题答图
解：(1)如答图，连结OC，设⊙O的半径为R，
∵AE＝8，∴OE＝8－R，
∵直径AB⊥CD，
∴∠CEO＝90°，CE＝CD＝4，
在Rt△CEO中，根据勾股定理得，R2－(8－R)2＝16，∴R＝5，
即⊙O的半径为5；
(2)如答图，连结BG，
∴∠ADG＝∠ABG，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB＝90°，
∴∠ABG＋∠BAG＝90°，
∴∠ADG＋∠BAG＝90°，
∵AB⊥CD，∴∠BAG＋∠F＝90°，
∴∠ADG＝∠F，
∵∠DAG＝∠FAD，∴△ADG∽△AFD；
(3)如答图，连结OG交AD于H，
在Rt△ADE中，AE＝8，DE＝CD＝4，根据勾股定理得，AD＝4，
∵点G是的中点，
∴AH＝AD＝2，OG⊥AD，
在Rt△AOH中，根据勾股定理得，OH＝，
在Rt△AHG中，HG＝OG－OH＝5－，根据勾股定理得，AG2＝AH2＋HG2＝50－10，
由(2)知，△ADG∽△AFD，
∴＝＝＝.
19.[宁波北仑区期末]如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，＝，点D在上，连结CO，并延长CO交线段AB于点F，连结OA，OB，且OA＝，tan∠OBA＝.
(1)求证：∠OBA＝∠OCD；
(2)当△AOF是直角三角形时，求EF的长；
(3)是否存在点F，使得S△CEF＝4S△BOF，若存在，请求出EF的长；若不存在，请说明理由．

(第19题图)　　　　　备用图　　
解：(1)证明：如答图①，连结BC，

第19题答图①
∵ AC＝BD，∴∠ECB＝∠EBC，
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠ECF＝∠ECB－∠OCB＝∠EBC－∠OBC＝∠OBA，即∠OBA＝∠OCD；
(2)∵OA＝OB，∴∠OAF＝∠OBA，
∴∠OAF＝∠ECF，
①当∠AFO＝90°时，
∵OA＝，tan∠OBA＝，
∴OC＝OA＝，OF＝1，AB＝4，
∴EF＝CF·tan∠ECF＝ CF·tan∠OBA＝；
②当∠AOF ＝90°时，
∵OA＝OB，∴∠OAF＝∠OBA，
∴tan∠OAF＝ tan∠OBA＝，
∵OA＝，∴OF＝ OA·tan∠OAF＝，
∴AF＝，CF＝，
∵∠OAF＝∠OBA＝∠ECF，∠OFA＝∠EFC，
∴△OFA∽△EFC，
∴EF＝·OF＝·＝，
综上所述EF＝或；
(3)存在，如答图②，连结OE，

　第19题答图②
∵∠ECB＝∠EBC，∴CE＝EB，
∵OE＝OE，OB＝OC，
∴△OEC≌△OEB，
∵ S△CEF＝4S△BOF，
∴ S△CEO＋S△FEO＝4(S△BEO－S△EFO)，
∴＝，∴＝，∴FO＝CO＝，
∵△OFA∽△EFC，∴＝＝＝，
∴BF＝BE－EF＝CE－EF＝EF，
∴AF＝AB－BF＝4－EF，
∵△OFA∽△EFC，
∴＝，即＝，
解得EF＝3＋>4(舍去)或EF＝3－.
∴EF＝3－.