1.4 二次函数的应用(一)
教学目标：
1．经历数学建模的基本过程，学生掌握运用二次函数的性质解决实际生活和生产中的最大值和最小值问题．
2．培养学生分析问题的能力，能初步建立起解决最大值和最小值问题的数学模式．
3．了解二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值，学生明确知识来源于实践、又能指导实践的观点．
重点难点：
重点：二次函数在最优化问题中的应用．
难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解．
教学过程：
一、新课导入
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)问每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多为多少元？
对于第(1)个问题，学生通过列一元二次方程马上可求得，但第(2)个问题，大部分学生可能一下子解决不了．那么怎样解决此类问题呢？
说明：通过问题情境来引入所要解决的问题，提高学生学习新知识的兴趣．
二、新知学习
问题探究：
1．如果我们把平均每天盈利与降价的函数关系找出来，那么所求问题就转化为什么问题？
2．发现可以设降价为x元，每天盈利为y元，则y关于x的函数关系式为y＝(40－x)(20＋2x)，化为y＝－2x2＋60x＋800，这是一个二次函数．
3．写出自变量x的取值范围，再求出它的最大值．
先由学生独立探究，然后参与小组合作交流，最后教师讲解点评．
探究实践：
用长6 m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
教师引导学生：
(1)设什么为自变量x?
(2)如果学生设窗框长为x，则高为多少？面积为多少？
(3)若设透光面积为y，试写出y关于x的函数解析式．
(4)这里自变量x的取值范围是什么？根据什么来确定？
解：(1)窗框的长或高；
(2)高为() m，面积为x· m2；
(3)解析式：y＝x·
(4)根据窗框的长、宽都必须大于零，即得0＜x＜2.
教师指出这样求窗户的最大透光面积，就转化为求二次函数y＝x·＝－x2＋3x的最大值．强调在求函数的最值之前应先化为一般式或配方式．
4．师生共同总结出最值问题的一般步骤．
(1)列出二次函数的解析式．列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．
(2)在自变量的取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值或最小值．
说明：让学生感受将实际问题转化为二次函数这一数学模型的一般步骤．
三、新知应用
典例探究：
【例】如图，用长20 m的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？
【分析】设未知数时，图中哪一条边是长，哪一条是宽没有确定，故只有根据边与墙的位置关系来设定未知数，可用配方法或顶点坐标公式来求面积的最大值．
【解】设与墙垂直的一边为x m，园子面积为S m2，则另一边长为(20－2x) m，由题意得S＝x(20－2x)＝－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50(0＜x＜10)．∵a＜0，∴当x＝5(在0＜x＜10的范围内)时，园子面积S的最大值为50 m2.
说明：要善于把实际问题抽象成数学问题，从中检索出可用的数学知识，并运用这些数学知识和技能解决问题，用好数形结合、转化等数学思想方法是解决这一类问题的关键．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．二次函数y＝－(x－40)2－800，当x＝__40__时，y有最__大__值，这个值是__－800__．
2．用一根长为20 m的绳子，围成一个矩形，则围成的矩形的最大面积是__25__m2__．
3．如图，用12 m长的铝合金做一个有横档的矩形窗子为使透进的光线最多，则窗子的长、宽各为__3m、2m__．
4．某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元售出时，每天可销售100件，如果每件提高1元，日销售量就要减少10件，那么该商品的售出价格定为多少元时，才能使每天获得最大利润？每天最大利润是多少？
解：设定价为每件x元，y＝(x－18)[100－10(x－20)]，即y＝－10x2＋480x－5400＝－10(x－24)2＋360
当售出价格为每件24元时，获得最大利润为360元．
五、课堂小结
1．得出用二次函数知识解决实际生活中的最值问题的一般步骤：
(1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围；
(2)在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值．
2．解题循环图：
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
1.4 二次函数的应用(三)
教学目标：
1．会运用一元二次方程求二次函数的图象与x轴或平行于x轴的直线的交点坐标，并用来解决相关的实际问题．会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解．
2．通过学生自主探索、思考及想象，培养观察、分析、归纳等综合能力．
3．进一步体验在问题解决的过程中函数与方程两种数学模式经常需要相互转换．让学生体会数形结合的思想并充分应用于解题中．
重点难点：
重点：问题解决过程中二次函数与一元二次方程两种数学模型的转换．
难点：课本例4涉及较多的“科学”知识，解题思路不易形成，是本节教学的重点．
教学过程：
一、新课导入
复习提问：
1．利用函数解决实际问题的基本思想方法是什么？解题步骤有哪几步？
2．“二次函数应用”的思路是什么？
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；
(3)用数学方式表示出它们之间的关系；
(4)用数学知识求解；
(5)检验结果的合理性，拓展等．
说明：通过复习提问，体现以学生为主体，激活课堂气氛，充分调动学生参与教学过程的新课程理念．
二、新知学习
探究几个物理问题
(1)匀加速直线运动
我们知道，在匀速直线运动中，物体运动的距离等于速度与时间的乘积，用字母表示为s＝vt.而在匀加速直线运动中，速度的数值是时刻在改变的，我们仍用s表示距离(m)，用v0表示初始速度(m/s)，用t表示时间(s)，用a表示每秒增加的速度(m/s2)．那么匀加速直线运动位移的公式是：s＝v0t＋at2.
就是说，当初始速度和每秒增加的速度一定时，距离是时间的函数，但不再是正比例函数，而是二次函数．
我们来看一个例子：v0＝1 m/s，a＝1 m/s2，下面我们列表看一下s和t的关系.
t(s)
0
1
2
3
4
5
6
s(m)
0
1.5
4
7.5
12
17.5
24
注意：这里的时间必须从加速时开始计时，停止加速时停止计时，t的取值范围，很明显是t≥0，而s的取值范围，同样是s≥0.下面我们来看看它的图象(如图)．
(2)自由落体的位移
我们知道，自由落体的位移是匀加速直线运动的特殊情况，它的初始速度为0，而每秒增加的速度为9.8 m/s2，我们用g表示．
自由落体位移的公式为：s＝gt2
我们再来看看这个函数的表格：
t(s)
0
1
2
3
4
5
6
s(m)
0
4.9
19.6
44.1
78.4
122.5
176.4
图象我们就不画了，它只是匀加速直线运动的特殊情况，图象大同小异．
(3)动能
现在我们来看另一方面的问题．我们知道，物体在运动中具有的能量叫做动能，动能与物体的质量和速度有关．比如说，有个人走过来不小心撞上你，或许没什么，但如果他是跑步时撞上你，说不定你会倒退几步，而假如你站在百米终点线上，想不被撞倒都不容易．这是因为对方具有的动能随速度的增大而增大．
我们用E表示物体具有的动能(J)，m表示物体的质量(kg)，v表示物体的速度(m/s)，那么计算物体动能的公式就是：E＝mv2.
来看一个表格(m＝1 kg)：
v(m/s)
0
1
2
3
4
5
6
E(J)
0
0.5
2
4.5
8
12.5
18
v的取值范围显然是v≥0，E的取值范围也是E≥0，所以它的图象和前两个没有什么区别．
通过上面几个问题的研究，我们认为二次函数在物理方面应用的特点在于对取值范围的要求大部分都是要求该数值大于等于0，所以图象大部分是二次函数图象的一半，除原点外，图象都在第一象限．
说明：本环节的主要目的是让学生理解并体会用二次函数解决其他学科问题．通过初步了解这三种物理现象，为解决下面例题作知识上的准备．
教师引导学生合作完成课本例4的学习与探究．
三、新知应用
典例探究：
【例】如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1 m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6 m的B发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4 m高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
(2)足球第一次落地点C距守门员多少m？ (取4＝7)
(3)运动员乙要抢到第二个落点D处的足球，他应再向前跑多少m？(取2＝5)
【解】(1)如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋4，由已知：当x＝0时，y＝1，即1＝36a＋4，∴a＝－，∴表达式为y＝－(x－6)2＋4(或y＝－x2＋x＋1)．
(2)当y＝0时，－(x－6)2＋4＝0，∴(x－6)2＝48，x1＝4＋6≈13，x2＝－4＋6＜0(舍去)，∴足球第一次落地距守门员约13 m.
(3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD，由题意得，足球在草坪上弹起后的抛物线相当于原抛物线向下移2个单位得到，∴2＝－(x－6)2＋4.解得x1＝6－2，x2＝6＋2，∴CD＝|x1－x2|＝4≈10，∴BD＝13－6＋10＝17(m)．答：他应再向前跑17 m.
说明：本题的第(1)小题至关重要，它的正确性直接关系到第(2)(3)两小题的正确性，第(2)小题的思路也非常清晰，只要求抛物线与其中一个x轴的交点，点C的横坐标即可，而第(3)小题，学生若对平移的知识不能做到触类旁通的话，就很难解出此题．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．二次函数y＝x2－(m＋2)x＋4，当m＜－6时，图象与x轴( C )
A．没有交点
B．有且只有一个交点
C．有两个不相同的交点，且位于x轴的负半轴
D．有两个不相同的交点，且位于x轴的正半轴
2．在一定条件下，物体运动的路程s(m)与时间t(s)的关系式为s＝5t2＋2t，当物体经过的路程为88 m时，所需的时间为( B )
A．2 s B．4 s C．6 s D．8 s
3．廊桥是我国的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝－x2＋10.为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8 m的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF(精确到1 m)．
解：当y＝8时，－x2＋10＝8，解得x＝±4.∴EF＝|x1－x2|＝8≈18 m.
五、课堂小结
1．理顺利用函数解决实际问题的基本思想和基本思路．
2．二次函数的图象与x轴的交点的横坐标即为一元二次方程的解，反过来也正确．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
1．4 二次函数的应用(二)
教学目标：
1．继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程．会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、利润等函数最值问题．
2．提高应用数学解决问题的能力，培养学生分析问题的能力，能初步建立起解决最大值和最小值问题的数学模式．
3．体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值，体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型．
重点难点：
重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题．
难点：例1将现实问题数学化，情境比较复杂．
教学过程：
一、新课导入
拟建中的一个温室的平面如图，如果温室外围是一个矩形，周长是120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x(m)，种植面积为y(m2)．试建立y与x的函数解析式．求当x取何值时，种植面积最大？最大面积是多少？
解：y＝(x－2)(56－x)＝－x2＋58x－112＝－(x－29)2＋729(自变量取值范围2＜x＜56)，x取29时，种植面积最大，最大面积是729 m2.
说明：通过分析问题情境，复习回顾已学知识，由学生总结运用二次函数解决实际问题的一般步骤．
二、新知学习
想一想：
如何求下列函数的最值？
(1)y＝－2x2＋10x＋1(3≤x≤4)；
(2)y＝；
(3)y＝.
解：(1)当x＝3时，有最大值为13；当x＝4时，有最小值为9.
(2)当x＝－1时，y有最小值为.
(3)当x＝0时，5x2取到最小值为0，故100＋5x2取得最小值100，所以当x＝0时，y有最大值为.
归纳小结：
1．解题循环图：
2．利用二次函数的性质解决实际生活和生产中的最大值和最小值的问题，它的一般方法是：
(1)列出二次函数的解析式．列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．
(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值．
三、新知应用
典例探究：
【例】某市某超市购进一批20元/kg的绿色食品，如果以30元/kg销售，那么每天可售出400 kg.由销售经验知，每天销售量y(kg)与销售单价x(元)(x≥30)存在如图所示的一次函数关系．
(1)试求出y与x的函数解析式；
(2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润p元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】对于(1)，可设一次函数的解析式，并用点(30，400)和(40，200)代入求得解析式；对于(2)，可转化为二次函数求得最大利润．
【解】(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b，把点(30，400)和(40，200)代入，得解得∴y与x的函数解析式为y＝－20x＋1000.
(2)p＝(x－20) (－20x＋1000)＝－20x2＋1400x－20000＝－20(x－35)2＋4500.∴当x＝35(在范围x≥30内)时，p最大＝4500元．
说明：本题的一部分信息应从图象中得到，故碰到图象信息题或图表信息题时应尽量多地找出图象或图表的信息，从而找到解决问题的思路．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( C )
A．有最小值0，有最大值3
B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3
D．有最小值－1，无最大值
2．函数y＝，下列叙述正确的是( C )
A．当x＝－1时，y有最小值，值是2
B．当x＝－1时，y有最大值，值是2
C．当x＝－1时，y有最小值，值是
D．当x＝－1时，y有最大值，值是
3．如图，学校运动会上小徐参加推铅球比赛，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－x2＋x＋.则他将铅球推出的距离是( C )
A. m B．2 m
C．10 m D．无法确定
4．某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系式：m＝140－2x.
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数解析式；
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
解：(1)y＝(x－20)(140－2x)＝－2x2＋180x－2800.
(2)y＝－2x2＋180x－2800＝－2(x2－90x)－2800＝－2(x－45)2＋1250.
当x＝45时，y最大＝1250.
∴每件商品售价定为45元最合适，此时销售利润最大，为1250元．
五、课堂小结
1．由学生再次归纳出运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤．
2．提问：你认为在解题时应注意哪些问题．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
