1.1 二次函数 教学设计

1.1　二次函数
教学目标：
1．通过对实际问题情境的分析，让学生经历二次函数概念的形成过程，学会用类比思想学习二次函数知识．
2．掌握二次函数的概念．
3．认识到二次函数来源于实际生活，感受到二次函数在实际生活中有着广泛的应用．
重点难点：
重点：二次函数的概念．
难点：理解变量之间的对应关系．
教学过程：
一、新课导入
1．对于“函数”这个词，我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗？
(学过正比例函数、一次函数、反比例函数)
2．那么函数的定义是什么，大家还记得吗？能把学过的函数回忆一下吗？
(在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量)
从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式，那么二次函数的一般形式究竟是什么呢？本节课我们将揭开它神秘的面纱．
二、新知学习
观察思考：
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y与x之间的关系．
(1)圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)．
(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元．
答案：(1)y＝πx2；
(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000.
老师引导学生合作学习：
1．先独立探究，尝试写出y与x之间的函数关系式；
2．上述三个问题先易后难，在独立探究的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．
3．上述关系式具有哪些共同特征？
教师引导学生观察、分析、比较三个函数关系式．
引导学生观察时应注意：
(1)学生能否找出自变量及因变量的函数．
(2)学生能否归纳出三个函数的共同特点：经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c的形式(a，b，c是常数，a≠0)．
学生观察、思考问题，尝试回答问题．
归纳总结：
(1)上述三个函数解析式化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的形式．
(2)一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数．其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
三、新知应用
典例探究：
【例】如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，E是AB上一点，E不与A，B重合，F是BC上一点，F不与B，C重合，且BF＝2BE，若设BE＝x，△DEF的面积为S，求S关于x的函数关系，并求自变量x的取值范围．
【分析】先用x的代数式表示AE，BF，CF的长，再利用△DEF的面积等于矩形面积依次减去△ADE，△BEF，△CDF的面积这一等量关系列出函数关系式．
【解】∵BE＝x，∴AE＝6－x，BF＝2x，CF＝12－2x.∵S△DEF＝S矩形ABCD－S△ADE－S△BEF－S△CDF，∴S＝12×6－×12(6－x)－·x·2x－×6(12－2x)＝－x2＋12x.由题意，得解得0＜x＜6，即自变量x的取值范围是0＜x＜6.
综上，S关于x的函数关系式为S＝－x2＋12x(0＜x＜6)．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．若y＝(a－3)x2－2x＋5是二次函数，则a的取值范围是__a≠3__．
2．菱形的两条对角线的和为26 cm，则菱形的面积S(cm2)与一条对角线的长x(cm)之间的函数关系式为__S＝x(26－x)(0＜x＜26)__．
3．一台机器原价40万元，每次降价的百分率为x，那么连续两次降价后的价格y(万元)为( C )
A．y＝40(1－x)　　　　　　　B．y＝40(1－x2)
C．y＝40(1－x)2 D．y＝40(1＋x)2
4．若y＝(m＋2)xm2＋m是关于x的二次函数，则常数m的值为( A )
A．1　　　B．2　　　C．－2　　　D．1或－2
五、课堂小结
1．到目前为止，我们学习了哪些函数？这些函数之间有什么联系？
2．二次函数的一般表达式是怎样的？对a，b，c有什么条件限制？
3．谈一谈你的收获和困惑．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．