1.3 二次函数的性质 教学设计

1.3　二次函数的性质
教学目标：
1．从具体函数的图象中认识二次函数的性质，学会确定二次函数的增减性，学会确定二次函数的最大值及最小值，学会判定二次函数的值何时为零、何时为正、何时为负．
2．培养学生用五点法画二次函数草图的能力，培养学生观察、分析、归纳、总结的能力．
3．让学生体会数形结合的数学思想，向学生渗透事物间互相联系，以及运动、变化的辩证唯物主义思想．
重点难点：
重点：二次函数的最大值、最小值及增减性的理解和求法．
难点：二次函数的性质的应用．
教学过程：
一、新课导入
1．上节课，我们已学习了形如什么样的二次函数的图象？
2．形如y＝ax2＋bx＋c的二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标各是什么？
说明：通过这两个问题，进一步复习巩固所学的知识点，同时引出本节课要学习的问题．
二、新知学习

1．探索填空：
(1)如图，抛物线y＝－2x2的顶点坐标是__(0，0)__，对称轴是__y轴__，在__对称轴的左__侧，即x__＜__0时，y随着x的增大而增大，在__对称轴的右__侧，即x__＞__0时，y随着x的增大而减小，当x＝__0__时，函数y最大值是__0__，当x__≠__0时，y＜0.
(2)如图，抛物线y＝2x2的顶点坐标是__(0，0)__，对称轴是__y轴__，在__对称轴的左__侧，即x≤0时，y随着x的增大而减小，在__对称轴的右__侧，即x≥0时，y随着x的增大而增大，当x＝__0__时，函数y最小值是__0__，当x__≠__0时，y＞0.
探索二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质．
1．(1)顶点坐标与对称轴；
(2)位置与开口方向；
(3)增减性与最值．
当a＞0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当x＝－时，函数y有最小值.当a＜0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小；当x＝－时，函数y有最大值.
探索二次函数y＝ax2＋b x＋c(a≠0)的图象与x轴的交点情况．
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：
(1)有两个交点；
(2)有一个交点；
(3)没有交点．
当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根x1与x2；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
归纳总结二次函数的有关性质．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的有关性质见下表：
顶点
坐标
(－，)
对称
轴
直线x＝－
与x
轴
交点
b2－4ac＞0时
b2－4ac＝0时
b2－4ac＜0时
两个
一个
无
开口
a＞0时
a＜0时
向上
向下
增减
性
对称轴的
左侧
对称轴的
右侧
对称轴的
左侧
对称轴的
右侧
y随x的
增大而减小
y随x的
增大而增大
y随x的
增大而增大
y随x的
增大而减小
最值
a＞0时
a＜0时
最小值
最大值
三、新知应用
典例探究：
【例】对于二次函数y＝－2x2＋8x－8.
(1)说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
(2)求出此抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
(3)结合图象回答：当x为何值时，y随着x的增大而减小．
【分析】由于a＝－2＜0，函数有最大值；抛物线与x轴、y轴的交点坐标，只需在二次函数解析式中分别令y＝0和x＝0，并求解所得的方程，即可写出相应的交点坐标，对于二次函数的增减性，可结合图象，以对称轴为分界线，进行讨论．
【解】(1)∵a＝－2＜0，b＝8，c＝－8，∴－＝2，＝0.∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点(2，0)，函数最大值为0.
(2)当y＝0时，－2x2＋8x－8＝0，解得x＝2，即抛物线与x轴的交点坐标是(2，0)；当x＝0时，y＝－8，即抛物线与y轴的交点坐标是(0，－8.)
(3)图略．由图可知，当x≥2时，y随着x的增大而减小．
说明：让学生掌握用五点法来画二次函数的草图，在解题过程中让学生结合图象回答，培养学生养成运用数形结合思想来解题的习惯．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．二次函数y＝x2＋2x－5取最小值时，自变量x的值是( D )
A．2　　　B．－2　　　C．1　　　D．－1
2．抛物线y＝x2＋x＋1与坐标轴的交点个数是( B )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．已知二次函数y＝ax2＋6x－1的图象与x轴有交点，则a的取值范围是( D )
A．a＞－9 B．a≥－9
C．a＞9且a≠0 D．a≥－9且a≠0
4．已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.
(1)求A，B，C三点的坐标．
(2)求S△ABC的值．
(3)结合图象，当x取何值时，y＞0？何值时y＜0?
解：(1)当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)．
当x＝0时，y＝－3，∴C(0，－3)．
(2)S△ABC＝AB·OC＝×4×3＝6.
(3)当x＜－1或x＞3时，y＞0；
当－1＜x＜3时，y＜0.
五、课堂小结
1．本节课我们学习了二次函数的哪些性质？
2．如何用五点法画函数草图？
3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于点(x1，0)，(x2，0)，则图象的对称轴是直线x＝，为什么？
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．