1．2 二次函数的图象(一)
教学目标：
1．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，掌握二次函数y＝ax2的性质．
2．经历探索二次函数y＝ax2的图象与性质的过程，能运用二次函数y＝ax2的图象及性质解决简单的实际问题，掌握数形结合的数学思想方法．
3．通过数学学习活动，体会数学与实际生活的联系，感受数学的实际意义，激发学习兴趣．
重点难点：
会画二次函数y＝ax2的图象和理解相关概念是本节课的学习重点也是难点；对二次函数研究的途径和方法的体悟也是本节课的难点．
教学过程：
一、新课导入
描点法画反比例函数图象的一般步骤是什么？
答：列表，描点，连线
用什么方法来研究反比例函数图象的性质？
我们用同种方法可以画出二次函数y＝ax2的图象．
说明：通过画曲线，用类比的方法引出二次函数y＝ax2的图象，开课自然且学生也容易接受．
二、新知学习
画出二次函数y＝x2的图象．
按照描点法分三步画图：
(1)列表：由于x可取任意实数，故以0为中心选取x的值，以1为间距取值，且取整数值，便于计算．注意x取相反数时，相应的y值相同.
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y0
1
(2)描点：建立适当的直角坐标系，并以表中各组对应值为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点．
(3)连线：用平滑曲线顺次连结各点，即得所求y＝x2的图象．(注意：用光滑曲线连结时按从左到右顺次连结)(如图)
让学生观察老师所画的图象，给出抛物线的概念．并说明：二次函数y＝x2的图象是一条抛物线．实际上，二次函数的图象都是抛物线．
画出函数y＝2x2与y＝－2x2的图象．
(1)列自变量x与函数y的对应值表．
x
…
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
…
y＝2x2
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
y＝－2x2
…
－4.5
－2
－0.5
0
－0.5
－2
－4.5
…
(2)描点并用光滑曲线顺次连结各点，即可得到函数y＝2x2与y＝－2x2的图象(如图)．
想一想 二次函数y＝2x2的图象与y＝－2x2的图象关于什么对称？如果已知y＝ax2(a≠0)的图象，你认为可以怎样更方便地得到y＝－ax2的图象？
答：二次函数y＝2x2的图象与y＝－2x2的图象关于x轴对称．如果已知y＝ax2(a≠0)的图象，可以利用画关于x轴的轴对称图形来得到y＝－ax2的图象．
归纳总结：
1．观察所画的图象，二次函数y＝x2的图象是一条关于y轴对称、过坐标原点且向上伸展的曲线，像这样的曲线通常叫抛物线．抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．
2．一般地，二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点．
(1)当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点．
(2)当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点．
三、新知应用
典例探究：
【例】已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．
①求满足条件的m的值；
②m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x为何值时，y随x的增大而增大？
③m为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？
【解】①由题意得解得
∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数．
②若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m＋2＞0，即m＞－2.
∴只能取m＝2.
∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大．
③若函数有最大值，则抛物线开口向下，
∴m＋2＜0，即m＜－2.
∴只能取m＝－3.
∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)，
∴当m＝－3时，函数有最大值为0.
∴当x＞0时，y随x的增大而减小．
小组合作完成．
教师点拨：要结合图象来分析完成此题．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．抛物线y＝x2与y＝－x2的形状__相同__，开口__方向相反__，它们关于__x__轴对称．
2．已知二次函数y＝(m－2)x2的图象开口向下，则m的取值范围是__m＜2__．
3．抛物线y＝2x2，y＝－2x2共有的性质是( B )
A．开口向上 B．对称轴都是y轴
C．都有最高点 D．都有最低点
4．在同一坐标系中，下列图象与y＝2x2的图象关于x轴对称的是( C )
A．y＝x2 B．y＝－x2
C．y＝－2x2 D．y＝－x2
五、课堂小结
1．本节课我们学习了哪些内容？
2．画函数图象应注意哪些问题？
3．对本节课你有什么困惑？说给同学听．
在学生回答基础上教师点评．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
1．2 二次函数的图象(三)
教学目标：
1．掌握一般二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与二次函数y＝ax2型的图象的位置关系．掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标、对称轴的求法．
2．能运用配方法将y＝ax2＋bx＋c变形成y＝a(x＋m)2＋k的形式．
3．通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲．通过合作学习，培养学生团结协作的思想品质．
重点难点：
重点：二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴、顶点坐标的确定．
难点：利用配方法进行解析式的恒等变形，过程较为复杂，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
1．我们已经发现，二次函数y＝(x－6)2＋3的图象，可以由函数y＝x2的图象先向__右__平移__6__个单位，再向__上__平移__3__个单位得到，因此，可以直接得出：函数y＝(x－6)2＋3的开口__向上__，对称轴是__x＝6__，顶点坐标是__(6，3)__．
2．对于任意一个一般形式的二次函数，如y＝x2－6x＋21.你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？
3．引出课题——二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质．
二、新知学习
1．讨论一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴与顶点对称，用配方法把一般式化成配方式：
y＝ax2＋bx＋c?y＝a(x2＋x)＋c?y＝a(x2＋x＋－)＋c?y＝a(x＋)2－＋c?y＝a(x＋)2＋.
2．结论：函数y＝ax2＋bx＋c的图象与函数y＝ax2的图象的形状、开口方向均相同，可以通过平移y＝ax2的图象得到．
3．性质：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)，当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点．
三、新知应用
典例探究：
【例】将下列二次函数写成顶点式y＝a(x－h) 2＋k的形式，并写出其开口方向，顶点坐标，对称轴．
①y＝x2－6x＋21；
②y＝－2x2－12x－22.
【解】①y＝x2－6x＋21
＝(x2－12x)＋21
＝(x2－12x＋36－36)＋21
＝(x－6)2＋3.
∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，3)，对称轴是x＝6.
②y＝－2x2－12x－22
＝－2(x2＋6x)－22
＝－2(x2＋6x＋9－9)－22
＝－2(x＋3)2－4.
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(－3，－4)，对称轴是x＝－3.
学生独立解答后，小组间交流．
教师点拨：第②小题注意h值的符号；配方法是数学里的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．抛物线y＝－x2＋x－4的对称轴是( B )
A．直线x＝－2 B．直线x＝2
C．直线x＝－4 D．直线x＝4
2．要得到二次函数y＝－x2＋2x－2的图象，需将y＝－x2的图象( D )
A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
3．求二次函数y＝－x2＋x－的顶点坐标及对称轴．
解：配方法：y＝－x2＋x－＝－(x2－2x＋5)＝－(x－1)2－2.∴顶点为(1，－2)，对称轴为x＝1.
点拨：也可用顶点坐标公式求．
4．将抛物线y＝x2＋4x－7向左平移2个单位，再向上平移4个单位，求平移后的抛物线的解析式．
解：∵y＝x2＋4x－7＝(x＋2)2－11，∴顶点为(－2，－11)，∴平移后顶点为(－4，－7)．平移后抛物线为y＝(x＋4)2－7.
五、课堂小结
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标通常有几种方法？配方时应注意什么？公式是怎样的？
2．指出y＝ax2＋bx＋c的开口方向、顶点坐标．
学生回答，学生互译之后，教师点评．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
1．2 二次函数的图象(二)
教学目标：
1．继续熟悉用描点法画二次函数的图象．掌握二次函数y＝a(x＋m)2(a≠0)型图象与二次函数y＝ax2型图象在直角坐标系中的位置特点及移动方法；了解y＝ax2，y＝a(x＋m)2，y＝a(x＋m)2＋k三类二次函数图象之间的关系．
2．经历将二次函数图象平移的过程，理解函数图象平移的意义，提高和培养学生的空间想象能力和绘图能力．
3．用描点法画二次函数y＝ax2的图象，让学生体会数形结合的数学思想的作用，真正体会数学知识的连贯性．
重点难点：
重点：y＝a(x＋m)2型二次函数与y＝ax2型二次函数图象之间的位置关系，y＝a(x＋m)2＋k型二次函数与y＝a(x＋m)2型二次函数图象之间的位置关系，以及图象在顶点坐标、对称轴等方面的特征．
难点：对于平移变换的理解和确定，学生较难把握，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
你能说一说二次函数y＝ax2的图象及其特点吗？
1．顶点坐标(0，0)．
2．对称轴是y轴．
3．一般地，二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线．当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点，抛物线在x轴的上方(除顶点外)；当a＜0时， 抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点，抛物线在x轴的下方(除顶点外)．
说明：通过复习二次函数y＝ax2的图象及其特点，让学生既复习了已学的知识，又为新知识的学习做好了知识和思想上的准备．
二、新知学习
用描点法，在同一坐标系中画出y＝－x2，y＝－(x＋1)2，y＝－(x－1)2的图象．
(1)列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝－x2
…
－4.5
－2
－0.5
0
－0.5
－2
－4.5
…
y＝－(x＋1)2
…
－2
－0.5
0
－0.5
－2
－4.5
－8
…
y＝－(x－1)2
…
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－0.5
－2
…
(2)(如图)在同一平面直角坐标系中画出图象．
(3)引导学生结合图象分析研究以下问题：
①抛物线y＝－(x＋1)2，y＝－(x－1)2与y＝－x2的图象的形状和位置的相同点与不同点是什么？
答：形状相同；位置不同．
②抛物线y＝－(x＋1)2的开口方向是__向下__，对称轴是__x＝－1__，顶点坐标是__(－1，0)__．
③抛物线y＝－(x－1)2的开口方向是__向下__，对称轴是__x＝1__，顶点坐标是__(1，0)__．
④抛物线y＝－(x＋1)2可以由抛物线y＝－x2向__左__平移__1__个单位得到；抛物线y＝－(x－1)2可以由抛物线y＝－x2向__右__平移__1__个单位得到．
归纳总结：
当m＞0时，y＝ax2(a≠0)的图象向左平移m个单位得到y＝a(x＋m)2的图象．
当m＜0时，y＝ax2(a≠0)的图象向右平移|m|个单位得到y＝a(x＋m)2的图象．
(如图)用描点法，在同一坐标系中画出y＝x2，y＝(x＋2)2，y＝(x＋2)2＋3的图象，师生共同完成；然后引导学生观察y＝x2，y＝(x＋2)2与y＝(x＋2)2＋3的图象，进行讨论：
(1)y＝x2，y＝(x＋2)2与y＝(x＋2)2＋3的图象形状、位置如何？
答：①三条抛物线的形状完全相同，只是位置不同．
②y＝x2的图象y＝(x＋2)2的图象y＝(x＋2)2＋3的图象．
③y＝x2的图象
y＝(x＋2)2＋3的图象．
(2)找出一般规律：
①y＝ax2的图象y＝a(x＋m)2的图象y＝a(x＋m)2＋k的图象．
②移动法则：左右平移由m决定，“负向右，正向左”；上下平移由k决定，“正向上，负向下”．
③函数y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的图象的顶点是(－m，k)，对称轴是直线x＝－m，顶点在图象的位置特征和图象的开口方向与函数y＝ax2的图象相同．
三、新知应用
典例探究：
【例】给定以下三个二次函数y＝－x2，y＝－(x＋3)2，y＝－(x－2)2＋1，
回答下列问题：
(1)函数y＝－(x＋3)2的图象可以由函数y＝－x2的图象经怎样的平移得到？并说出它的顶点坐标和对称轴．
(2)函数y＝－(x－2)2＋1的图象可以由函数y＝－x2的图象经怎样的平移得到？并说出它的顶点坐标和对称轴．
【解】(1)函数y＝－x2的图象向左平移3个单位得到函数y＝－(x＋3)2的图象，它的顶点坐标为(－3，0)，对称轴为直线x＝－3.
(2)函数y＝－x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝－(x－2)2＋1的图象，它的顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2.
方法归纳：此类平移题目，由y＝ax2(a≠0)平移成y＝a(x＋m)2＋k的形式，一般我们需要抓住它们的形状、大小、开口方向不变，顶点在变这一关系，理解“左加，右减，上加，下减”的含义．当然，最直观的方法——数形结合是本题最好的体现．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．抛物线y＝(x＋3)2－1的顶点坐标为( C )
A．(3，－1) B．(－3，1)
C．(－3，－1) D．(3，1)
2．将二次函数y＝2(x－2)2＋3的图象通过平移得到函数y＝2(x＋2)2－3的图象，则其平移的方法是( B )
A．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
B．先向下平移6个单位，再向左平移4个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
D．先向右平移4个单位，再向上平移6个单位
3．抛物线y＝－2(x－1)2－3的开口方向是__向下__，其顶点坐标是__(1，－3)__，对称轴是直线__x＝1__．
4．抛物线y＝－3(x－1)2－2向上移__3__个单位，再向__左__移__5__个单位得y＝－3(x＋4)2＋1.
五、课堂小结
师生共同总结本节课的知识要点：
1．函数y＝a(x＋m)2＋k的图象和函数y＝ax2图象之间的关系；
2．函数y＝a(x＋m)2＋k的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴等知识．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
