4.6 相似多边形 教学设计
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4.6 相似多边形
教学目标：
1．了解相似多边形的概念和性质．
2．在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似．
3．会用相似多边形的性质解决简单的几何问题．
4．在自主探索、观察、发现的过程中，培养学生的探索精神，体会探索的乐趣．
重点难点：
重点：相似多边形的定义和性质．
难点：要判断两个多边形是否相似，需要看它们的边是否对应成比例，对应角是否相等，情形要比三角形复杂，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
如图，四边形A′B′C′D′是四边形ABCD经过相似变换所得的像，请分别求出这两个四边形的对应边的长度，并分别量出这两个四边形各个内角的度数．
然后与你的同伴议一议：这两个四边形的对应角之间有什么关系？对应边之间有什么关系？
说明：通过自主观察、探索、交流的过程，培养学生的合作意识．
二、新知学习
(一)算一算：两个四边形的对应边的长度
AB＝4，BC＝，CD＝，DA＝，
A′B′＝8，B′C′＝ 2，C′D′＝2，D′A′＝2.
由上可得：这两个四边形的对应边__成比例__．
(二)量一量：两个四边形对应角的度
∠A＝64°，∠B＝72°，∠C＝82°，∠D＝142°.
∠A′＝64°，∠B′＝72°，∠C′＝82°，∠D′＝142°.
由上可得：这两个四边形的对应角__相等__．
(三)相似多边形定义
一般地，对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
相似多边形的表示：对应顶点字母写在对应的位置上，如四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD.
相似多边形的对应边的比也叫做相似比．
像情境图中，四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比是2.(四边形ABCD与A′B′C′D′的相似比为)
(四)做一做
1．如图，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k，求四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比．
【解】∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，且相似比为k.
∴＝＝＝＝k.
即A1B1＝kA2B2，B1C1＝kB2C2，C1D1＝kC2D2，D1A1＝kD2A2.
∴
＝
＝＝k.
2．(1)连结第1题两个相似四边形的对角线A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？△A1C1D1与△A2C2D2呢？如果相似，它们的相似比相等吗？为什么？
【解】△A1B1C1∽△A2B2C2.理由如下：
∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，
∴＝，∠B1＝∠B2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2.
△A1C1D1∽△A2C2D2.理由同上．
相似比相等，都等于k.
(2)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积之比与相似比有什么关系？
【解】由(1)得，S△A1B1C1＝k2S△A2B2C2.
S△A1C1D1＝k2S△A2C2D2，
而S四边形A1B1C1D1＝S△A1C1D1＋S△A1B1C1，
S四边形A2B2C2D2＝S△A2C2D2＋S△A2B2C2，
∴S四边形A1B1C1D1＝k2S四边形A2B2C2D2.
(五)相似多边形性质
与相似三角形类似，相似多边形有以下性质：
1．相似多边形各对应角相等，对应边成比例．
2．相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．
说明：通过类比相似三角形的概念和性质的探索，导入相似多边形的概念和性质，体会探索的乐趣．
三、新知应用
【例1】已知矩形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，求证：四边形ABCD∽四边形BFOE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°.又∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB＝∠EBF＝∠OFB＝∠EOF＝∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，且OE∥BC，OF∥AB，∴△BEO∽△ABD，△BFO∽△BCD.∴＝＝＝＝.
∴四边形ABCD∽四边形BFOE.
说明：要判断两个多边形是否相似，关键是要看它们的边是否对应成比例，对应角是否相等，缺一不可，否则两个多边形就不相似．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．两个相似多边形的面积之比为2，则周长之比为( D )
A．1∶2 B．1∶
C．1∶4 D.∶1
2．在下面的三个矩形中，相似的是( B )
A．甲和乙 B．甲和丙
C．乙和丙 D．甲、乙和丙
3．两个相似多边形的相似比为1∶3，则它们的对应对角线的比为__1∶3__．
4．如图，矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，且两个矩形的宽分别是AB＝2，C′D′＝3，它们的面积之和为39，求矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积分别是多少？
解：设矩形ABCD的面积为x，则矩形A′B′C′D′的面积为(39－x)．由题意，得
＝()2，
解得x＝12，39－x＝27.
∴矩形ABCD的面积为12，矩形A′B′C′D′的面积为27.
五、课堂小结
1．对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比．
2．相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
教学目标：
1．了解相似多边形的概念和性质．
2．在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似．
3．会用相似多边形的性质解决简单的几何问题．
4．在自主探索、观察、发现的过程中，培养学生的探索精神，体会探索的乐趣．
重点难点：
重点：相似多边形的定义和性质．
难点：要判断两个多边形是否相似，需要看它们的边是否对应成比例，对应角是否相等，情形要比三角形复杂，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
如图，四边形A′B′C′D′是四边形ABCD经过相似变换所得的像，请分别求出这两个四边形的对应边的长度，并分别量出这两个四边形各个内角的度数．
然后与你的同伴议一议：这两个四边形的对应角之间有什么关系？对应边之间有什么关系？
说明：通过自主观察、探索、交流的过程，培养学生的合作意识．
二、新知学习
(一)算一算：两个四边形的对应边的长度
AB＝4，BC＝，CD＝，DA＝，
A′B′＝8，B′C′＝ 2，C′D′＝2，D′A′＝2.
由上可得：这两个四边形的对应边__成比例__．
(二)量一量：两个四边形对应角的度
∠A＝64°，∠B＝72°，∠C＝82°，∠D＝142°.
∠A′＝64°，∠B′＝72°，∠C′＝82°，∠D′＝142°.
由上可得：这两个四边形的对应角__相等__．
(三)相似多边形定义
一般地，对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
相似多边形的表示：对应顶点字母写在对应的位置上，如四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD.
相似多边形的对应边的比也叫做相似比．
像情境图中，四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比是2.(四边形ABCD与A′B′C′D′的相似比为)
(四)做一做
1．如图，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k，求四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比．
【解】∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，且相似比为k.
∴＝＝＝＝k.
即A1B1＝kA2B2，B1C1＝kB2C2，C1D1＝kC2D2，D1A1＝kD2A2.
∴
＝
＝＝k.
2．(1)连结第1题两个相似四边形的对角线A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？△A1C1D1与△A2C2D2呢？如果相似，它们的相似比相等吗？为什么？
【解】△A1B1C1∽△A2B2C2.理由如下：
∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，
∴＝，∠B1＝∠B2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2.
△A1C1D1∽△A2C2D2.理由同上．
相似比相等，都等于k.
(2)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积之比与相似比有什么关系？
【解】由(1)得，S△A1B1C1＝k2S△A2B2C2.
S△A1C1D1＝k2S△A2C2D2，
而S四边形A1B1C1D1＝S△A1C1D1＋S△A1B1C1，
S四边形A2B2C2D2＝S△A2C2D2＋S△A2B2C2，
∴S四边形A1B1C1D1＝k2S四边形A2B2C2D2.
(五)相似多边形性质
与相似三角形类似，相似多边形有以下性质：
1．相似多边形各对应角相等，对应边成比例．
2．相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．
说明：通过类比相似三角形的概念和性质的探索，导入相似多边形的概念和性质，体会探索的乐趣．
三、新知应用
【例1】已知矩形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，求证：四边形ABCD∽四边形BFOE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°.又∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB＝∠EBF＝∠OFB＝∠EOF＝∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，且OE∥BC，OF∥AB，∴△BEO∽△ABD，△BFO∽△BCD.∴＝＝＝＝.
∴四边形ABCD∽四边形BFOE.
说明：要判断两个多边形是否相似，关键是要看它们的边是否对应成比例，对应角是否相等，缺一不可，否则两个多边形就不相似．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．两个相似多边形的面积之比为2，则周长之比为( D )
A．1∶2 B．1∶
C．1∶4 D.∶1
2．在下面的三个矩形中，相似的是( B )
A．甲和乙 B．甲和丙
C．乙和丙 D．甲、乙和丙
3．两个相似多边形的相似比为1∶3，则它们的对应对角线的比为__1∶3__．
4．如图，矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，且两个矩形的宽分别是AB＝2，C′D′＝3，它们的面积之和为39，求矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积分别是多少？
解：设矩形ABCD的面积为x，则矩形A′B′C′D′的面积为(39－x)．由题意，得
＝()2，
解得x＝12，39－x＝27.
∴矩形ABCD的面积为12，矩形A′B′C′D′的面积为27.
五、课堂小结
1．对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比．
2．相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
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