4.3 相似三角形 教学设计
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4.3 相似三角形
教学目标：
1．了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似．
2．理解“相似三角形的对应角相等，对应边成比例”的性质．
3．能运用相似三角形的概念判断两个三角形相似．
4．能运用相似三角形的性质解决简单的求值问题．
重点难点：
重点：相似三角形的概念及其性质．
难点：在具体的图形中找出相似三角形的对应边，并写出比例式，需要学生具有一定的分辨能力，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
情境一 课件出示本节的导图，请学生仔细观察．
有些奇妙的曲线与三角形的相似变换有着密切的联系．
情境二 课件出示：①国旗上的五角星；②同一底片不同尺寸的照片；③大小不同的两块含30°，60°角的三角板．以上图形之间可以通过怎样的图形变换得到？
经过相似变换后得到的像与原像称为相似图形，那么将一个三角形相似变换后所得的像与原像称为相似三角形．
说明：通过提出学生较感兴趣的问题，激发学生对研究相似三角形的兴趣与热情．
二、新知学习
(一)合作学习
如图，在方格纸内先任意画一个△ABC，然后画出△ABC经某一相似变换(如放大或缩小若干倍)后得到的像△A′B′C′(点A′B′，C′分别对应点A，B，C)．
对应顶点写在对应的位置上，这样可以比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．
问题讨论：1.△A′B′C′与△ABC对应角之间有什么关系？
问题讨论：2.△A′B′C′与△ABC对应边之间有什么关系？
学生相互比较得到的结论：__对应角相等，对应边成比例__．
(二)由合作学习定义相似三角形的概念
1．相似三角形：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．
2．表示：相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”．
如△A′B′C′与△ABC相似，记作“△A′B′C′∽△ABC”．
注意：在表示三角形相似时，一般把对应顶点的字母写在对应的位置上．
3．定义的几何语言表述：
∵∠A′＝∠A，∠B′＝∠B，∠C′＝∠C，
＝＝，
∴△A′B′C′∽△ABC.
(三)结合定义探求性质
1．根据相似三角形的定义，可以得到以下性质：
相似三角形的对应角__相等__，对应边__成比例__．
2．相似比(相似系数)：
相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比(或相似系数)．
注意：求两个相似三角形的相似比，应注意这两个三角形的前后顺序．
如图，因为＝，所以△ABC与△A′B′C′的相似比为__2__，而△A′B′C′与△ABC的相似比为____．
(四)想一想
1．两个全等三角形是不是相似三角形？如果是，那么它们的相似比是多少？
__是相似三角形，相似比是1__．
2．如果两个全等三角形中的一个与第三个三角形相似，那么这两个全等三角形的另一个也与第三个三角形相似吗？为什么？
__相似，理由略__．
3．两个直角三角形相似吗？为什么？两个等腰三角形呢？
__两个直角三角形不一定相似，两个等腰直角三角形相似__．
三、新知应用
【例1】已知△ABC的三边长分别是3，4，5，与其相似的△A′B′C′的最大边长是15，求△A′B′C′的面积．
【分析】因为△ABC的三边长为3，4，5，所以△ABC是直角三角形，又因为△ABC与△A′B′C′相似，所以△A′B′C′也是直角三角形，又△A′B′C′的斜边长为15，由相似三角形对应边成比例，求Rt△A′B′C′的两条直角边，故△A′B′C′的面积可得．
【解】∵32＋42＝52，
∴△ABC是直角三角形，不妨设∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5.
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝90°，＝＝.
又∵A′B′＝15，
∴A′C′＝9，B′C′＝12，
∴S△A′B′C′＝A′C′·B′C′＝×9×12＝54.
说明：此例旨在进一步掌握相似三角形所具备的性质，特别是对应边成比例，同时在讲解中让学生注意“多解要点而不致遗漏”，培养学生细致耐心的数学观．
【例2】如图，△ABC∽△ADE，AE＝5，AD＝6，AC＝8，BC＝16，∠BAC＝40°，∠AED＝75°.求：
(1)∠B的度数．
(2)ED和BE的长．
【分析】(1)由△ABC∽△ADE可得∠B＝∠ADE，而在△ADE中，∠BAD＝40°，∠AED＝75°，可求得∠ADE的度数，从而得∠B的度数．
(2)由△ABC∽△ADE得＝＝，而AE，AD，AC已知，从而可求得AB，DE的长，进一步求得BE的长．
【解】(1)∵∠BAC＝40°，∠AED＝75°，
∴∠ADE＝180°－40°－75°＝65°.
又∵△ABC∽△ADE，
∴∠B＝∠ADE＝65°.
(2)∵△ABC∽△ADE，
∴＝＝，
∵AE＝5，AD＝6，AC＝8，BC＝16，
∴＝＝.
解得AB＝，DE＝10.
∴BE＝AB－AE＝－5＝.
说明：例2的目的是进一步巩固相似三角形的性质，在教学过程中多启发学生去分析问题．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．△ABC∽△A′B′C′的相似比为2，则△A′B′C′∽△ABC的相似比为( A )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶1 D．无法确定
2．△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长为( A )
A. B. C. D.
3．已知△ABC∽△A′B′C′，如果对应边BC＝3，B′C′＝1.8，那么△A′B′C′与△ABC的相似比为( B )
A．5∶3 B．3∶5
C．3∶2 D．2∶3
4．如图，EF是△ABC的中位线，则△AEF与△ABC的相似比是 ( B )
A．1∶1
B．1∶2
C．2∶1
D．1∶4
5．已知△ABC∽△A′B′C′，A′C′与AC是对应边，若A′C′＝3， AC＝4，BC＝5，AB＝7，则△A′B′C′的周长为( A )
A．12 B．13 C．14 D．15
6．如图，D，E分别是AB，AC上两点，且AD＝4，BD＝2，AC＝8，若△AED与△ABC相似，求AE的长．
解：∵△AED∽△ABC，
∴＝，
∴AE＝＝＝3.
五、课堂小结
1．相似三角形的概念：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
2．相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
3．相似比(或相似系数)：相似三角形的对应边的比叫做这两个相似三角形的相似比(或相似系数)．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
教学目标：
1．了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似．
2．理解“相似三角形的对应角相等，对应边成比例”的性质．
3．能运用相似三角形的概念判断两个三角形相似．
4．能运用相似三角形的性质解决简单的求值问题．
重点难点：
重点：相似三角形的概念及其性质．
难点：在具体的图形中找出相似三角形的对应边，并写出比例式，需要学生具有一定的分辨能力，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
情境一 课件出示本节的导图，请学生仔细观察．
有些奇妙的曲线与三角形的相似变换有着密切的联系．
情境二 课件出示：①国旗上的五角星；②同一底片不同尺寸的照片；③大小不同的两块含30°，60°角的三角板．以上图形之间可以通过怎样的图形变换得到？
经过相似变换后得到的像与原像称为相似图形，那么将一个三角形相似变换后所得的像与原像称为相似三角形．
说明：通过提出学生较感兴趣的问题，激发学生对研究相似三角形的兴趣与热情．
二、新知学习
(一)合作学习
如图，在方格纸内先任意画一个△ABC，然后画出△ABC经某一相似变换(如放大或缩小若干倍)后得到的像△A′B′C′(点A′B′，C′分别对应点A，B，C)．
对应顶点写在对应的位置上，这样可以比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．
问题讨论：1.△A′B′C′与△ABC对应角之间有什么关系？
问题讨论：2.△A′B′C′与△ABC对应边之间有什么关系？
学生相互比较得到的结论：__对应角相等，对应边成比例__．
(二)由合作学习定义相似三角形的概念
1．相似三角形：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．
2．表示：相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”．
如△A′B′C′与△ABC相似，记作“△A′B′C′∽△ABC”．
注意：在表示三角形相似时，一般把对应顶点的字母写在对应的位置上．
3．定义的几何语言表述：
∵∠A′＝∠A，∠B′＝∠B，∠C′＝∠C，
＝＝，
∴△A′B′C′∽△ABC.
(三)结合定义探求性质
1．根据相似三角形的定义，可以得到以下性质：
相似三角形的对应角__相等__，对应边__成比例__．
2．相似比(相似系数)：
相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比(或相似系数)．
注意：求两个相似三角形的相似比，应注意这两个三角形的前后顺序．
如图，因为＝，所以△ABC与△A′B′C′的相似比为__2__，而△A′B′C′与△ABC的相似比为____．
(四)想一想
1．两个全等三角形是不是相似三角形？如果是，那么它们的相似比是多少？
__是相似三角形，相似比是1__．
2．如果两个全等三角形中的一个与第三个三角形相似，那么这两个全等三角形的另一个也与第三个三角形相似吗？为什么？
__相似，理由略__．
3．两个直角三角形相似吗？为什么？两个等腰三角形呢？
__两个直角三角形不一定相似，两个等腰直角三角形相似__．
三、新知应用
【例1】已知△ABC的三边长分别是3，4，5，与其相似的△A′B′C′的最大边长是15，求△A′B′C′的面积．
【分析】因为△ABC的三边长为3，4，5，所以△ABC是直角三角形，又因为△ABC与△A′B′C′相似，所以△A′B′C′也是直角三角形，又△A′B′C′的斜边长为15，由相似三角形对应边成比例，求Rt△A′B′C′的两条直角边，故△A′B′C′的面积可得．
【解】∵32＋42＝52，
∴△ABC是直角三角形，不妨设∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5.
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝90°，＝＝.
又∵A′B′＝15，
∴A′C′＝9，B′C′＝12，
∴S△A′B′C′＝A′C′·B′C′＝×9×12＝54.
说明：此例旨在进一步掌握相似三角形所具备的性质，特别是对应边成比例，同时在讲解中让学生注意“多解要点而不致遗漏”，培养学生细致耐心的数学观．
【例2】如图，△ABC∽△ADE，AE＝5，AD＝6，AC＝8，BC＝16，∠BAC＝40°，∠AED＝75°.求：
(1)∠B的度数．
(2)ED和BE的长．
【分析】(1)由△ABC∽△ADE可得∠B＝∠ADE，而在△ADE中，∠BAD＝40°，∠AED＝75°，可求得∠ADE的度数，从而得∠B的度数．
(2)由△ABC∽△ADE得＝＝，而AE，AD，AC已知，从而可求得AB，DE的长，进一步求得BE的长．
【解】(1)∵∠BAC＝40°，∠AED＝75°，
∴∠ADE＝180°－40°－75°＝65°.
又∵△ABC∽△ADE，
∴∠B＝∠ADE＝65°.
(2)∵△ABC∽△ADE，
∴＝＝，
∵AE＝5，AD＝6，AC＝8，BC＝16，
∴＝＝.
解得AB＝，DE＝10.
∴BE＝AB－AE＝－5＝.
说明：例2的目的是进一步巩固相似三角形的性质，在教学过程中多启发学生去分析问题．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．△ABC∽△A′B′C′的相似比为2，则△A′B′C′∽△ABC的相似比为( A )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶1 D．无法确定
2．△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长为( A )
A. B. C. D.
3．已知△ABC∽△A′B′C′，如果对应边BC＝3，B′C′＝1.8，那么△A′B′C′与△ABC的相似比为( B )
A．5∶3 B．3∶5
C．3∶2 D．2∶3
4．如图，EF是△ABC的中位线，则△AEF与△ABC的相似比是 ( B )
A．1∶1
B．1∶2
C．2∶1
D．1∶4
5．已知△ABC∽△A′B′C′，A′C′与AC是对应边，若A′C′＝3， AC＝4，BC＝5，AB＝7，则△A′B′C′的周长为( A )
A．12 B．13 C．14 D．15
6．如图，D，E分别是AB，AC上两点，且AD＝4，BD＝2，AC＝8，若△AED与△ABC相似，求AE的长．
解：∵△AED∽△ABC，
∴＝，
∴AE＝＝＝3.
五、课堂小结
1．相似三角形的概念：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
2．相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
3．相似比(或相似系数)：相似三角形的对应边的比叫做这两个相似三角形的相似比(或相似系数)．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
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