3．4 圆心角(一)
教学目标：
1．理解和掌握圆心角的定义和圆心角定理．
2．会由已知条件求圆心角，以及通过求圆心角求其他的量．
3．通过旋转、交流、画图的过程，培养学生的合作意识和探索能力．
4．经历圆的性质的过程，进一步体会和理解研究圆的各种方法，增强学生之间的合作交流，获得运用知识解决问题的成功体验．
重点难点：
重点：圆心角定理．
难点：根据圆的旋转不变性推导出圆心角定理，需用到图形的旋转变换，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
1．实验：如图，在两张透明纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O′，把两张纸叠在一起，使⊙O和⊙O′重合，然后固定圆心．
将其中一个圆旋转一个角度，两个圆还能重合吗？
2．若把圆绕圆心旋转180°，所得的像与原图形重合吗？你能根据此性质得到什么结论？
【解】能重合，圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．
说明：通过这个实验，让学生了解圆的旋转不变性，并为引入新课做好铺垫．
二、新知学习
(一)想一想
把圆的一条半径绕圆心O旋转任意一个角度，这条半径在圆上的一个端点仍然落在圆上吗？
【解】仍然在圆上．
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．例如，图中∠NON′就是一个圆心角．
(二)做一做
如图，AB，CD是⊙O的弦，∠AOB＝∠COD.如果把∠AOB连同它所对的绕圆心O按顺时针方向旋转，使半径OA与OC重合，那么点B与点D是否也重合？由此，你能得出什么结论？
【解】点B与点D重合．结论：圆心角相等时，它们所对的弧相等，它们所对的弦相等．
(三)说一说
已知：在⊙O中，∠AOB＝∠COD，则＝，AB＝CD，说明你的理由．
【解】∵半径OA与OC重合，∠AOB＝∠COD，
∴半径OB与半径OD重合．
∵点A与点C重合，点B与点D重合，
∴与重合，弦AB与弦CD重合，
∴＝，AB＝CD.
(四)叙一叙
1．圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的__弧__相等，所对的__弦__也相等．
2．我们把顶点在圆心的周角等分成360份，则每一份的圆心角是1°.因为同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧，这样，n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．
3．如图，1°的圆心角对着1°的弧，1°的弧对着1°的圆心角．一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角，也就是说，__弧的度数和它所对的圆心角的度数相等__．
说明：引导学生自主探索，并为得出下面的结论做好铺垫，培养学生的合作意识和探究能力．
三、新知应用
【例1】如图，请用直尺和圆规在⊙O中作出，使的度数为45°.
【分析】先作90°的圆心角，再作这个圆心角的角平分线得45°圆心角，从而可得45°的弧．
【作法】如图：(1)作⊙O的一条半径OA；
(2)过点O作OC⊥OA，交⊙O于点C；
(3)作∠AOC的角平分线OF，交⊙O于点B，就是度数为45°的弧．
说明：求弧的度数时，我们往往通过圆心角的度数来进行转化．
【例2】如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB.请说明＝的理由．
【分析】要说明＝，只要说明它们所对的圆心角相等，故连结DE，只要说明∠BOC＝∠BOE.
【解】连结OE.
∵OD＝OE，∴∠D＝∠E.
∵AB∥DE，∴∠BOC＝∠D，∠BOE＝∠E，
∴∠BOC＝∠BOE，∴＝.
说明：本例旨在让学生运用已学的知识解决有关实际问题，培养学生的应用能力．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，则的度数是( B )
A．30° B．60°
C．120° D．300°
2．下列说法中正确的是( D )
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．相等的圆心角所对的弦相等
C．度数相等的两条弧相等
D．相等的圆心角所对的弧的度数相等
3．已知⊙O的半径为5，弦AB的长也是5，则圆心角∠AOB＝__60°__．
4．如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD，BC于点F，G，延长BA交⊙A于点E.
求证：＝.
解：证明，连结AG，
∵AB＝AG，
∴∠B＝∠AGB.
∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAF，∠AGB＝∠FAG.
∴∠EAF＝∠FAG，∴＝.
五、课堂小结
1．顶点在圆心的角叫做圆心角．
2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
3.4 圆心角(二)
教学目标：
1．掌握圆心角定理(圆心角定理的逆定理)．
2．会运用关于圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题．
3．通过画图、讨论、类比等过程，培养学生的自主探索能力与实践能力．
4．经历探索结论的过程，培养学生的团结协作精神，通过例题的教学让学生体验学习成功的快乐．
重点难点：
重点：关于圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的性质．
难点：例3涉及四边形、圆等较多知识点，且思路不易形成，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
一、复习提问：圆心角定理是什么？
【答】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
二、将圆心角定理分解成以下三个命题：
(1)圆心角相等所对的弦相等．
(2)圆心角相等所对的弧相等．
(3)圆心角相等所对弦的弦心距相等．
问：上述三个命题的逆命题是什么？怎样判定它们的真假性？
说明：巩固所学知识，提出所学的问题，激发学生的求知欲．
二、新知学习
(一)自主探索
1．以上三个命题的逆命题：
逆命题1：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等．
逆命题2：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
逆命题3：在同圆或等圆中，相等的弦心距所对应的弦所对的圆心角相等．
2．逆命题1和逆命题3的证明，可让学生画出相应图形，由学生独立完成．
3．逆命题2的证明由师生共同完成．
4．圆心角定理的逆定理．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．
5．举例：如图，∠AOB＝∠COD?AB＝CD?OE＝OF?＝.简单地说，就是圆心角相等?弦心距相等?弦相等?弧相等．
(二)议一议
1．在上述定理中，能不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件？举例加以说明．
【解】不能，否则，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．
2．在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距会相等吗？
【解】不相等．
做一做：
如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F.
(1)如果∠AOB＝∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
(2)如果OE＝OF，那么AB与CD的大小有什么关系？与的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
【解】(1)如果∠AOB＝∠COD，那么OE＝OF.理由是：∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD.
∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF.
又∵OA＝OC，∴Rt△OAE≌Rt△OCF.
∴OE＝OF.
(2)如果OE＝OF，那么AB＝CD，＝，∠AOB＝∠COD，理由是：
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF，
∴AE＝CF.
又∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AB＝2AE，CD＝2CF.
∴AB＝CD，∴＝，∠AOB＝∠COD.
说明：让学生回答圆心角定理的逆命题，激励学生积极回答，培养学生团结协作的精神．
三、新知应用
典例探究：
【例1】如图，△ABC是等边三角形．以BC为直径画⊙O，交AB，AC于点D，E.求证：BD＝CE.
【分析】BD，CE是⊙O的两条弦，根据圆心角定理的逆定理，可以考虑证明两弦的弦心距相等，或两弦所对的弧相等，或所对的圆心角相等．
【证明】证明1：作OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，则∠BFO＝∠CGO＝90°.
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.
又∵OB＝OC，∴△BOF≌△COG，∴OF＝OG，∴BD＝CE.
证明2：连结OD，OE.∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.又∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形．
∴∠BOD＝60°.同理∠COE＝60°.
∴∠BOD＝∠COE，∴BD＝CE.
说明：本例是综合运用“圆心角、弦、弦心距、弧之间的相等关系”，旨在培养学生初步运用知识的能力．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．如图，在⊙O中，＝，∠A＝30°，则∠C＝__75°__．
2．如图，∠AOB＝120°，C是的中点，则四边形OACB的形状是__菱形__．
3．如图，在⊙O中，点C是的中点，当∠AOB等于多少度时，四边形OACB是菱形？说明理由．
解：当∠AOB＝120°时，
四边形OACB是菱形．
∵C是的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°.
∵OA＝OC＝OB，
∴△AOC与△BOC都是等边三角形．
∴OA＝OB＝AC＝BC，即四边形OACB是菱形．
五、课堂小结
1．你知道圆心角定理的逆定理是什么？你能应用吗？
2．圆心角定理及其逆定理反映了图形在一定条件下互相转化．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
