3.3 垂径定理(一)
教学目标：
1．理解圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．
2．掌握圆的性质(垂径定理)，并会用它解决有关弦、弧、弦心距及半径之间关系的证明和计算．
3．经历折纸、画图、归纳等过程，培养学生的探索能力和应用能力．
4．通过合作学习，探索圆的性质；让学生亲身体验、直观感知，并操作确认，激发学生自主学习和应用数学的意识．
重点难点：
重点：探索圆的轴对称性和圆的性质．
难点：垂径定理的导出过程有一定难度，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
复习提问：
(1)什么是轴对称图形？(教师回答)
(2)正三角形是轴对称图形吗？有几条对称轴？(学生口头回答)
(3)圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？——引入新课
说明：培养学生的动手操作能力，鼓励学生表达自己的想法．
二、新知学习
自主探索：
1．在透明纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径，然后沿着直径所在的直线把纸折叠，你发现了什么？
2．结论：圆是__轴对称__图形，__每一条直径所在__的直线都是对称轴．
合作学习：
1．在圆形纸片(如图所示)上任意画一条直径CD，然后在CD上任意取一点E，过E画弦AB⊥CD于点E，把圆形纸片沿直线对折，观察直径CD两侧．你发现哪些点、线互相重合？有哪些圆弧相等？
【解】点A与B重合，AE与BE重合；与重合，与重合．
2．请你用命题的形式表述你的结论．
【解】命题：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
3．请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明．
【解】已知：如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，CD⊥AB，且交AB于点E.
【求证】AE＝BE，＝，＝.
【证明】连结OA，OB.
如果把⊙O沿着直径CD对折，那么被CD分成的两个半圆互相重合．
∵∠OEA＝∠OEB＝90°，
∴EA与EB也重合，
∴点A与点B重合，即有AE＝BE，＝，＝.
4．圆的性质(垂径定理)：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
概括性质：
1．直径垂直于弦?
例如：CD是直径，AB⊥CD?AE＝BE，＝，＝.
2．分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．例如，上图中，点C是的中点，D是的中点．
说明：旨在通过折叠的方式，探索圆的性质(垂径定理)．教学时，应鼓励学生探索方法的多样性，在此基础上通过交流，使所有的学生都能有所收获．
三、新知应用
典例探究：
【例1】已知如图，用直尺和圆规求作这条弧的四等分点．
【分析】先作的中点，由垂径定理联想到，只要作垂直于弦AB的直径，即作线段AB的中垂线，与的交点即为的中点．同理，再作和的中点．
【解】如下图所示．
【作法】(1)连结AB，作AB的垂直平分线GH，交于点C.
(2)连结AC，作AC的垂直平分线MN，交于点D.
(3)连结BC，作BC的垂直平分线PQ，交于点E.点C，D，E就是所求的的四等分点．
说明：通过对问题的解决，培养学生的探索能力和应用能力．
【例2】如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于点M，CD＝15 cm，OM∶OC＝3∶5，求弦AB的长．
【分析】这是应用垂径定理进行计算的一道基础题，先求出OM的长，再根据勾股定理求得AM的长，最后由垂径定理得AB＝2AM.
【解】连结OA，则由垂径定理，得AM＝BM.
∵CD＝15 cm，∴OC＝7.5 cm，又∵OM∶OC＝3∶5，∴OM＝4.5 cm.在Rt△AOM中，由勾股定理，得AM＝＝6 cm，即AB＝12 cm.
说明：圆中与半径、弦、弦心距有关的计算问题，常用垂径定理构造直角三角形(三边长为弦心距、弦长的一半、半径)解决．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．⊙O的半径为10 cm，弦AB＝12 cm，则圆心到AB的距离为( C )
A．2 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
2．已知⊙O的半径是5，弦AB＝8 cm，点P为弦AB上的一动点，则点P到圆心的最小距离是__3__cm__．
,(第2题图)) ,(第3题图))
3．如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点(P与A，B不重合)，连结PA，PB，过O点作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF＝__5__．
4．如图所示，已知∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3 cm，DB＝10 cm，以BD为直径的⊙O交射线AP于点E，F，求圆心O到AP的距离以及EF的长．
解：如图，过点O作OG⊥EF于G，连结OE.∴EF＝2EG.∵DB＝10 cm，∴DO＝DB＝5 cm，AO＝AD＋DO＝8 cm.在Rt△AGO中，∠PAC＝30°，AO＝8 cm，∴OG＝4 cm.即圆心O到AP的距离为4 cm.在Rt△EOG中，EG＝＝＝3 cm，∴EF＝2EG＝6 cm.
五、课堂小结
1．圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴．
2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
3．3 垂径定理(二)
教学目标：
1．理解和掌握垂径定理的两个逆定理．
2．会运用这两个逆定理解决有关弦、弧、弦心距及半径之间关系的证明和计算．
3．通过画图探索垂径定理的逆定理，培养学生的探究能力和应用能力．
4．经历垂径定理逆定理的探索过程，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质．
重点难点：
重点：垂径定理的逆定理的探索及其应用．
难点：例3的问题情境较为复杂，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
1．垂径定理是指什么？你能用数学语言加以表达吗？
【解】垂径定理是指垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．如图所示，CD是⊙O的直径，AB⊥CD?AE＝BE，＝，＝.
2．若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分AB，你能得到什么结论？
【解】CD⊥AB，＝，＝.
3．若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分弧AB，你又能得到什么结论？
【解】CD⊥AB，AE＝BE.
说明：复习垂径定理并引出垂径定理的逆定理，为本节课的学习打好基础．
二、新知学习
(一)自主探索
1．垂直于弦的直径平分这条弦的命题是什么？它是真命题吗？为什么？
【解】平分弦的直径垂直于弦，不是真命题，当这条弦是直径时，此命题不正确．
2．平分弧的直径一定垂直于弧所对的弦吗？画图试一试．
【解】平分弧的直径一定垂直于弧所对的弦，画图略．
(二)叙一叙
定理1：__平分__弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分__弦所对的弧__．
定理2：平分弧的直径__垂直__平分弧所对的__弦__．
(三)证一证
如图所示，已知⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP＝BP.
求证：CD⊥AB，＝.
【证明】连结OA，OB，则OA＝OB，
∴△AOB是等腰三角形．
∵AP＝BP，
∴CD⊥AB(等腰三角形三线合一)
∴＝(垂直于弦的直径平分弦所对的弧)．
定理2留给同学们自己证明．
(四)讲一讲
1．定理1中为什么不能遗忘“不是直径”这个附加条件，你能举反例说明吗？
2．概括成图式：
直径平分弦(不是直径)?
直径平分弧?
3．表述：
垂径定理及其逆定理可以概括为：直径垂直于弦；直径平分弦；直径平分弦所对的弧．这三个元素中由一推二．
说明：给出定理1的已知，求证，师生共同完成证明过程．对于定理2的证明，可让学生自己加以证明，教学时应留给学生一定的时间．培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质．
三、新知应用
【例1】如图所示，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，M，N分别是和的中点，求∠MON的度数．
【分析】由弧的中点易联想到垂径定理的逆定理，因此OM⊥AB，ON⊥AC，故∠MON可求．
【解】∵点M是的中点，
∴＝，
∴OM⊥AB，
∴∠OEA＝90°.
同理ON⊥AC，∠OFA＝90°，
∴∠MON＝180°－50°＝130°.
说明：通过学生实践，充分让学生掌握垂径定理的逆定理，培养学生应用新知识的能力．
【例2】某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m．现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
【分析】设圆弧的圆心为O，连结OA，作OC⊥AB，分别交AB和圆弧于D，C，则AD＝3.6 m，CD＝2.4 m，由勾股定理可求得半径；再设EF＝3 m，连结OE，由勾股定理求得OP的长，即得PD的长，再与2 m比较即可．
【解】设圆弧的圆心为O，连结OA，作OC⊥AB，分别交AB和圆弧于点D，C，则AD＝3.6 m，CD＝2.4 m.
∵OA2＝AD2＋OD2，∴r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9 m.
设EF＝3 m，连结OE，则EP＝1.5 m，OP＝＝3.6 m.
∴PD＝OP－OD＝2.1 m＞2 m，∴能顺利通过．
说明：对于一个实际问题，要学会把它转化成一个数学问题，然后用数学方法来解决它，最后在实际问题中去检验结果是否正确．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．如图，在⊙O中，弧CD与直径AB相交，且AB平分，则下列结论错误的是( C )
A．AB⊥CD
B．∠COE＝∠DOE
C．OE＝BE
D.＝
2．给出下列命题：
①垂直于弦的直线平分弦；
②平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦的直线必过圆心；
④弦所对的两条弧的中心的连线垂直平分弦．
其中正确的命题有( A )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．(杭州市西湖区期末统考题)如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度AB为24 m，拱的半径为13 m，则拱高CD为( D )
A．5 m B．7 m C．5 m D．8 m
4．如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是半圆上一点，点E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D.若AC＝8 cm，DE＝2 cm，则OD的长为__3__cm.
五、课堂小结
1．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
2．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
3．已知弦长、弓形高，求圆心距(或半径)时，通常利用直角三角形勾股定理和方程去解．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
