3.1 圆(一)
教学目标：
1．理解圆、弧、弦等有关概念，学会圆、弧、弦等的表示方法．
2．理解直径和半径的关系、点与圆的位置关系并能正确判断．
3．通过学生动手、观察、比较、分析、概括等活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力．
4．通过对圆的进一步认识，加深对圆的完美性的体会，激发学生的学习热情．
重点难点：
重点：弦和弧的概念、弧的表示方法、点与圆的位置关系．
难点：点与圆的位置关系及判定．
教学过程：
一、新课导入
1．展示一些类似圆的形状的物体图片，例如，压力锅封圈、玉手镯……你觉得这些物体与哪种图形相类似呢？你能再举出一些例子吗？
2．你知道圆是怎样定义的吗？怎样作出适合某种需要的圆？
说明：通过展示图片，让学生感受圆是生活中大量存在的图形，从而激发学生的学习兴趣．
二、新知学习
(一)自主探索：
1．师生一起用圆规画一个圆，其圆心为点O.
2．教师示范：取一根绳子，把它的一端用图钉固定在画板上，另一端系一支铅笔，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，这样就得到一个圆．(课本图3－1)
3．圆上的任意一点P(铅笔尖)到定点O(图钉)的距离相等吗？
【解】相等
(二)概念形成
1．圆的定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点旋转一周(如图)，另一端点P所经过的封闭曲线叫做__圆__，定点O叫做圆心，线段OP叫做圆的__半径__．
2．圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记做“⊙O”，读作“圆O”．
3．弦的定义：连结圆上任意两点的__线段__叫做__弦__(如图中的AB)．经过圆心的弦叫做__直径__，显然，直径等于半径的__2__倍(如图所示)．
(一)做一做
已知点O和线段a(如图所示)，请以O为圆心，线段a为半径作一个圆，并在圆上画出一条半径、一条直径和一条不是直径的弦．
(二)概念形成
1．弧的定义：圆上任意两点间的__部分__叫做__圆弧__，简称弧．
2．半圆、劣弧、优弧的概念及表示方法：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做__半圆__．小于半圆的弧叫做__劣弧__，劣弧用符号“⌒”和弧两端的字母表示，右图中的劣弧BC记作，读作“弧BC”；大于半圆的弧叫做__优弧__，优弧用符号“⌒”和三个字母表示(弧两端的字母和弧中间的字母)，如图中的优弧BAC，记作，读作“弧BAC”．
3．如图所示，你看到哪几条弦？哪几段弧？各如何表示？
解：弦有三条：AB，BC，AC，弧有六段：，半圆ABC，半圆AC，，，.
4．等圆：半径相等的两个圆能够完全重合，因此，把半径相等的两个圆叫做__等圆__，如图中的⊙O1和⊙O2是等圆．
5．想一想：等圆的半径相等吗？
相等．
6．补充：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做__等弧__．
(三)议一议
同一平面内的点与圆有几种位置关系？怎样确定点与圆的位置关系？请你与你的同伴议一议．
结论：一般地，如果点P是圆所在平面内的一点，d表示点P到圆心的距离，r表示圆的半径，则有：
说明：通过合作学习，让学生明确点与圆的三种位置关系以及判定方法，从而培养合作意识和自主探究习惯．
三、新知应用
典例探究：
【例1】已知矩形ABCD的边AB＝3，AD＝4，如图所示．
(1)以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？
(2)若以点A为圆心作⊙A，使点B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是多少？
【分析】(1)点与圆的位置关系是两个图形的位置关系，只能观察、估计，而不能准确、具体地进行判断，所以通常转化为点到圆心的距离d与半径r之间的数量大小关系．
(2)要使三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，圆的半径应介于这三点到圆心的距离的最大值与最小值之间．
【解】(1)∵AD＝4＝r，∴点D在⊙A上．
∵AB＝3＜4，∴点B在⊙A内．
∵AC＝5＞4，∴点C在⊙A外．
(2)∵AC＞AD＞AB，∴3＜r＜5.
说明：本例涉及点与圆的位置关系的判定，解题的关键是分析求出点B，C，D到点A的距离．通过本例可培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，激发学生的兴趣．
【例2】如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．
【分析】因为同圆半径相等，所以当圆中有两条半径出现，就有等腰三角形出现，于是可利用等腰三角形的有关知识求解．
【解】连结OB.
∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝OB，∴∠A＝∠1.
又∵OB＝OE，∴∠2＝∠E.
又∵∠2＝∠A＋∠1＝2∠A.
∴∠E＝2∠A.
∴∠EOD＝∠E＋∠A＝3∠A＝84°.
∴∠A＝28°.
说明：引导学生思考、交流的习惯，提高知识的应用能力．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．下列说法中错误的是( D )
A．直径是弦 B．半圆是弧
C．圆内最长的弦是直径 D．弧小于半圆
2．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个圆是等圆．其中错误的有( A )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为__4或3__．
4．如图，已知OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，求证：
(1)∠A＝∠B；
(2)AE＝BE.
证明：(1)∵OA＝OB，OC＝OD＝OA，∠O＝∠O，∴△OAD≌△OBC(SAS)，∴∠A＝∠B.
(2)∵AC＝BD＝OA，∠A＝∠B，∠AEC＝∠BED，∴△AEC≌△BED(AAS)，∴AE＝BE.
五、课堂小结
1．回顾所学的有关概念——圆、弦、弧(半圆、劣弧、优弧)、等圆．
2．直径与弦的关系是直径是弦而弦不一定是直径．
3．点与圆的三种位置关系．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
3.1 圆(二)
教学目标：
1．理解三角形的外接圆、三角形的外心和圆的内接三角形等概念．
2．理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，并会画三角形的外接圆．
3．在探究活动中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心．
重点难点：
重点：对“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的理解及圆的画法．
难点：理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的意义．
教学过程：
一、新课导入
1．提问：画一个圆需要哪些条件？单独告诉你一个圆心或一条半径能确定一个圆吗？
半径和圆心；都不能．
2．展示图片：有一个破损的圆形车轮(如图所示)，现要重新浇铸一个，必须先画出车轮轮廓线的圆，怎样画出这个圆呢？——引入新课．
说明：对圆形破车轮的浇铸展示，激发学生的求知欲．
二、新知学习
(一)自主探究
1．经过一个已知点能作多少个圆？画一画？
2．经过两个已知点A，B能作多少个圆？画一画，过点A，B任意作一个圆，你认为此圆的圆心应该在怎样的一条直线上？与你的同伴讨论．
3．经过同一条直线上的三点A，B，C能画一个圆吗？
【解】1.经过一个已知点可以画无数个圆．
2．经过两个已知点可以画无数个圆，这样的圆的圆心在连结两个已知点所在线段的中垂线上．
3．经过同一条直线上的三点不能画圆．
(二)议一议
经过不在同一条直线上的三个点一定能作出一个圆吗？如果能，怎样找出这个圆的圆心？
(三)做一做
如图所示，已知点A，B，C，且点A，B，C不在同一条直线上，画一个⊙O，使点A，B，C都在⊙O上．
【解】点A，B，C不在同一条直线上，则经过点A，B的圆的圆心一定在线段AB的垂直平分线上，经过点B，C的圆的圆心也在线段BC的垂直平分线上，并且这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA＝OB＝OC，所以，以点O为圆心，线段OA为半径作圆，便可得到一个经过A，B，C三点的圆，并且只能作一个圆．
(四)形成结论
不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
(五)想一想
你能给情境中的圆形车轮重新画一个圆吗？试一试．
说明：师生共同分析、画图，培养学生的逻辑思维能力和动手操作能力．
说明：1.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的__外接圆__，外接圆的圆心叫做三角形的__外心__，这个三角形叫做圆的__内接__三角形．例如，例1中作出图形后，⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心．
2．三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．
三、新知应用
典例探究：
【例】如图，用直尺和圆规画下列三角形的外接圆，并比较这三个三角形的外心的位置，你得出什么结论？
【分析】图①是锐角三角形，图②是直角三角形，图③是钝角三角形，因此分别作这三个三角形的外接圆，只需作三角形三条边的垂直平分线的交点，以该交点为圆心，以交点到三角形的顶点为半径作圆即可．
【解】如图所示：
锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外．
说明：本例重点是通过三种不同类型的三角形画它们的外接圆，其目的是让学生归纳结论．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．三角形的外心是( A )
A．三条边垂直平分线的交点
B．三条高线的交点
C．三条中线的交点
D．三条角平分线的交点
2．下列命题中正确的是( B )
A．三点确定一个圆
B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆
C．任何一个四边形都有一个外接圆
D．等腰三角形外心一定在它的外部
3．一个三角形的三边长分别是5 cm、12 cm、13 cm，那么它的外接圆半径是( C )
A．5 cm B．6 cm
C．6.5 cm D．7 cm
4．三角形的外心在三角形内部的是__锐角__三角形，在其一边上的是__直角__三角形，在三角形外部的是__钝角__三角形．
5．一个直角三角形的两边长分别是6，8，那么它的外接圆半径是__4或5__．
五、课堂小结
1．让学生叙述“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”．
2．什么叫做三角形的外接圆？什么叫做圆的内接三角形？三角形的外心呢？
3．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外心各在什么位置上？
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
