4.5 相似三角形的性质及其应用(一)
教学目标：
1．掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”和“三角形的重心每分一条中线成1∶2的两条线段”的两个性质．
2．会运用上述两个性质解决简单的几何问题．
重点难点：
重点：学习“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”关于线段的性质和“三角形的重心每分一条中线成1∶2的两条线段”的重要定理．
难点：相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
类比联想
老师提问：相似三角形除了对应角相等、对应边等比例外，还有没有其他性质呢？
学生进行小组讨论和思考．
老师提示：全等三角形除对应角、对应边相等外．其它元素如对应高、对应中线、对应角平分线也相等．那么相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线是相等还是什么关系？
学生和老师一起猜测：
猜测(1)：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等．
猜测(2)：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线成比例．
二、新知学习
(一)探究1
两个三角形相似，除了对应边成比例，对应角相等之外，还可得到许多有用的结论，如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD，A′D′分别为BC，B′C′边上的高，那么， AD和A′D′之间有什么关系？
【证明】∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝B′，
又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，
∴△ABD∽△A′B′D′.
∴＝＝k.
结论1：相似三角形的对应高成比例．
(二)探究2
已知△ABC∽△A′B′C′，AE、A′E′分别是△ABC和△A′B′C′边上的中线，且AB∶A′B′＝k，那么AE与A′E′怎样的关系？
此证明可以让学生进行解答．
【证明】∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，
∴＝＝k，
∵AE，A′E′分别是△ABC和△A′B′C′边上的中线，
∴BC＝2BE，B′C′＝2B′E′，
∴＝＝＝k.
∴△ABE∽△A′B′E′，
∴＝＝k.
结论2：相似三角形对应中线的比等于相似比．
(三)探究3
已知△ABC∽△A′B′C′，AF、A′F′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，那么AF与A′F′怎样的关系？
此证明可以让学生进行解答．
【证明】∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，∠B＝∠B′，
又∵AF、A′F′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线
∴∠BAC＝2∠BAF，∠B′A′C′＝2∠B′A′F′.
∴∠BAF＝∠B′A′F′，
∴△ABF∽△A′B′F′，
∴＝＝k.
结论3：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
(四)小结
相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线成比例．
(五)重心
1．概念：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．(回顾：三角形的三条中线的交点在三角形的内部)
2．重心的定理：三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段．
3．定理证明过程：已知，如图，BD，CE是△ABC的两条中线，P是它们的中点．
求证：＝＝.
证明：如图，连结DE.
∵BD，CE是△ABC的两条中线，
DE?瘙綊BC
∵∠EDB＝∠DBC，∠DEC＝∠ECB.
∴△DEP∽△BCP.
∴＝＝＝.
三、新知应用
【例1】已知△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′是它们的对应角平分线，且AD＝8cm，A′D′＝3cm，则△ABC与△A′B′C′对应高的比为__8∶3__．
【分析】根据相似三角形性质可知，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，可求△ABC与△A′B′C′对应高的比．
【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，∴AD∶A′D′＝8∶3，∴△ABC与△A′B′C′对应高的比为8∶3.
【答案】8∶3
说明：本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
【例2】两个相似三角形的相似比为2∶5，已知其中一个三角形的一条中线为10，那么另一个三角形对应的中线是________．
【解析】∵相似三角形的相似比为2∶5，其中一个三角形的一条中线为10.而这条中线可能是小三角形的，也可能是大三角形的，
∴另一个三角形对应的中线可能为4，也可能是25.
【正解】4或25
说明：对于这类题目要分情况讨论，题中的“中线”改成“高”或“角平分线”，做题的方法也是一样的，学习数学要会“举一反三”．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．若两个相似三角形的相似比是2∶5，则对应高的比是( A )
A．2∶5 B．4∶25
C.∶ D．25∶4
2．顺次连接三角形三边的中点，所构成的三角形与原三角形对应高的比是( C )
A．1∶4 B．1∶3
C．1∶2 D．1∶1
3．若一个三角形三边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边的长为21，则最短边的长为( C )
A．15 B．10 C．9 D．3
4．已知△ABC∽△A′B′C′，BD，B′D′是它们的对应中线，且＝，B′D′＝4，则BD的长为__6__．
五、课堂小结
相似三角形的性质：
1．相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比．
2．三角形的重心每分一条中线成1∶2的两条线段．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
4.5 相似三角形的性质及其应用(三)
教学目标：
1．运用相似三角形性质解决一些简单的实际问题．
2．通过例2的教学，能较好地培养学生分析问题、解决问题的能力及思维的发散性和灵活性．
3．例2是一个集方案设计、问题解决于一体的情境问题，能让学生进一步体验数学的应用价值．
重点难点：
重点：运用相似三角形的性质解决简单的实际问题．
难点：由于学生缺乏一定的生活经验，让他们设计测量树高的方案有一定的难度，所以例3的方案设计是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
问题情境一我们已经学习了相似三角形的哪些性质？
1．相似三角形对应角相等．
∵△A′B′C′∽△ABC，
∴∠A＝∠A′，
∠B＝∠B′，
∠C＝∠C′.
2．相似三角形对应边成比例．
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴＝＝.
3．相似三角形的周长之比等于相似比．
4．相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
5．相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比．
问题情境二校园里有一棵大树，如何测量树的高度？
思考：你能将上面生活中的问题转化为数学问题吗？
说明：以实际生活为背景设计情境让学生用所学知识去解决问题，体现数学的应用价值．
二、新知学习
问题如图，校园里有一棵大树，要测量树的高度，你有什么办法？
方法一 如图所示，把一面小镜子放在高树(AB)8m的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这里恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.8m，观察者目高CD＝1.6m.这时树高多少？你能解决这个问题吗？(精确到0.1m)
【解】由题意，CD⊥BD，AB⊥BD，且∠CED＝∠AEB.
∴△CDE∽△ABE，
∴＝，
即＝.
解得AB＝≈4.6(m)．
方法二 如图，把长为2.40 m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80 m，标杆的影长为1.47 m．这时树高多少？你能解决这个问题吗？(精确到0.1m)
【解】由题意得：
＝，
即＝，
解得AB≈4.6(m)．
议一议 与同伴探讨，还有其他测量树高的方法吗？
说明：通过方案设计和问题解决，让学生进一步体会数学的应用价值．
三、新知应用
【例1】如图，已知零件的外径为a，要求它们的厚度x，需先求出内孔的直径AB.现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)去量，若OA∶OC＝OB∶OD＝n，且量得CD＝b，求厚度x.
【分析】 如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔直径AB.而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出AB的长度．
【解】 ∵OA∶OC＝OB∶OD＝n，且∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD.
∵OA∶OC＝AB∶CD＝n，CD＝b，
∴AB＝CD·n＝nb，
∴x＝＝.
说明：若物体的高度(或宽度)不能被直接测量，则一般思路是根据题意和所求，建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系求得．
【例2】为了测量校园水平地面上的一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在高树底(B)8.4 m的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.4 m，观察者目高CD＝1.6 m，求树(AB)的高度(精确到0.1 m)．
【解】∵∠D＝∠B＝90°，∠CED＝∠AEB，
∴△CED∽△AEB.
∴＝，∴＝，解得 AB＝5.6 m.
说明：本例主要运用了“相似三角形的对应边成比例”来解决有关线段的计算问题，故两个三角形相似的判定很关键．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则拍击球的高度h应为( A )
A．2.7 m
B．1.8 m
C．0.9 m
D．6 m
2．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC，BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于点N，量得MN＝38 cm，则AB的长为__152__cm.
,(第2题图)) ,(第3题图))
3．如图所示是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2 m，BP＝1.8 m，PD＝12 m，那么该古城墙的高度是__8__m.
五、课堂小结
1．相似三角形的应用主要有如下两个方面：
(1)测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)．
(2)测距(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)．
2．测高的方法：
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决．
3．测距的方法：
测量不能达到两点间的距离，常构造相似三角形求解．
4．解决实际问题时(如测高、测距)，一般有以下步骤：①审题；②构建图形；③利用相似解决问题．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
4．5 相似三角形的性质及其应用(二)
教学目标：
1．掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”和“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”的性质．
2．能运用相似三角形的性质解决简单的几何问题．
3．经历上述相似三角形的性质的探索过程，培养学生观察能力和综合运用知识的能力，体会探索的乐趣．
重点难点：
重点：学习相似三角形的周长和面积的两个性质及对应高等线段具有的性质．
难点：相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100 m2，周长为80 m的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30 m缩短成18 m．现在的问题是：被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？
思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？
二、新知学习
看一看：如图，4×4正方形网格，△ABC与△A′B′C′有什么关系？为什么？(相似)
算一算：
△ABC与△A′B′C′的相似比是多少？()
△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？()
面积比是多少？(2)
想一想：
上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？
结论：相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方．
验一验：
是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？
巩固学习：
让我们先回顾一下：
已知，如图，△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k.
求证：
＝k，
＝k2，
【证明】∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，
∴＝＝＝k，
∴AB＝kA′B′，BC＝kB′C′，CA＝kC′A′，
∴＝＝＝＝k.
如图，AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的高．
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′.
∵AD，A′D′分别是BC，B′C′上的高，
∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，
∴△ABD∽△A′B′D′.
∴＝＝k，
∴＝＝·＝k·k＝k2.
归纳：相似三角形的性质共用：
1．相似三角形对应角相等，对应边成比例．
2．相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线的比等于相似比．
3．相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方．
三、新知应用
【例1】已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为2∶1，又已知△ABC与△A′B′C′的面积之和为60 cm2，求△ABC与△A′B′C′的面积．
【解】设△ABC的面积为xcm2，则△A′B′C′的面积为(60－x)cm2.
∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为2∶1.
∴＝()2，解得x＝48.
∴△ABC的面积为48 cm2，△A′B′C′的面积为12cm2.
说明：例1的目的是相似三角形性质的直接应用，需注意面积与周长跟相似比关系的区别．
【例2】如图，在△ABC中，四边形DEFM是正方形，若S△ADE＝1，S正方形DEFM＝4，求S△ABC.
【分析】由DE∥BC，发现△ADE∽△ABC.又已知S△ADE，马上就联想到能否利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”去解，故如何求得△ADE与△ABC的相似比成为解本题的关键．因为正方形DEFM的面积已知，从而可求得边长DE，而S△ADE＝DE·AP，所以AP可求得，而AQ也可求得，利用相似三角形对应高之比等于相似比，从而问题得以解决．
【解】作AQ⊥BC于点Q，交DE于点P，由正方形DEFM得DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝()2.
∵S正方形DEFM＝4，
∴DE＝PQ＝2.
又∵S△ADE＝DE·AP.
∴AP＝＝＝1.
∴AQ＝AP＋PQ＝1＋2＝3，
∴＝()2＝，
∴S△ABC＝9S△ADE＝9×1＝9.
说明：例2在运用相似三角形的性质时，相似比的确定是解题的关键．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．两个相似三角形的面积之比为1∶4，那么它们的对应角平分线之比为( C )
A．1∶4 B．4∶1
C．1∶2 D．1∶16
2．如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE∶S△COB＝( A )
A．1∶4 B．2∶3
C．1∶3 D．1∶2
,(第2题图)) ,(第3题图))
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是( C )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝.
4．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为__1∶4__．
5．△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4 cm，△ABC的周长为20 cm，△A′B′C′的面积是64 cm2，求：
(1)A′B′边上的中线C′D′的长．
(2)△A′B′C′的周长．
(3)△ABC的面积．
解：(1)∵△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4 cm，∴＝，∴C′D′＝4 cm×2＝8 cm，∴A′B′边上的中线C′D′的长为8 cm.
(2)∵△ABC∽△A′B′C′，＝，△ABC的周长为20 cm，＝，∴C△A′B′C′＝20 cm×2＝40 cm，∴△A′B′C′的周长为40 cm.
(3)∵△ABC∽△A′B′C′，＝，△A′B′C′的面积是64 cm2，＝()2＝，∴S△ABC＝64 cm2÷4＝16 cm2，∴△ABC的面积是16 cm2.
五、课堂小结
相似三角形的性质：
1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
2．相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方．
3．相似三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
