4.4 两个三角形相似的判定(一)
教学目标：
1．了解“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的性质．
2．掌握“有两个角对应相等的两个三角形相似”的判定方法．
3．能运用“有两个角对应相等”的条件判定两个三角形相似．
重点难点：
重点：相似三角形的判定方法：有两个角对应相等的两个三角形相似．
难点：有两个角相等的三角形是相似三角形的探索过程比较复杂，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
情境一 如图，在方格图中△ABC，DE∥BC，问：△ADE∽△ABC吗？说明理由．
△ADE∽△ABC，理由如下：__
∵DE∥BC， __
∴∠ADE＝∠B，__
∠AED＝∠C.__
若设方格图中每一格为1，则AD＝，AB＝4，__
AE＝，AC＝2，DE＝，BC＝6，故＝＝.__
又∵∠A＝∠A，__
∴△ADE∽△ABC.__
情境二 如图，A，B，C，D，E，F，G都在小方格的顶点上，问：①DE∥BC∥FG吗？②△ADE∽△ABC∽△AFG吗？
__①DE∥BC∥FG；②△ADE∽△ABC∽△AFG.理由同情境一．__
说明：情境设计提出问题，解决问题，激发学生的未知欲望，为进一步的合作学习打下基础．
二、新知学习
(一)合作学习
如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，则△ADE与△ABC相似吗？
议一议：这两个三角形的三个内角是否相等？
__相等__．
量一量：这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？__成比例．__
试一试：平行移动DE的位置，上述结论还是否成立？若成立，说明△ADE与△ABC相似与什么有关．
__平行移动DE的位置，结论仍成立．说明△ADE∽△ABC与DE∥BC有关．__
想一想：若点D，E分别在AB，AC的反向延长线上，如图，△ADE与△ABC是否还相似呢？
__相似__．
归纳：定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理用几何语言表述如下：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
(二)结合预备定理探索求三角形相似的判定定理1
根据合作学习所得的性质定理，我们可以看到以下三角形相似的判定方法：
判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似．
简称：两角对应相等，两三角形相似．
下面给出证明．
已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝B′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
【分析】要证明两个三角形相似，目前只有两条途径，一条是三角形相似的定义(显然条件不具备)；另一条是刚学的利用平行线来判定三角形相似的定理．为了使用它，必须创造具备定理的基本图形的条件，怎样创造呢？(即怎样把小的三角形移动到大的三角形上)．
【证明】在△A′B′C′的边A′B′，A′C′上，分别截取A′D＝AB，A′E＝AC，连结DE.
∵A′D＝AB，∠A＝∠A′，∠A′E＝AC，
∴△A′DE≌△ABC，
∴∠A′DE＝∠B.
又∵∠B′＝∠B，
∴∠A′DE＝∠B′，
∴DE∥B′C′，
∴△A′B′C′∽△A′DE，
∴△ABC∽△A′B′C′.
判定定理用几何语言表述如下：
在△ABC和△A′B′C′中，
∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
说明：经历“有两个角对应相等的两个三角形相似”的探索过程，提升学生的图形判断能力，同时也培养了学生的探索精神．
三、新知应用
【例1】如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°.
求证：△ABC∽△DEF.
【分析】在△ABC中，已知∠A，∠B，显然利用三角形的三内角和等于180°，可求得∠C的度数，根据相似三角形的判定定理1可证．
【证明】∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－80°＝60°.
∵在△DEF中，∠E＝80°，∠F＝60°，
∴∠B＝∠E，∠C＝∠F.
∴△ABC∽△DEF(两角对应相等，两三角形相似)．
说明：通过例1进一步提高认识相似三角形的判定定理．
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D.
(1)求证：△ABC∽△BCD.
(2)求证：BC＝CD·CA.
【分析】(1)由AB＝AC，∠A＝36°，可求得∠ABC＝∠ACB＝72°.
由BD平分∠ABC，得∠DBC＝36°.
故在两个三角形中可找到两组角对应相等．
根据定理可得△ABC∽△BCD.
(2)由△ABC∽△BDC，得＝，
故可得BC2＝CD·CA.
【证明】(1)∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝36°，
∴∠DBC＝∠A＝36°，∠C＝∠ABC＝72°，
∴△ABC∽△BDC.
(2)∵△ABC∽△BDC，
∴＝.
∴BC＝CD·CA.
说明：进一步让学生感受两个三角形相似的判定方法的优越性及相似三角形性质的应用．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．已知一个三角形的两个内角分别是30°，70°，另一个三角形的两个内角分别是70°，80°，则这两个三角形( A )
A．一定相似 B．不一定相似
C．一定不相似 D．不能确定
2．如图，已知AB∥EF∥CD，则与△OCD相似的三角形有( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．不能确定
3．如图，在△ABC中，∠1＝∠B，AD＝BD＝6.
(1)证明：△ACD∽△ABC.
(2)求AC的长．
解：(1)证明：在△ACD和△ABC中，
∵∠1＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC.
(2)由(1)得△ACD∽△ABC，
∴＝.
即AC2＝AD·AB
又∵AD＝6，AB＝AD＋BD＝12，
∴AC2＝6×12＝72，
∴AC＝6.
五、课堂小结
本节课学习了
1．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2．有两个角相等的三角形相似．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
4.4 两个三角形相似的判定(三)
教学目标：
1．掌握“三边对应成比例的两个三角形相似”的两个三角形相似的判定方法．
2．能运用此判定方法来证明其相似．
3．经历三角形相似的判定的探索过程，体验成功的快乐，增强学习数学知识的信心和兴趣．
重点难点：
重点：相似三角形的判定方法 “三边对应成比例的两个三角形相似”及其运用．
难点：选择什么判定方法然后利用方格进行计算，根据计算结果来判定两个三角形的两边是否成比例，需要学生有一定的分析、判断和计算能力，是本节的难点．
教学过程：
一、新课导入
(1)平行于三角形一边直线定理：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
(2)判定定理1：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.
(3)直角三角形中的一个重要结论：∵∠ACB＝Rt∠，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD∽△CDB.
判定定理1和判定定理2分别是单从角和边角结合的方面考虑，现两个三角形全等的判定方法是否相类似，还可以单从边的条件出发说明两个三角形相似呢？
下面我们来探索还可用哪些条件来判定两个三角形相似．
说明：通过问题情境的解答，起到承上启下的作用，引导学生思考新的问题，激发他们的探索兴趣．
二、新知学习
合作学习
下面我们来探索两个三角形的对应边满足什么条件时，这两个三角形相似．
如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，请在方格纸内画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的三边成比例，量一量∠A与∠A′的大小，你认为△ABC与△A′B′C′相似吗？并说明理由．
判定定理3：
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
可简单说成：“三边对应成比例，两三角形相似．”
判定定理3的几何公式：
∵＝＝，
∴△ABC∽△A′B′C′.
说明：类似探索判定定理2的方法，可放手让学生按题目要求进行操作，培养学生的动手能力和概括能力．
三、新知应用
【例】下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )
,A) ,B) ,C) ,D)
【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．
【解答】根据勾股定理，AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝.所以△ABC的三边之比为2∶∶＝2∶1∶.A.三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2∶3∶，故本选项错误；B.三角形的三边分别为2， 4，＝2，三边之比为2∶4∶2＝1∶2∶，故本选项正确；C.三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2∶3∶，故本选项错误；D.三角形的三边分别为 ，，4，三边之比为∶∶4，故本选项错误，故选B.
说明：本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出各三边之比，再判断各三角形的三边长之比是否相同等．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形木框(A )
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．无法判断
2．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( B )
,A) ,B) ,C) ,D)
3．如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( B )
,A) ,B) ,C) ,D)
4．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF.
证明：∵AC＝，BC＝＝，AB＝4，DF＝＝2，EF＝＝2，ED＝8，∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF.
五、课堂小结
1．要熟练掌握相似三角形的判定定理以及应用．
2．根据实际情况，选用合适的判定定理．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
4.4 两个三角形相似的判定(二)
教学目标：
1．掌握“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”的两个三角形相似的判定方法．
2．能运用此判定方法判定两个三角形相似．
3．经历三角形相似的判定的探索过程，体验成功的快乐，增强学习数学知识的信心和兴趣．
重点难点：
重点：相似三角形的判定方法“两边对应成比例，其夹角相等的两个三角形相似”及其应用．
难点：选择用什么判定方法，然后利用方格进行计算，根据计算结果来判断两个三角形的两边是否对应成比例，需要学生有一定的分析、判断和计算能力，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
问题情境：你能说说我们已经学过的几种判定三角形相似的方法吗？
(1)平行于三角形一边直线定理．如图，用几何语言表达如下：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
(2)判定定理1：如图，几何语言表述如下：
∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
(3)直角三角形中的一个重要结论．如图．
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴△ABC∽△ACD∽△CDB.
判定定理1是单从角的方面考虑，现两个三角形全等的判定方法是否相类似，还可以从边角结合或单从边的条件出发说明两个三角形相似呢？
下面我们来探索还可用哪些条件来判定两个三角形相似．
说明：通过问题情境的解答，起到承上启下的作用，引导学生思考新的问题，激发他们的探索兴趣．
二、新知学习
合作学习
下面我们探究要判定两个三角形相似，边和角需满足什么条件？
如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，＝，△ABC与△A′B′C′相似吗？
生：从已给的图形，能肯定这两个三角形是相似的．
师：根据相似三角形的对应角相等这一性质，我们用量角器检验∠A和∠A′，∠C和∠C′是否相等．
学生动手操作，进一步确认满足∠B＝∠B′，＝这两个条件．△ABC∽△A′B′C′.
判定定理2：
如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．
可以简单说成：“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．”
想一想：如图，若两边对应成比例，且有一个角对应相等，这两个三角形还会相似吗？若不相似，请举例说明．
判定定理2的几何格式：在△ABC和△A′B′C′中，
∵∠B＝∠B′，＝，
∴△ABC∽△A′B′C′.
三、新知应用
【例1】如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是( )
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC
C.＝ D.＝
【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可知A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解析】∵∠A是公共角．
∴当∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC时，△ADB∽△ABC(有两角对应相等的三角形相似)；故A与B正确；
当＝时，△ADB∽△ABC(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)；故D正确；
当＝时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误．
故选C.
说明：此题考查了相似三角形的判定，此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
【例2】如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4， P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为( )
A．3 B．3或 C.
【分析】要使两三角形相似，已知有公共角∠A则我们可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．此时需分两种情况来考虑，AP可以与AC成比例，此时AQ＝3；若AP与AB成比例，则AQ＝.
【解析】当△ABC∽△AQP时，
＝，即＝，AQ＝3；
当△ABC∽△APQ时，＝，
即＝，
AQ＝，
故选B.
说明：此题主要考查学生对两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似的应用．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( B )
A．①与②相似 B．①与③相似
C．①与④相似 D．②与④相似
,(第1题图)) ,(第2题图))
2．如图，若P为△ABC的边AB上一点(AB＞AC)，则下列条件不一定能保证△ACP∽△ABC的有( D )
A．∠ACP＝∠B
B．∠APC＝∠ACB
C.＝
D.＝
3．如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：
①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是( A )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝FC，连接EF并延长交BC的延长线于点G.(1)试说明：△ABE∽△DEF；
(2)若正方形的边长为4，求BG的长．
解：(1)易证＝，＝，∴＝＝，又∠D＝∠A＝90°，∴△ABE∽△DEF；
(2)∵DE∥CG，∴△DEF∽△CGF，∴＝＝.又∵DE＝2，∴CG＝6，∴BG＝BC＋CG＝4＋6＝10.
五、课堂小结
三角形相似的判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
注意：在判定定理2中，如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形不一定相似．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
