4.1 比例线段(一)
教学目标：
1．理解比例的基本性质．
2．利用比例的基本性质进行一些简单的变形或求值．
3．理解并初步掌握两种基本方法(或技能)：一是利用比例的基本性质进行变形或求值；二是用“设比值”的方法进行变形或求值．
重点难点：
重点：比例的基本性质．
难点：例2根据条件判断一个比例式是否成立，不仅要运用比例的基本性质，还要运用等式的性质等，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
情境一 请同学们列举生活中大量存在的形状相同，但大小不同的图形．
如：照片，放电影时底片中的图与银幕的像，不同大小的国旗，两把不同大小都含有30°角的三角尺，半径不同的两个圆等．
情境二 美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618；一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，许多美的形状都与0.618这个比例有关．
你知道0.618这个比值的来历吗？
说明：通过所创的两个教学情境，一是说明本章节的重要意义；二是让学生带着问题进入本章的学习．
二、新知学习
(一)试一试
什么是两个数的比？如何表示－2与3的比和4与－6的比？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？
__－2∶3＝－；4∶(－6)＝－＝－；＝；__
__－2，3，4，－6四个数成比例__．
(二)议一议
1．比与比例有什么区别？
__比是一个值；比例是一个等式．__
2．用字母a，b，c，d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形状？你知道内项、外项的概念吗？
我们知道，如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数__成比例__，通常我们把a，b，c，d四个实数成比例表示成__a∶b＝c∶d__，或__＝__，其中b，c称为__内项__，a，d称为__外项__．
(三)做一做
1．分别计算下列比例式的两个内项的积与两个外项的积．
(1)＝ (2)＝
【解】(1)两个内项的积为2×0.6＝12
两个外项的积为0.3×4＝1.2
(2)两个内项的积为1×＝
两个外项的积为×＝
2．利用等式的性质，能从＝，推导出ad＝bc吗？反过来呢？
【解】等式＝的两边同乘以bd，可由＝推导出ad＝bc，反过来等式ad＝bc两边同除以bd，即可由ad＝bc推导出＝.
(四)归纳
比例具有如下基本性质：
＝?ad＝bc(a，b，c，d都不为零)
说明：经历从实际数值中抽象成比例的概念的过程，理解和掌握比例的基本性质．
三、新知应用
【例1】根据下列条件，求m∶n的值．
(1)3m＝4n；(2)＝.
【解】 (1)＝；(2)＝?3m＝5n?＝.
说明：例1的目的是巩固比例中项的概念．
【例2】已知＝，判断下列比例式是否成立，并说明理由．
(1)＝.
(2)＝.
【解】(1)比例式成立．理由如下：∵＝，∴＝，∴1－＝1－，即＝.
(2)比例式不成立．理由如下：
设＝＝k，则a＝bk，c＝dk.
∴＝＝，而＝，∴≠.
说明：例2的目的是培养学生对比例式变形的能力．对于＝?＝或＝，不必要求学生去死记硬背．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．已知＝，以下比例式中成立的是( C )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
2．把ad＝bc写成比例式，下列四个选项中，错误的是( D )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3．下列各组数据中，能成比例的是( C )
A．1，2，3，4 B．3，6，7，9
C．2，3，4，6 D．2，3，
4．若2y－7x＝0，则x∶y等于( C )
A．7∶2 B．4∶7
C．2∶7 D．7∶4
5．若3x－4y＝0，则的值是( B )
A. B. C. D.
五、课堂小结
1．比例的概念：如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说四个数成比例．
2．比例的基本性质：＝?ad＝bc(a， b，c，d都不为零)．
3．比例式变形的常用方法：(1)利用等式的性质；(2)设比值．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
4．1 比例线段(三)
教学目标：
1．了解比例中项的概念．
2．通过实例了解黄金分割．
3．会求已知线段的比例中项．
4．利用黄金分割进行简单的计算和作图．
5．通过欣赏著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》等，感受“黄金分割”的美，又可以提高学生学习的兴趣．
重点难点：
重点：黄金分割的概念及其简单应用．
难点：例5的作图涉及线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
欣赏图片，感受匀称、协调之美
如：著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》、芭蕾舞演员的舞姿、上海东方明珠塔、古代希腊的帕特农神庙、五角星等，感受黄金分割图象之美．
说明：通过图片欣赏，感受数学知识在生活中的存在，有助于激发学生的学习积极性．
二、新知学习
(一)试一试
(1)取一张长与宽之比为∶1的长方形纸，思考一下，怎么取？
(2)(如图)将它(上述矩形纸片)对折，请判断图中的两张长方形纸的长与宽这四条线段是否成比例，如果成比例，请写出比例式．这个比例式有什么特别之处吗？与同伴交流．
＝____，＝＝____．
∴＝，特别之处：__这个比例式的内项相同__．
定义：一般地，如果三个数a，b，c满足比例式＝(或a∶b＝b∶c)，则b就叫做a，c的比例中项．
＝?b2＝ac
(二)做一做
1．1是不是1和的比例中项？如果是比例中项，请写出相应的比例式．
【解】1是1和的比例中项，比例式为：＝.
2．已知线段a＝3，b＝27，求a，b的比例中项．
【解】设a，b的比例中项为x(x＞0)．
则x2＝a·b，即x2＝3×27＝81.
解得x＝±9.
∵x＞0，∴x＝9.
∴a，b的比例中项为9.
(三)量一量
课本图4－4是著名国家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》，画面中脸部被围在矩形ABCD内，图中四边形BCEF为正方形，量一量点F到点A，B的距离.与相等吗？
定义：如图，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使＝，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，线段AP与AB的比叫做黄金比．
(四)求一求
运用一元二次方程的知识，可以求出黄金比的数值．
如图，设＝x，
则PB＝AB－AP＝AB－AB·x.
由＝，得＝，
即＝.
化简，得x2＋x－1＝0.
解得x1＝，x2＝(不合题意，舍去)．
所以＝≈0.618.
(五)读一读
黄金分割为什么会受到人们的关注？
历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑物中，如古代希腊的帕特农神庙、埃及的金字塔、上海的东方明珠塔等．一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618.在自然界中也有很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618，许多美丽的形状都与0.618这个比值有关．
说明：通过欣赏著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》图，感受“黄金分割”的美，可以提高学生学习的兴趣．
三、新知应用
【例1】已知线段a＝5，b＝3，求线段a＋b与a－b的比例中项．
【分析】由a，b的值就可以求出(a＋b)与(a－b)的值，再由比例的基本性质可求得比例中项．
【解】∵a＝5，b＝3，∴a＋b＝8，a－b＝2.
设a＋b，a－b的比例中项为x，则
x2＝(a＋b)(a－b)＝16.
解得x1＝4，x2＝－4(不合题意，舍去)．
∴a＋b，a－b的比例中项为4.
说明：例1的目的是巩固比例中项的概念．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．已知线段a＝4 cm，b＝9 cm，若线段b是线段a，c的比例中项，则c等于( C )
A．6 cm B．36 cm
C. cm D. cm
2．一条已知线段上黄金分割点的个数是( B)
A．1个 B．2个
C．3个 D．无数个
3．已知线段a＝3，b＝27，则线段a，b的比例中项是__9__.
4．若a∶b＝c∶d，且a，d的比例中项是5，求b，c的比例中项．
解：∵a∶b＝c∶d，
∴ad＝bc.
又∵52＝ad，
∴bc＝52＝25，
∴bc的比例中项是±5.
5．已知线段a，b的比例中项为2，两线段的和等于13，求线段a，b的长．
解：设线段a的长为x，则线段b的长为(13－x)．
则有(2)2＝x·(13－x)．
x2－13x＋40＝0.
解得x1＝5，x2＝8.
∴线段a的长为5时，线段b的长为8.
线段a的长为8时，线段b的长为5.
五、课堂小结
1．比例中项的概念．
2．线段的比例中项与数的比例中项的区别．
3．黄金分割，黄金分割点，黄金比的概念．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
4．1 比例线段(二)
教学目标：
1．了解两条线段的比和比例线段的概念．
2．能根据条件写出比例线段；会运用比例线段解决简单的实际问题．
3．通过实际问题的解决，培养学生运用数学的意识．
重点难点：
重点：比例线段的概念及比例性质的运用．
难点：课本例3要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
复习引入
1．比例的基本性质是__＝?ad＝bc__．
2．由ad＝bc可推出哪些比例式？
__＝，＝，＝，＝，__
__＝，＝，＝，＝.__
3．操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3∶2，后来又有6名女学生加入进来，此时女生与男生的人数比为5∶3，求原来各有多少男生和女生？
【解】设原来有男生3x人，女生2x人，则
(2x＋6)∶3x＝5∶3
15x＝6x＋18
解得x＝2
所以3x＝6，2x＝4
∴原来有6名男同学和4名女同学．
说明：引入一个实际问题，引起学生们的关注，让学生去解决感兴趣的问题，为下一个枯燥的几何问题做好铺垫．
二、 新知学习
(一)比一比
两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比．
如图所示，设线段OC＝2，OC′＝4，则线段OC与OC′的比就是2∶4＝，记为＝.由图，从△ABC到△A′B′C′是一个相似变换，可得＝，＝，所以＝.
注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；
(2)度量线段的长度单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关．
(3)表示方式与用数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD.
(二)议一议
什么是比例线段？
一般地，四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．例如，上图中，AB，A′B′，BC，B′C是比例线段．
(三)做一做
1．如图所示，＝____，
＝____．
2．已知线段a，b，c，若＝＝，且3a－2b＋5c＝25，求a，b，c的值．
【解】设＝＝＝k(k≠0)．则a＝2k，b＝3k，c＝5k，
∵3a－2b＋5c＝25，
∴6k－6k＋25k＝25.
解得k＝1.
∴a＝2，b＝3，c＝5.
说明：通过比一比、议一议、做一做，加深对比例及比例线段的理解，从而提高学生的认知水平．
三、新知应用
【例1】已知线段a＝30 mm，b＝2 cm，c＝ cm，d＝12 mm，试判断a，b，c，d是否成比例线段．
【分析】判断四条线段是否成比例线段，先要把四条线段的长度单位化为同一单位，然后按从小到大(或从大到小)的顺序排列，再分别计算第一和第二与第三和第四线段的数量比，如果比相等，那么这四条线段成比例，否则不成比例．
【解】取mm作单位，则b＝20mm，c＝8mm，按从小到大的顺序为c，d，b，a.
∵c∶d＝8∶12＝2∶3，
b∶a＝20∶30＝2∶3，
∴c∶d＝b∶a.
即四条线段a，b，c，d成比例线段．
说明：判断四条线段(或数)是否成比例，在同一单位下，除了直接计算a∶b和c∶d进行判断外，还可以计算ad和bc，利用ad＝bc?＝进行判断．
【例2】如图，在△ABC中，AD，CE是△ABC上的高线，找出图中的一组比例线段，并说明理由．
【分析】(1)根据比例的基本性质，要判断四条线段是否成比例，只要采取什么方法？(看其中两条线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积)
(2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高与什么知道联系起来？
(3)根据三角形的面积公式，你能得到一个怎样的等式？
根据所得的等式可以写出怎样的比例式？
【解】＝.理由如下：
∵S△ABC＝AB·CE＝BC·AD，
∴AB·CE＝BC·AD，∴＝.
说明：利用面积是比例线段中得到等积式的常用方法之一．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．下列各组线段，能成比例线段的是( B )
A．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
B．3 cm，6 cm，4 dm，8 mm
C．3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cm
D．2 cm，5 cm， 0.6 dm，8 cm
2．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，求线段d的长度．
解：设d＝x cm，则有＝，即＝.
∴3x＝12.解得x＝4.∴d＝4 cm.
3．如图，在平行四边形ABCD中AE⊥BC，AF⊥CD，找出图中一组比例线段，并说明理由．
解：∵BC·AE＝S?ABCD＝CD·AF，∴＝.
4．有两组线段，每组分别有4条，长度如下：
(1)a＝8 cm，b＝0.05 cm，c＝0.6 dm，d＝10 cm.
(2)a＝16 mm，b＝8 mm，c＝5 mm，d＝10 mm.
请判断它们是否成比例线段，试说明理由．
解：(1)b＝0.05 cm，c＝0.6 dm＝6 cm，a＝8 cm，d＝10 cm.
∵bd＝0.5，ca＝48，bd≠ca，
∴这四条线段不成比例．
(2)c＝5 mm，b＝8 mm，d＝10 mm，a＝16 mm.
∵ac＝80，bd＝80，
∴ac＝bd，即＝，
∴这四条线段成比例．
五、课堂小结
1．两条线段的比及比例线段的概念．
2．方程思想的体现．
3．比例线段的实际问题中的应用．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
