3．8 弧长及扇形的面积(一)
教学目标：
1．使学生理解圆的弧长公式，学会根据弧长公式进行计算．
2．初步学会应用弧长公式解决实际问题．
3．经历探索弧长计算的过程，让学生领会从特殊到一般的思想方法，提高学生的归纳推理能力．
重点难点：
重点：圆的弧长公式．
难点：例1图形较为复杂，涉及知识较多，且需添加辅助线，思路不易形成，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
1．如图是圆弧形铁轨的示意图，其中铁轨的半径为100 m，圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗？
2．如图，在田径场上，标准跑道一般是由长为85.96 m的两条直道及半径为36m的两条半圆弧(称弯道)连接而成，求一条弯道的长．
3．提问：弧长是圆周的一部分，当圆心角为90°，180°时，你能很快求出它们的弧长吗？当圆心角是任意角度时，它所对的弧长应如何计算呢？
说明：通过创设情境和密切联系实际，激发学生的学习兴趣，使他们爱学、会学、学会，并为学习新知识埋下伏笔．
二、新知学习
(一)自主探索(填空)
图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？
(1)图①，圆心角是180°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的____．
(2)图②，圆心角是90°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的____．
(3)图③，圆心角是45°，占整个周角的____，因此它所对的弧长是圆周长的____．
(4)若圆心角是1°，占整个周角的____，因此它所对的弧长是圆周长的____．
(5)若圆心角是n°，占整个周角的____，因此它所对的弧长是圆周长的____．
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，则圆周长为__2πr__，你能试着写出弧长公式吗？
__l＝＝__．
(6)已知圆弧的半径为50 cm，圆心角为60°，此圆弧的长度为__π__cm__．
(二)做一做
1．已知圆的半径为10 cm，求：
(1)半圆的弧长．
(2)90°圆心角所对的弧长．
(3)1°圆心角所对的弧长．
(4)60°圆心角所对的弧长．
【解】 (1)10π cm.(2)5π cm.
(3)π cm.(4)π cm.
2．已知圆的半径为R，求n°的圆心角所对的弧长l.
【解】l＝.
说明：利用上述结论，计算出特殊角所对的弧长，并由此推导出圆的弧长计算公式．
(三)叙一叙
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：
l＝.
说明：设计一系列的问题意在引起学生思考，为推导出圆的弧长公式埋下伏笔．
三、新知应用
【例1】如图，已知一条的长是l，它所对的圆心角为120°.求这条弧所对的弦AB的长．
【分析】求弦AB的长，一般应归结到半径、弦心距和半弦所构成的直角三角形中求得，故应作AB的弦心距．在Rt△AOC中，已知∠AOC＝60°，而半径OA题设没有直接给出，题设中给出了的长，于是联想到弧长公式先求半径，再利用直角三角形性质可求AC，即AB的长．
【解】∵l＝，n＝120，∴R＝.
过点O作OC⊥AB于点C.
∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°，
即∠OAC＝30°.
∴OC＝R＝，
AC＝＝l，即弦AB＝2AC＝l.
说明：通过本例，学生知道求弧长需知道这条弧所对的圆心角的度数，并结合垂直平分线的性质和特殊三角形的性质．这也是本节的教学难点所在．
【例2】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为多少度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°)
【分析】由于本题是求圆心角的度数，因此必须知道弧的长度和半径，而半径是直接给出的，弧长实际是重物上升的距离．
【解】∵l＝，∴n＝＝≈57°.
说明：弧长公式l＝中的三个变量l，n，R，知道其中的任意两个量，即可以求出第三个量，其中的n没有单位，l与R单位一致．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．在半径为1的⊙O中，120°的圆心角所对的弧长是( B )
A. B. C．π D.
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则的长是( B )
A．2π B．π C. D.
,(第2题图)) ,(第3题图))
3．如图，在三角尺ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6.三角尺绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径长为__2π__．
4．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到1mm)．
解：l＝＝500π≈1570(mm)．
因此，所要求的展直长度为：L＝2×700＋1570＝2970(mm)．
五、课堂小结
1．理解弧长公式l＝.
2．利用弧长公式，解决实际问题．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
3．8 弧长及扇形的面积(二)
教学目标：
1．理解扇形面积的计算公式．
2．灵活运用扇形面积公式计算弓形的面积．
3．从实际问题出发，探索出扇形面积公式，培养学生解决实际问题的能力．
重点难点：
重点：扇形面积公式的探索及应用．
难点：例4涉及弓形面积的计算和流量与流速关系等实际背景，较为复杂，是本节教学的难点．
教学过程：
一、新课导入
北京市一居民小区当年为了迎接2008年奥运会，计划将小区的一块平行四边形场地进行绿化，如图阴影部分为绿化地，以A，B，C，D为圆心且半径相同的四个扇形的半径等于中心⊙O的直径，已测得AB＝6m，能求出此绿化地的面积吗？
说明：通过迎奥情境，激发学生的爱国热情，并为扇形面积公式的探究打下基础．
二、新知学习
(一)想一想
圆心角为1°的扇形面积及圆心角为n°的扇形面积分别是圆面积的几分之几？
(二)探一探
1．如图，因为1°的圆心角的扇形面积为圆面积的，即 ，所以扇形BOC的面积为，由弧长公式l＝，得＝＝.
2．一般地，如果扇形的半径为R，圆心角为n°，扇形的弧长为l，那么扇形面积S的计算公式为S＝__＝lR__．
(三)做一做
已知圆的半径为6 cm，求下列各扇形的面积(结果保留π)
(1)圆心角为90°的扇形．
(2)圆心角为120°的扇形．
(3)圆心角为240°的扇形．
(4)弧长为7.2 cm的扇形．
【解】(1)9π cm2.(2)12π cm2.(3)24π cm2.
(4)21.6 cm2.
说明：扇形面积公式的推导与弧长公式的推导类似，教学中可以放手让学生自己去完成．
三、新知应用
【例1】已知一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且它们的面积相等．求这个扇形的圆心角．
【分析】求扇形圆心角可利用扇形面积公式，由于题中没有直接给出数据，而是给出了扇形半径与圆半径的关系及它们之间的面积关系，故可设圆的半径为R，则扇形半径为2R，列出方程可求．
【解】设圆的半径为R，则扇形半径为2R，由题意得＝πR2，解得n＝90.即扇形的圆心角为90°.
说明：本例意在让学生灵活运用扇形的面积计算公式，但题中没有直接给出扇形和圆的半径，因此，教学中要引导学生进行思考．
【例2】设计一个商标图案(如图所示)，在△ABC中，AB＝AC＝2 cm，∠B＝30°，以A为圆心，AB为半径作，以BC为直径作半圆.求商标图案(即阴影部分)的面积．
【分析】阴影部分的面积即为半圆的面积与△ABC的面积和减去扇形ABC的面积．
【解】连结OA，则有OA⊥BC，∵∠B＝30°，
∴OA＝AB＝1 cm，OB＝OC＝ cm.
S阴＝S半圆＋S△ABC－S扇形ABC
＝π()2＋×2×1－
＝＋(cm)．
说明：本例的计算较难，教学时应重视学生对数据的处理，也可以学生合作讨论的形式完成解题过程．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．如图，一块呈三角形的草坪上，一小孩将绳子一端拴住兔子，另一端套在木桩A处．若∠BAC＝120°，绳子长3m(不包括两个栓桩用的绳子)，则兔子的草坪上活动的最大面积是( C )
A．π m2 B．2π m2 C．3π m2 D．9π m2
2．钟面上的分针长6cm，经过25分钟，分针在钟面上扫过的面积是( B )
A.π cm2 B．15π cm2
C．9π cm2 D．30π cm2
3．一个扇形的圆心角是120°，它的面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是( B )
A. cm B．3 cm C．6 cm D．8 cm
4．如图所示，直径AB为6的半径，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是( A )
A．6π B．5π C．4π D．3π
,(第4题图)) ,(第5题图))
5．如图所示，在3×3的方格中(共有9个小格)，每个小方格都是边长为1的正方形，O，B，C是格点，则扇形OBC的面积等于__π__．(结果保留π)
五、课堂小结
1．扇形和弓形的面积公式．
2．用分块和割补的方法求平面图形的面积．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
