3.5 圆周角(一)
教学目标：
1．理解圆周角的概念．
2．掌握圆周角定理及其推论，会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题．
3．通过观察、思考、实验、探索等活动，分情况证明圆周角定理．
4．在探索活动中获取成功的体验，提高学习数学的兴趣．
重点难点：
重点：圆周角的概念和圆周角定理．
难点：圆周角定理的证明．
教学过程：
一、新课导入
1．在射门游戏中(如图所示)，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关．巩固已学的知识，为引出圆周角的概念做好铺垫．当球员在点B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？
三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC又是什么角呢？
2．什么叫做圆心角呢？圆心角与弧的度数相等吗？
说明：本题意在通过射门游戏引入圆周角的概念，激发学生学习数学的兴趣．
二、新知学习
(一)自主探索
1．用类比圆心角定义的方法得出圆周角定义：顶点在圆上，它的两边都和圆相交，这样的角叫做__圆周角__，如图中的∠ABC.
2．图中还有哪些圆周角？
【解】还有∠ADB，∠DAB，∠DAC等．
3．圆周角的特征
(1)角的顶点在圆上．
(2)角的两边都与圆相交(两边在圆内的部分是圆的两条弦)．
(二)练一练
判断如图中的角是不是圆周角，并说明理由．
(三)想一想
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，那么，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？
(四)合作学习
1．如图①所示，量出∠BAC与同弧上的圆心角∠BOC的度数，两者之间有什么关系？
2．当点A在上移动时，就圆心关于圆周角的位置，除了圆心在圆周角内、圆周角外(如图②所示)和圆周角的一条边上(如图③所示)这三类情况外，还有没有其他情况？
3．量一量每次变化后∠BAC的度数，你发现了什么？
4．试着把你的数学猜想用文字表述出来．
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一半__．
(五)证一证
已知：∠BOC，∠BAC分别是所对的圆心角和圆周角(如上图所示)．
求证：∠BAC＝∠BOC.
【分析】(1)如果圆心O在∠BAC的一边AB上(如图③所示)，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．(2)如果圆心O在∠BAC内，我们如何证明这个结论成立呢？(3)如果圆心O在∠BAC的外部时，我们又如何证明呢？能否把(2)(3)转化为(1)的情况呢？
【证明】(1)当圆心O在圆周角∠BAC的一边AB上时，如图③，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠C.
∵∠BOC是△OAC的外角，
∴∠BOC＝∠C＋∠BAC＝2∠BAC，
∴∠BAC＝∠BOC.
(2)当圆心O在∠BAC的内部时，如图①，连结AO并延长，交⊙O于点D.利用(1)的结果，有∠BAD＝∠BOD，∠DAC＝∠DOC，
∴∠BAD＋∠DAC＝(∠BOD＋∠DOC)，
即∠BAC＝∠BOC.
(3)当圆心O在∠BAC的外部时，如图②，连结AO并延长，交⊙O于点D，利用(1)的结果，有∠DAC＝∠DOC，∠DAB＝∠DOB，∴∠DAC－∠DAB＝(∠DOC－∠DOB)，即∠BAC＝∠BOC.
(六)做一做
1．作⊙O的直径AB，在⊙O上任意取一点C(除点A，B)，连结AC，CB，量出∠ACB的度数，由此你发现什么结论？并给出证明．反之呢？
【解】∠ACB＝90°.
【结论】半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__.90°圆周角所对的弦是__直径__．
【证明】连结OC.
∵OA＝OC＝OB，
∴∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.
又∵∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°.
2．圆周角定理的推论．
半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
说明：在探索圆周角与圆心角的关系时，采用合作学习的方式，学生要解决这一问题仍有一定的困难，因此教学时可分四个小题，以降低难度，并留给学生一定的时间和空间．提高学生的自主探究能力和概括能力．
三、新知应用
【例】如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC、AD、BD的长．
【解】如图，连结OD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
在Rt△ABC中，BC＝＝＝8(cm)．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
∴AD＝BD.
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD＝BD＝AB＝×10＝5(cm)．
说明：本例综合运用圆周角定理及其推论解题．旨在培养学生初步运用知识的能力．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠CDA＝25°，则∠AOB的度数为__50°__．
,(第1题图)) ,(第2题图))
2．如图，AB是⊙O直径，已知∠ACD＝20°，则∠BAD的度数是( D )
A．40° B．50°
C．60° D．70°
3．如图，△BCE是⊙O的内接三角形，∠E＝45°，BC＝2，求⊙O的半径．
解：2.
五、课堂小结
1．一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
2．半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
3．在证明圆周角定理时要学会转化、分类、归纳等数学思想方法．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
3.5 圆周角(二)
教学目标：
1．掌握圆周角定理的推论“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等”．
2．会运用上述圆周角定理的推论解决简单几何问题．
3．经历探索圆周角定理的另一个推论的过程，培养学生的自主探究能力．
重点难点：
重点：圆周角定理的推论“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等”．
难点：例1涉及圆内角、圆外角与圆周角的关系，思路较难形成，表述也有一定的困难．
教学过程：
一、新课导入
1．圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．
特征：①角的顶点在圆上；
②角的两边都与圆相交．
2．圆心角与所对的弧的关系．
3．圆周角与所对的弧的关系．
4．同弧所对的圆心角与圆周角的关系．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
说明：用类比的方法探索圆周角定理的推论，培养学生的自主探究能力．
二、新知学习
(一)自主探索
1．在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧也相等，那么等弧所对的圆周角相等吗？相等的圆周角所对的弧相等吗？
2．观察图，∠ABC，∠ADC和∠AEC有什么共同特征？它们的大小有什么关系？为什么？
【解】∠ABC，∠ADC，∠AEC相对应的弧是，∠ABC＝∠ADC＝∠AEC，根据圆周角定理，它们都等于圆心角∠AOC的一半．
3．圆周角定理的结论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__相等__；相等的圆周角所对的弧也__相等__．
(二)做一做
如图，四边形ABCD内接于⊙O，找出图中分别与∠1，∠2，∠3相等的角．
【解】与∠1相等的角是∠ABD，与∠2相等的角是∠CAB，与∠3相等的角是∠DBC.
说明：在自主探索之后，通过做一做，让学生及时巩固圆周角定理的推论，辨别同弧所对的圆周角有哪些．
三、新知应用
【例1】如图，AB是圆的一条弦，M是圆上一点，P是圆内一点，Q是圆外一点，点P，Q，M在直线AB的同一侧．∠AMB＝α，求证：
(1)∠APB＞α；
(2)∠AQB＜α.
【分析】由于三角形的外角大于和它不相邻的内角，证明一个角大于或小于另一个角时，可以考虑构建一个三角形，使较大的一个角是该三角形的外角，较小的一个角是该三角形的内角．
【证明】(1)延长AP与圆交于点P′，连结BP′.
∵圆周角∠AP′B和∠AMB所对的弧都是，
∴∠AP′B＝∠AMB＝α.
∵∠APB是△BPP′的外角，
∴∠APB＞∠AP′B，
即∠APB＞α.
(2)设AQ交圆于点Q′，连结Q′B.
∵圆周角∠AQ′B和∠AMB所对的弧都是，
∴∠AQ′B＝∠AMB＝α.
∵∠AQ′B是△Q′BQ的外角，
∴∠AQ′B＞∠AQB，
∴∠AQB＜α.
说明：本例意在运用同弧所对的圆周角相等和三角形内角和定理的推论，培养学生的分类意识，并为解决课本例子的暗礁问题埋下伏笔．
四、巩固新知
尝试完成下面各题．
1．如图，点D是的中点，图中与∠ABD相等的角的个数有( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，P是△ABC的外接圆上的一点，∠APC＝∠CPB＝60°，求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠ABC和∠APC都是所对的圆周角．
∴∠ABC＝∠APC＝60°(同弧所对的圆周角相等)．
同理：
∵∠BAC和∠CPB都是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CBP＝60°.
∴△ABC是等边三角形．
3．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连结AC，OC，BC.
(1)求证：∠ACO＝∠BCD.
(2)若EB＝8 cm，CD＝24 cm，求⊙O的直径．
解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD.
∴CE＝ED，＝，
∴∠BCD＝∠BAC.
∵OA＝OC.
∴∠OAC＝∠ACO.∴∠ACO＝∠BCD.
(2)设⊙O的半径为r cm，
则OE＝OB－EB＝(r－8) cm，
CE＝CD＝×24＝12 cm.
在Rt△CEO中，得OC2＝OE2＋CE2，
即r2＝(r－8)2＋122，
解得r＝13 cm，
∴2r＝2×13＝26 cm，
∴⊙O的直径为26 cm.
五、课堂小结
1．圆周角定理的推论．
2．利用圆周角定理及其推论实现圆周角相等、弧相等和弧相等的互相转换．
3．利用例2的结论的逆定理，是判断点和圆的位置关系的第二种方法．
六、课后作业
请完成本资料对应的课后作业部分内容．
