浙教版九上数学第3章《圆的基本性质》培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.若圆的半径是 /，圆心的坐标是 /，点 /的坐标是 /，则点 /与 /的位置关系是(???? )
A.?点P在⊙O外????????????????/B.?点P在⊙O内????????????????/C.?点P在⊙O上????????????????/D.?点P在⊙O外或⊙O上
2.如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC等于（?? ）
A.?22°???????????????????????????????????????B.?26°???????????????????????????????????????C.?32°???????????????????????????????????????D.?34°
/ / / /
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B=135°，则 /的长（?? ）
A.?/????????????????????????????????????????/B.?/????????????????????????????????????????/C.?/????????????????????????????????????????/D.?/
4.小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个△ACD，其作法步骤是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；③连结AC，BC，CD.下列说法不正确的是（?? ）
A.?∠A=60°????????B.?△ACD是直角三角形（第，爱画）????????C.?BC= /CD????????D.?点B是△ACD的外心
5.如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若P都是整数点，则这样的点共有（?? ）
A.?4个?????????????????????????????????????/B.?8个?????????????????????????????????????/C.?12个?????????????????????????????????????/D.?16个
6.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连结AC，EB，CH=6 /，则EH的长为（?? ）
A.?12 /???????????????????????????????????/B.?18???????????????????????????????????/C.?6? /+6???????????????????????????????????/D.?12
// / /
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 /经过第一象限内一点A，且OA＝4过点A作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，则点C的坐标为（?? ）
A.?（- /，2）??????????????????/B.?（- /，1）??????????????????/C.?（-2， /）??????????????????/D.?（-1， /）
8.如图，⊙O过点B，C．圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（? ）
A.?/????????????????????????????????????/B.?2 /????????????????????????????????????/C.?3 /????????????????????????????????????/D.?/
9.如图所示，点A，B，C，D在 /上，CD是直径， /，则 /的度数为 /??? /
A.?/???????????????????????????????????????/B.?/???????????????????????????????????????/C.?/???????????????????????????????????????/D.?/
10.如图，MN是半径为2的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为(??? )
A.?4 /???????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????/C.?4???????????????????????????????????????/D.?2 /
/ /
11.如图，⊙O1与⊙O2的半径均为5，⊙O1的两条弦长分别为6和8，⊙O2的两条弦长均为7，则图中阴影部分面积的大小关系为（?? ）
A.?S1＞S2?????????????????????????????/B.?S1＜S2????? ?????????????????????????????/C.?S1=S2?????????????????????????????/D.?无法确定
12.已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP= /，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（?? ）
A.?4???????????????????????????????????????????/B.?5???????????????????????????????????????????/C.?6???????????????????????????????????????????/D.?7
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13.如图.在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm.
/ / /
（第13题） （第14题） （第15题）
14.如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径为________.
15.如图，四边形ABCD内接于半径为2的⊙O，E为CD延长线上一点．若∠ADE=120°，则劣弧AC的长为________．
16.如图，AB为⊙O的直径，C为圆上（除A、B外）一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于D，若AC＝8，BC＝6，则BD的长为________．
17.如图，四边形ABCD中， /，若 /，则 /________度 /
18.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，AB﹣BC＝1，圆心在线段BD上的⊙O交AB于点E、F，交BC于点G，H，其EF＝GH，则CD的长为________．
/ / /
（第16题） （第17题） （第18题）
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤
19.（6分）如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 /上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长． /
20.（8分）已知在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC 于 D，BC 于E， 连接ED．
（1）求证：ED=EC；
（2）若 CD=3，EC=2 /，求 AB的长.
/
21.（8分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE． 求证：（1）AB＝AF； （2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．
/
22.（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CF垂直直径BD于点E，交边AB于点F.
（1）求证：∠BFC=∠ABC. （2）若⊙O的半径为5，CF=6，求AF长.
/
23（10分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE=CF，
（1）求证：AE是⊙O的直径； （2）若∠ABC=∠EAC，AE=8，求AC的长．
/
24.（12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC＝∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；
（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．
/
25.（12分）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
/
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“十字形”的有________．
（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，且CB＝CD
①证明：四边形ABCD是“十字形”；
②若AB＝2．∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，求四边形ABCD的面积．
（3）如图2．A、B、C、D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，若∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD．满足AC+BD＝3，求线段OE的取值范围．
/
浙教版九上数学第3章《圆的基本性质》培优测试卷
（参考答案）
一、单选题
1.【答案】 C 2.【答案】 A 3.【答案】 B 4.【答案】 C 5.【答案】 C 6.【答案】 B
7.【答案】 D 8.【答案】 D 9.【答案】 C 10.【答案】D 11.【答案】 B 12.【答案】B
二、填空题
13.【答案】 / 14.【答案】 / 15.【答案】 /
16.【答案】 / 17.【答案】 / 18.【答案】 /
三、简答题
19.【答案】（1）解：连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC= /∠BOC=45°；/ （2）解：过点O作OE⊥BC于点E， ∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2 ， ∴BE= /?∴BC=2BE=2× /
20.【答案】 （1）证明： 连接AE， ∵AB是直径， ∴∠AEB=90°， ∵AB=AC, ∴BE=CE,∠BAE=∠CAE,
∴弧BE=弧DE, ∴BE=ED, ∴ED=EC
（2）解： ∵四边形ABED是圆内接四边形 ∴∠B+∠ADE=180°， 又∵∠ADE+∠EDC=180°， ∴∠EDC=∠B， ∴△CDE∽△CBA， ∴/， ∴/ ∴AC=AB=8
21.【答案】 （1）证明：∠ABF＝∠ADC＝120°﹣∠ACD＝120°﹣∠DEC
＝120°﹣（60°+∠ADE）＝60°﹣∠ADE，
而∠F＝60°﹣∠ACF，
因为∠ACF＝∠ADE，
所以∠ABF＝∠F，所以AB＝AF．
（2）证明：四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD＝∠ACD，
又DE＝DC，所以∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，
所以∠ABD＝∠AEB，
所以AB＝AE．
∵AB＝AF，
∴AB＝AF＝AE，即A是三角形BEF的外心．
22.【答案】 （1）证明：连结AD， / ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD=90°， ∵CF⊥BD， ∴∠BEF =90°， ∵∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠BFE=90°， ∴∠BFC=∠ADB， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ACB=∠ADB， ∴∠BFC=∠ABC. （2）解：连结CD， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD=90°， ∵∠BFC=∠ABC， ∴BC=CF=6， ∵BD=10， ∴CD=/ ∴cos∠DBC=/，sin∠DBC=/， 在Rt△BCE中，BE=BC·cos∠DBC=6×/=/，CE=BC·sin∠DBC=6×/， ∴/， ∴BF=/，∵con∠ABD=/， 即/ ∴AB=/,∴AF=AB-BF=/
23.【答案】 （1）证明：∵BE=CF， ∴弧BE=弧CF， ∴∠BAE=∠CAF， ∵AF⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴∠FAC+∠ACD=90°， ∵∠E=∠ACD， ∴∠BAE+∠E=90°， ∴∠ABE=90°， ∴ AE是⊙O的直径 . （2）解：连结OC， / ∴∠AOC=2∠ABC， ∵∠ABC=∠CAE， ∴∠AOC=2∠CAE， ∵OA=OA， ∴∠CAO=∠ACO=/∠AOC， ∴△AOC为等腰直角三角形， ∵AE=8， ∴AO=CO=4， ∴AC=/.
24.【答案】 （1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，
∴∠DAC＝∠DBA；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB＝90°，
∴∠1+∠3＝∠5+∠3＝90°，
∴∠1＝∠5＝∠2，
∴PD＝PA，
∵∠4+∠2＝∠1+∠3＝90°，且∠ADB＝90°，
∴∠3＝∠4，
∴PD＝PF，
∴PA＝PF，即P是线段AF的中点；
（3）解：连接CD，
∵∠CBD＝∠DBA，
∴CD＝AD，
∵CD＝3，∴AD＝3，
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝5，
故⊙O的半径为2.5，
∵DE×AB＝AD×BD，
∴5DE＝3×4，
∴DE＝2.4．
即DE的长为2.4．
/
25.【答案】 （1）菱形，正方形 （2）解：①如图1，连接AC，BD
/
∵AB＝AD，且CB＝CD
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是“十字形” ②如图，设AC与BD交于点O / ∵AB=AD，AC⊥BD ∴∠BAO=/∠BAD=30° 同理可证∠BCO=45° 在Rt△ABO中，OB=/AB=1 AO=AB×cos30°=2×/=/ OB=OC=1 ∴AC=AO+CO=1+/， BD=2 ∴ 四边形ABCD的面积=/×AB×BD=/×2×（1+/）=1+/
（3）解：如图2
/
∵∠ADB+∠CBD＝∠ABD+∠CDB，∠CBD＝∠CDB＝∠CAB，
∴∠ADB+∠CAD＝∠ABD+∠CAB，
∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠AEB，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴AC⊥BD，
过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，
∴OA＝OD＝1，OM2＝OA2﹣AM2 ， ON2＝OD2﹣DN2 ， AM＝ /AC，DN＝ /BD，四边形OMEN是矩形，
∴ON＝ME，OE2＝OM2+ME2 ，
∴OE2＝OM2+ON2＝2﹣ /（AC2+BD2）
设AC＝m，则BD＝3﹣m，
∵⊙O的半径为1，AC+BD＝3，
∴1≤m≤2，
OE2＝ /＝ /，
∴ /≤OE2≤ /，
∴ /≤OE≤ /
/
浙教版九上数学第3章《圆的基本性质》培优测试卷
（解析版）
一、单选题
1.若圆的半径是 /，圆心的坐标是 /，点 /的坐标是 /，则点 /与 /的位置关系是(???? )
A.?点P在⊙O外????????????????/B.?点P在⊙O内????????????????/C.?点P在⊙O上????????????????/D.?点P在⊙O外或⊙O上
【答案】 C
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由勾股定理得：OP= /=5．
∵圆O的半径为5，∴点P在圆O上．
故答案为：C
【分析】利用勾股定理求出点P到圆心的距离OP，再根据点与圆的位置关系，就可得出点P与圆O的位置关系。
2.如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC等于（?? ）
/
A.?22°???????????????????????????????????????B.?26°???????????????????????????????????????C.?32°???????????????????????????????????????D.?34°
【答案】 A
【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC， / ∵ ∠A＝68° ， ∴∠BOC=2∠A=136°, ∵OB=OC, ∴ ∠OBC =/=22°; 故答案为 ：A。 【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOC，再根据三角形的内角和及等腰三角形的两底角相等即可算出答案。
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B=135°，则 /的长（?? ）
/
A.?/????????????????????????????????????????/B.?/????????????????????????????????????????/C.?/????????????????????????????????????????/D.?/
【答案】 B
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OC ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135° ∴∠B+∠D=180° ∴∠D=180°-135°=45° ∴∠AOC=2∠D=2×45°=90° ∵⊙O的半径为4， ∴弧AC的长为：/ 故答案为：B 【分析】连接PA、OC，利用圆内接四边形的性质求出∠D的度数，再利用圆周角定理求出∠AOC的度数，然后利用弧长公式就可求出弧AC的长。
4.小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个△ACD，其作法步骤是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；③连结AC，BC，CD.下列说法不正确的是（?? ） /
A.?∠A=60°????????B.?△ACD是直角三角形（第，爱画）????????C.?BC= /CD????????D.?点B是△ACD的外心
【答案】 C
【考点】等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心，作图—复杂作图，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ 分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C????? ∴AB=AC=CB ∴△ACB是等边三角形 ∴∠A=60°，故A不符合题意； ∵ 以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D ∴AB=CB=BD ∴∠D=∠BCD ∵∠ABC=∠D+∠BCD=60° ∴∠BCD=30° ∴∠ACD=∠ADB+∠BCD=60°+30°=90° ∴∠ACD=90° ∴△ACD是直角三角形，故B不符合题意； 在Rt△ADC中，∠A=60° ∴tan∠A=/ ∴/ 故C符合题意； ∵AB=CB=BD ∴ 点B是△ACD的外心 故D不符合题意； 故答案为：C 【分析】 由已知条件：分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C，易证△ACB是等边三角形，因此可求出∠A的度数，可对A作出判断；再由以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D，可知AB=CB=BD，可证得点B是△ACD的外心，可对D作出判断；利用等腰三角形的性质，及三角形外角的性质求出∠D的度数，就可求出∠ACD的度数，可对B作出判断，然后利用解直角三角形就可得到BC与CD的数量关系，可对C作出判断，综上所述，可得出答案。
5.如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若P都是整数点，则这样的点共有（?? ）
/
A.?4个?????????????????????????????????????/B.?8个?????????????????????????????????????/C.?12个?????????????????????????????????????/D.?16个
【答案】 C
【考点】坐标与图形性质，圆的认识
【解析】【解答】解：分为两种情况； ①若这个点在坐标轴上，那么有四个，它们是（0，5），（5，0），（﹣5，0），（0，﹣5）； ②若这个点在象限内，
∵52＝42+32 ， 而P都是整数点，
∴这样的点有8个，分别是（3，4），（3，﹣4），（﹣3，4），（﹣3，﹣4）），（4，3），（4，﹣3），（﹣4，3），（﹣4，﹣3）．
∴共12个，故答案为：C．
【分析】应分为两种情况：①若这个点在坐标轴上，那么有四个；②若这个点在象限内，由52=42+32 ， 可知在每个象限有两个，综上所述即可得出答案。
6.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连结AC，EB，CH=6 /，则EH的长为（?? ）
/
A.?12 /???????????????????????????????????/B.?18???????????????????????????????????/C.?6? /+6???????????????????????????????????/D.?12
【答案】 B
【考点】正多边形和圆，解直角三角形
【解析】【解答】解:连接CO，
/
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
此时AC⊥BE?，
∵CH=6? /?，
∴∠OCH=30°，
∴cos30°=? /=? /=? /，
解得：CO=12，
故OH=6，
则EO=OC=12，HO=6，
故EH=EO+OH=12+6=18.
故答案为：B.
【分析】连接CO，由六边形ABCDEF是正六边形，可证得△OCB是等边三角形，根据AC⊥BE，可求出CH，再利用解直角三角形求出CO，就可求出OH的长，然后根据EH=OE+OH，求出EH的长。
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 /经过第一象限内一点A，且OA＝4过点A作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，则点C的坐标为（?? ）
/
A.?（- /，2）??????????????????/B.?（- /，1）??????????????????/C.?（-2， /）??????????????????/D.?（-1， /）
【答案】 D
【考点】正比例函数的图象和性质，旋转的性质
【解析】【解答】解：作CH⊥x轴与点H,
/
∵直线 /，
∴∠AOB=60°,
在Rt△ABO中, ∠A=90°-60°=30°,??
∴OB= /=2,
∴ /.
在Rt△BCH中, ∠CBH=90°-60°=30°,
∴CH= /,
∴BH= /,
∴OH=3-2=1,
∴C点坐标为（-1， /）.
故答案为：D.
【分析】 作CH⊥x轴与点H，利用OA的函数解析式，就可求出∠AOB=60°，从而可求出OB的长，利用勾股定理求出AB，在Rt△BCH中，利用30°角的直角边等于斜边的一半，求出CH的长，利用勾股定理求出BH，然后求出OH的长，就可得到点C的坐标。
8.如图，⊙O过点B，C．圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（? ）
/
A.?/????????????????????????????????????/B.?2 /????????????????????????????????????/C.?3 /????????????????????????????????????/D.?/
【答案】 D
【考点】垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D / ∴AD⊥BC ∴BD=/BC=/×6=3， ∵等腰直角△ABC，OD垂直平分BC ∴点A在线段BC的垂直平分线上， ∴点A、O、D三点共线 ∴∠ABD=45° △ADB是等腰直角三角形， ∴BD=AD=3 ∴OD=AD-AO=3-1=2 ∴OB=/ ∴圆的半径为/ 故答案为：D 【分析】过点O作OD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质及圆的对称性，可证得点A、O、D三点共线，利用垂径定理求出BD的长，再证明△ADB是等腰直角三角形，就可求出OD的长，然后利用勾股定理求出圆的半径。
9.如图所示，点A，B，C，D在 /上，CD是直径， /，则 /的度数为 /??? /
/
A.?/???????????????????????????????????????/B.?/???????????????????????????????????????/C.?/???????????????????????????????????????/D.?/
【答案】 C
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆周角定理
【解析】【解答】连接AC，
/
/，
/，
/，
/，
故答案为：C．
【分析】连接AC，根据同弧所对的圆周角相等求出∠OCA=75°，再利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求出∠AOC 的度数 .
10.如图，MN是半径为2的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为(??? )
/
A.?4 /???????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????/C.?4???????????????????????????????????????/D.?2 /
【答案】D
【考点】圆周角定理，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，
/
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′．∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°．∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON= /∠AON= /×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′= /OA= /×2= /，即PA+PB的最小值= /．故答案为：D．
【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称的最短问题得出：AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，根据等弧所对的圆心角相等得出∠BON=?/∠AON=?/×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，根据角的和差得出∠AOB′=90o，进而判断出△AOB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的边之间的关系算出AB′的长，从而得出答案。
11.如图，⊙O1与⊙O2的半径均为5，⊙O1的两条弦长分别为6和8，⊙O2的两条弦长均为7，则图中阴影部分面积的大小关系为（?? ）
/
A.?S1＞S2?????????????????????????????/B.?S1＜S2????? ?????????????????????????????/C.?S1=S2?????????????????????????????/D.?无法确定
【答案】 B
【考点】勾股定理的逆定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义，旋转的性质
【解析】【解答】解：通过旋转，拼接得到下面图形．
/
∵62+82=102 ，
∴△ABC是直角三角形，S△ABC=24，
右边图中，DE=EF=7，作O2M⊥DE，连接O2E交DF于H．
∵sin∠EDH=sin∠MO2E，
∴ /= /，
∴EH=4.9，DF=2DH≈10，
∴S△DEF≈ /＞S△ABC ，
∴S2＞S1 ，
故答案为：B．
【分析】通过旋转，拼接得到下面图形，根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，进而根据三角形面积的计算方法得出S△ABC=24，右边图中，DE=EF=7，作O2M⊥DE，连接O2E交DF于H，根据圆周角定理及等角的同名三角函数值相等得出sin∠EDH=sin∠MO2E，根据正弦函数的定义得出 /= /， 根据比例式得出EH的长，进而根据等腰三角形的三线合一得出DF的长，根据三角形面积的计算方法从而得出S△DEF≈ /＞S△ABC ， 从而得出答案。
12.已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP= /，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（?? ）
A.?4???????????????????????????????????????????/B.?5???????????????????????????????????????????/C.?6???????????????????????????????????????????/D.?7
【答案】B
【考点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接OA、OD，作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，
/
∵AC⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，
∵OA=OD=2，OP= /，
设OE为x（x＞0），
根据勾股定理得，OF=EP= /= /，
在Rt△AOE中，AE= /= /
∴AC=2AE=2 /，
同理得，BD=2DF=2 /=2 /，
又∵任意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的 /，
∴S四边形ABCD= /AC×BD= /×2 /×2 /=2 /=2 /
当x2= /即：x= /时，四边形ABCD的面积最大，等于2 /=5．
答案为：B．
【分析】作出弦心距，根据S四边形ABCD=对角线乘积的一半，列出函数关系式，配成顶点式，求出最值.
二、填空题
13.如图.在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm.
/
【答案】 /
【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，
/
∵在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm，
∴∠BOC＝120°，
作OD⊥BC于点D，则∠ODB＝90°，∠BOD＝60°，
∴BD＝ /，∠OBD＝30°，
∴OB＝ /，得OB＝ /，
∴2OB＝ /，
即△ABC外接圆的直径是 /cm，
故答案为： /.
【分析】设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠BOC＝120°，作OD⊥BC于点D，则∠ODB＝90°，∠BOD＝60°，根据垂径定理得出BD的长，根据三角形的内角和得出∠OBD＝30°，然后根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由OB＝ /算出OB的长，从而得出答案。
14.如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径为________.
/
【答案】 /
【考点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5?R，
/
∵直径EF⊥CD,垂足为M,CD=2，
∴CM=DM=1，
在Rt△OMC中,由勾股定理得：OC2=OM2+CM2 ，
R2=(5?R)2+12 ，
解得R= /.
故答案为 /.
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，可表示出OC，OM，利用垂径定理求出CM的长，再利用勾股定理求出圆的半径。
15.如图，四边形ABCD内接于半径为2的⊙O，E为CD延长线上一点．若∠ADE=120°，则劣弧AC的长为________．
/
【答案】 /
【考点】圆周角定理，弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OC，
/
∵ /，
∴ /?
由圆周角定理得， /??
∴劣弧AC的长 /?
故答案为： /
【分析】连接OA、OC，根据邻补角的定义得出/， 根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出/然后根据弧长计算公式l=/即可算出答案。
16.如图，AB为⊙O的直径，C为圆上（除A、B外）一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于D，若AC＝8，BC＝6，则BD的长为________．
/
【答案】 /
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，AC＝8，BC＝6，
∴在Rt△ACB中，AB＝ /，
连接AD，
∵∠ACB的角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD＝∠BCD＝ /，
∴AD＝DB，
在Rt△ADB中，AD＝DB＝ /，
故答案为：5 /
【分析】连接AD，利用圆周角定理及勾股定理求出AB的长，再证明AD=BD，利用解直角三角形求出BD的长。
17.如图，四边形ABCD中， /，若 /，则 /________度 /
/
【答案】 /
【考点】圆的认识，圆周角定理
【解析】【解答】∵AB=AC=AD，
∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，
∴∠CBD是弧CD对的圆周角，∠CAD是弧CD对的圆心角；
∵∠CAD=76°，
∴∠CBD= /∠CAD= /×76°=38°．
【分析】根据同圆的半径相等，由AB=AC=AD，故点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可由∠CBD= /∠CAD得出答案。
18.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，AB﹣BC＝1，圆心在线段BD上的⊙O交AB于点E、F，交BC于点G，H，其EF＝GH，则CD的长为________．
/
【答案】 /
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理
【解析】【解答】解：如图在BA上截取BT＝BC，连接DT．作OM⊥BC于M，ON⊥AB于N．
/
∵EF＝GH，OM⊥BC，ON⊥AB，
∴OM＝ON，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠DBT，
∵BD＝BD，BC＝BT，
∴△DBC≌△DBT，
∴CD＝DT，
∵AB﹣BC＝AT＝1，
在Rt△ADT中，DT＝ /＝ /＝ /，
∴CD＝DT＝ /，
故答案为 /．
【分析】首先根据垂径定理得出BD是/的角平分线；然后再根据三角形全等的判定方法判定△DBC≌△DBT；最后根据勾股定理求出DT的长度，即求出DC的长度。
三、简答题
19.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 /上（不与C点重合）．
/
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
【答案】（1）解：连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC= /∠BOC=45°；/ （2）解：过点O作OE⊥BC于点E， ∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2 ， ∴BE= /?∴BC=2BE=2× /
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，正多边形和圆
【解析】【分析】（1）由圆内接正方形的性质可知，正方形ABCD的中心角为90°，根据同圆或等圆中圆周角等于圆心角的一半，可以求得∠BPC的度数；
（2）由题意可知，OB=OC=8，再由解直角三角形可以求得BC的长。
20.已知在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC 于 D，BC 于E， 连接ED．
/
（1）求证：ED=EC；
（2）若 CD=3，EC=2 /，求 AB的长.
【答案】 （1）证明： 连接AE， ∵AB是直径， ∴∠AEB=90°， ∵AB=AC, ∴BE=CE,∠BAE=∠CAE,
∴弧BE=弧DE, ∴BE=ED, ∴ED=EC
（2）解： ∵四边形ABED是圆内接四边形 ∴∠B+∠ADE=180°， 又∵∠ADE+∠EDC=180°， ∴∠EDC=∠B， ∴△CDE∽△CBA， ∴/， ∴/ ∴AC=AB=8
【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，根据等腰三角形的三线合一得出BE=CE,∠BAE=∠CAE,根据圆周角定理得出弧BE=弧DE,根据等弧所对的弦相等得出BE=ED,根据等量代换即可得出ED=EC；
（2）根据同角的余角相等得出∠EDC=∠B，然后判断出△CDE∽△CBA，根据相似三角形对应边成比例得出/根据比例式即可算出答案。
21.如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE．
/
求证：
（1）AB＝AF；
（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．
【答案】 （1）证明：∠ABF＝∠ADC＝120°﹣∠ACD＝120°﹣∠DEC
＝120°﹣（60°+∠ADE）＝60°﹣∠ADE，
而∠F＝60°﹣∠ACF，
因为∠ACF＝∠ADE，
所以∠ABF＝∠F，所以AB＝AF．
（2）证明：四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD＝∠ACD，
又DE＝DC，所以∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，
所以∠ABD＝∠AEB，
所以AB＝AE．
∵AB＝AF，
∴AB＝AF＝AE，即A是三角形BEF的外心．
【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出 ∠ABF＝∠ADC，根据三角形的内角和得出 ∠ADC＝120°﹣∠ACD，根据等边对等角得出 ∠ADC＝ 120°﹣∠DEC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出 ∠DEC= 60°+∠ADE，故 ∠ABF= 60°﹣∠ADE， 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出 ∠F＝60°﹣∠ACF，根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ACF＝∠ADE， 所以∠ABF＝∠F，根据等角对等边得出AB＝AF； （2）根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ABD＝∠ACD，根据等边对等角及对顶角相等得出 ∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，故 ∠ABD＝∠AEB，根据等角对等边得出 AB＝AE，又 AB＝AF，故 AB＝AF＝AE，即A是三角形BEF的外心．
?
?
22.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CF垂直直径BD于点E，交边AB于点F.
/
（1）求证：∠BFC=∠ABC.
（2）若⊙O的半径为5，CF=6，求AF长.
【答案】 （1）证明：连结AD， / ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD=90°， ∵CF⊥BD， ∴∠BEF =90°， ∵∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠BFE=90°， ∴∠BFC=∠ADB， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ACB=∠ADB， ∴∠BFC=∠ABC. （2）解：连结CD， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD=90°， ∵∠BFC=∠ABC， ∴BC=CF=6， ∵BD=10， ∴CD=/ ∴cos∠DBC=/，sin∠DBC=/， 在Rt△BCE中，BE=BC·cos∠DBC=6×/=/，CE=BC·sin∠DBC=6×/， ∴/， ∴BF=/，∵con∠ABD=/， 即/ ∴AB=/,∴AF=AB-BF=/
【考点】勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连结AD，由BD是直径可得∠BAD=90°，由CF⊥BD可得∠BEF=90°，可得∠BFC=∠ADB，根据等腰三角形性质和圆周角定理即可证明∠BFC=∠ABC；
（2）连接CD，由BD是直径可得∠BCD=90°，根据（1）的结论可得CF=BC=6，利用勾股定理可求出CD的长，即可得∠DBC的余弦和正弦值，进而可得CE、BE的长，即可得EF的长，利用勾股定理可得BF的长，即可求出∠ABD的余弦值，进而求出AB的长，根据AF=AB-BF即可得答案.
23.已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE=CF，
/
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）若∠ABC=∠EAC，AE=8，求AC的长．
【答案】 （1）证明：∵BE=CF， ∴弧BE=弧CF， ∴∠BAE=∠CAF， ∵AF⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴∠FAC+∠ACD=90°， ∵∠E=∠ACD， ∴∠BAE+∠E=90°， ∴∠ABE=90°， ∴ AE是⊙O的直径 . （2）解：连结OC， / ∴∠AOC=2∠ABC， ∵∠ABC=∠CAE， ∴∠AOC=2∠CAE， ∵OA=OA， ∴∠CAO=∠ACO=/∠AOC， ∴△AOC为等腰直角三角形， ∵AE=8， ∴AO=CO=4， ∴AC=/.
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得∠BAE=∠CAF，由三角形内角和定理和圆周角定理得∠ABE=90°，即AE是⊙O的直径 . （2）连结OC，you圆周角定理得∠AOC=2∠ABC，由等腰三角形性质结合已知条件得∠CAO=∠ACO=/∠AOC，从而可得△AOC为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得AC长.
24.已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
/
（1）求证：∠DAC＝∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；
（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．
【答案】 （1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，
∴∠DAC＝∠DBA；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB＝90°，
∴∠1+∠3＝∠5+∠3＝90°，
∴∠1＝∠5＝∠2，
∴PD＝PA，
∵∠4+∠2＝∠1+∠3＝90°，且∠ADB＝90°，
∴∠3＝∠4，
∴PD＝PF，
∴PA＝PF，即P是线段AF的中点；
（3）解：连接CD，
∵∠CBD＝∠DBA，
∴CD＝AD，
∵CD＝3，∴AD＝3，
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝5，
故⊙O的半径为2.5，
∵DE×AB＝AD×BD，
∴5DE＝3×4，
∴DE＝2.4．
即DE的长为2.4．
/
【考点】圆周角定理，圆的综合题
【解析】【分析】（1）由角的平分线和同弧所对的圆周角相等即可得到∠DAC＝∠DBA； （2）直径所对的圆周角是直角，故∠ADE+∠BDE=90°，∠BDE+∠DBE=90°，根据同角的余角相等可得∠ADE=∠DBE，再结合（1）中结论可得∠ADP=∠DAP，即可得PD=PA，又易得PD=PF，故PA=PF； （3）由弧相等得到弦相等，又∠ADB＝90°，故利用勾股定理可得AB=5，即可求出圆半径，再根据直角三角形的面积不同表达方式可求斜边上的高DE。?
25.我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
/
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“十字形”的有________．
（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，且CB＝CD
①证明：四边形ABCD是“十字形”；
②若AB＝2．∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，求四边形ABCD的面积．
（3）如图2．A、B、C、D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，若∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD．满足AC+BD＝3，求线段OE的取值范围．
【答案】 （1）菱形，正方形 （2）解：①如图1，连接AC，BD
/
∵AB＝AD，且CB＝CD
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是“十字形” ②如图，设AC与BD交于点O / ∵AB=AD，AC⊥BD ∴∠BAO=/∠BAD=30° 同理可证∠BCO=45° 在Rt△ABO中，OB=/AB=1 AO=AB×cos30°=2×/=/ OB=OC=1 ∴AC=AO+CO=1+/， BD=2 ∴ 四边形ABCD的面积=/×AB×BD=/×2×（1+/）=1+/
（3）解：如图2
/
∵∠ADB+∠CBD＝∠ABD+∠CDB，∠CBD＝∠CDB＝∠CAB，
∴∠ADB+∠CAD＝∠ABD+∠CAB，
∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠AEB，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴AC⊥BD，
过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，
∴OA＝OD＝1，OM2＝OA2﹣AM2 ， ON2＝OD2﹣DN2 ， AM＝ /AC，DN＝ /BD，四边形OMEN是矩形，
∴ON＝ME，OE2＝OM2+ME2 ，
∴OE2＝OM2+ON2＝2﹣ /（AC2+BD2）
设AC＝m，则BD＝3﹣m，
∵⊙O的半径为1，AC+BD＝3，
∴1≤m≤2，
OE2＝ /＝ /，
∴ /≤OE2≤ /，
∴ /≤OE≤ /
【考点】垂径定理，几何图形的动态问题，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有菱形、正方形的对角线互相垂直，
故答案为：菱形、正方形
【分析】（1）根据“十字形”的定义：对角线互相垂直的凸四边形，即可得出答案。 （2）①利用线段垂直平分线的判定定理，可证得AC⊥BD，即可证得结论；②根据等腰三角形的性质，可求得∠BAO=30°， ∠BCO=45°，利用解直角三角形求出AO、CO的长，即可得出AC、BD的长，然后利用对角线互相垂直的三角形的面积等于两对角线之积的一半，就可求出四边形ABCD的面积。 （3）根据已知条件结合图形证明AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，再证明四边形OMEN是矩形，可证ON=ME，利用勾股定理可证得 OE2＝＝2﹣ /（AC2+BD2），设AC=m，用含m的代数式表示出BD，然后求出m的取值范围，再列出OE2与m的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，就可求出OE2的取值范围，继而可求出OE的取值范围。
/
