浙教版八上数学第1章《三角形的初步认识》单元培优测试题
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（?? ）
A.?3，4，8???????????????????????????B.?5，6，10???????????????????????????C.?5，5，11???????????????????????????D.?5，6，11
2.下列图形中不具有稳定性的是（?? ）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
3.在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则（??? ）
A.?必有一个内角等于30° B.?必有一个内角等于45°
C.?必有一个内角等于60° D.?必有一个内角等于90°
4.下列命题中，是假命题的是(??? )
A.?两直线平行，则同位角相等 B.?同旁内角互补，则两直线平行 C.?三角形内角和为180° D.?三角形一个外角大于任何一个内角
5.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（ ??）
A.?60°???????????????????????????????????????B.?65°???????????????????????????????????????C.?75°???????????????????????????????????????D.?80°
6.如图，△ACB≌△A'C'B'，∠ACB=70°,∠ACB'=100°,则∠BCA'的度数为（?? ）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?35°???????????????????????????????????????C.?40°???????????????????????????????????????D.?50°
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
7.如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（? ） ?
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
8.如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（?? ）
A.?∠A＝∠D?????????????????????B.?∠ACB＝∠DBC?????????????????????C.?AC＝DB??????????????????????D.?AB＝DC
9.如图BD∥AC,? , BE 平分∠ABD? ,交AC于点E. 若∠A=30o,则∠1的度数为（??? ）
A.?65°???????????????????????????????????????B.?60°???????????????????????????????????????C.?75°???????????????????????????????????????D.?70°
10.如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将∠C沿DE对折，使点C落在ΔABC外的点 处，若∠1=20°，则∠2的度数为(?? )
A.?80°?????????????????????????????????????B.?90°?????????????????????????????????????C.?100°?????????????????????????????????????D.?110°
11.三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个( ??)
A.?形状相同的三角形????????????B.?面积相等的三角形????????????C.?直角三角形????????????D.?周长相等的三角形
12.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长为(?? )
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13. 把命题“同位角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式__ ______.
14.如图，一副三角板△AOC和△BCD如图摆放，则∠AOB=________．
（第14题） （第15题） （第16题）
15.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形?应该带________.依据________
16.如图，在△ABC中， ，DE是AB的垂直平分线，∠BAD:∠CAB=1:3，则∠B＝________．
17.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC＝________．
（第17题） （第18题）
18.如图， △ABC 的面积为 12，BD=2DC，AE=2EC，那么阴影部分的面积是 ________.
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
19.已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF，求证：AB=DE．
20.如图，用尺规作图，并保留作图痕迹，ΔABC中，延长AC到E，使CE=CA，在线段AE与点B相异的一侧作∠CEM=∠A，延长BC交EM于点D，求证：ΔABC≌ΔEDC.
21.如图，已知AD，AE是△ABC的高和角平分线，∠B=44°，C=76°，求∠DAE的度数．
22.如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠EAB＝110°，∠C＝60°，点D在GH上，求∠BDC的度数．
23.如图，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC.求证：EF∥CD.
24.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
25.如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
浙教版八上数学第1章《三角形的初步认识》单元培优测试题
（参考答案）
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.【答案】 B 2.【答案】 D 3.【答案】 D 4.【答案】 D 5.【答案】 D 6.【答案】 C
7.【答案】 B 8.【答案】 C 9.【答案】 C 10.【答案】 C 11.【答案】 B 12.【答案】B
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13.【答案】如果两条直线被第三条直线所截且同位角相等，那么这两条直线平行
14.【答案】 165°
15.【答案】 2；角边角
16.【答案】 22.5°
17.【答案】108°
18.【答案】 2
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
19.【答案】 证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠EDF
而BC∥EF，
∴∠F=∠BCA，
∵AD=CF，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
?，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB=DE．
20.【答案】 解：如图所示即为所求.
证明：在ΔABC和ΔEDC中，∵∠A=∠E，CE=CA，∠ECD=∠CAB，∴ΔABC≌ΔEDC（ASA）.
21.【答案】 解：∵∠B=44°，∠C=76°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC= ∠BAC=30°，
∵AD是高，∠C=76°，
∴∠DAC=90°﹣∠C=14°，
∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=30°﹣14°=16°
22.【答案】 解：∵EF∥GH，
∴∠CBG＝∠EAB，
∵∠EAB＝110°，
∴∠CBG＝110°，
∴∠CBD＝180°﹣∠CBG＝70°，
在△BCD中，∵∠C＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
即：∠BDC的度数为50°
23.【答案】 证明：∵ ∴AD+DF=BF+DF, . ∵ ∥ ∴
又∵ ∴△ ≌△ ( )
∴
∴ ∥
24.【答案】 （1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD,
∴△BDE≌△CDF.
（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，
∴AB=AE+BE=1+2=3.
∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3
25.【答案】（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°- ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
浙教版八上数学第1章《三角形的初步认识》单元培优测试题
（解析版）
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（?? ）
A.?3，4，8???????????????????????????B.?5，6，10???????????????????????????C.?5，5，11???????????????????????????D.?5，6，11
【答案】 B
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.∵3+4＜8，故不能组成三角形，A不符合题意；
B.∵5+6＞10，故能组成三角形，B符合题意；
C.∵5+5＜11，故不能组成三角形，C不符合题意；
D.∵5+6=11，故不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依此即可得出答案.
2.下列图形中不具有稳定性的是（?? ）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
【答案】 D
【考点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：根据三角形具有稳定性可知，在A，B，D三个图中均存在三角形，所以D选项不符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可进行判断。
3.在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则（??? ）
A.?必有一个内角等于30° B.?必有一个内角等于45° C.?必有一个内角等于60° D.?必有一个内角等于90°
【答案】 D
【考点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设△ABC的三个内角分别为A、B、C，依题可得，
A=B-C ①，
又∵A+B+C=180°②，
②-①得：
2B=180°，
∴B=90°，
∴△ABC必有一个内角等于90°.
故答案为：D.
【分析】根据题意列出等式A=B-C①，再由三角形内角和定理得A+B+C=180°②，由②-①可得B=90°，由此即可得出答案.
4.下列命题中，是假命题的是(??? )
A.?两直线平行，则同位角相等 B.?同旁内角互补，则两直线平行 C.?三角形内角和为180° D.?三角形一个外角大于任何一个内角
【答案】 D
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：A、?两直线平行，则同位角相等，是真命题，故A不符合题意; B、同旁内角互补，则两直线平行，，是真命题，故B不符合题意; C、三角形内角和为180°，，是真命题，故C不符合题意; D、三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的的内角,是假命题，故D符合题意; 故答案为内：D
【分析】根据两直线平行，同位角相等，据此判断A；根据同旁内角互补，两直线平行，据此判断B；根据三角形内角和等于180°，据此判断C；根据三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的的内角，据此判断D.
5.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（ ??）
A.?60°???????????????????????????????????????B.?65°???????????????????????????????????????C.?75°???????????????????????????????????????D.?80°
【答案】 D
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，
∵∠BDE=75°，
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，
即x+180°-4x+75°=180°，
解得：x=25°，
∠CDE=180°-4x=80°.
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可的求得x值，再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.
6.如图，△ACB≌△A'C'B'，∠ACB=70°,∠ACB'=100°,则∠BCA'的度数为（?? ）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?35°???????????????????????????????????????C.?40°???????????????????????????????????????D.?50°
【答案】 C
【考点】全等三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ △ACB≌△A'C'B'， ∠ACB=70°， ∴ ∠ACB=∠A′CB′=70°， 又∵ ∠ACB'=100°， ∴ ∠BCB'=∠ACB' -∠ACB=100°-70°=30°， ∴∠BCA′=∠B′CA′-∠B′CB=70°-30°=40°. 故答案为：C. 【分析】根据全等三角形性质得∠ACB=∠A′CB′=70°，由∠BCB'=∠ACB' -∠ACB求得∠BCB'度数，由∠BCA′=∠B′CA′-∠B′CB即可求得答案.
7.如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（? ）
?
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
【答案】 B
【考点】全等三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABE≌△ACF，
∴AC＝AB＝5，
∴EC＝AC﹣AE＝3，
故答案为：B．
【分析】由全等三角形的对应边相等，△ABE≌△ACF，可知AB=AC，AE=AF，即可求得EC的值.
8.如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（?? ）
A.?∠A＝∠D?????????????????????????B.?∠ACB＝∠DBC?????????????????????????C.?AC＝DB?????????????????????????D.?AB＝DC
【答案】 C
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故不符合题意；
B、∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故不符合题意；
C、∠ABC＝∠DCB，AC＝BD，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故符合题意；
D、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】题目中已经给出了 ∠ABC＝∠DCB ，又图形中给出了BC=CB，故要想时这两个三角形全等，只需要添加夹∠ABC与∠DCB 的另一条边对应相等，或任意一组角对应相等即可，从而即可一一判断得出答案。
9.如图BD∥AC,? , BE 平分∠ABD? ,交AC于点E. 若∠A=30o,则∠1的度数为（??? ）
A.?65°???????????????????????????????????????B.?60°???????????????????????????????????????C.?75°???????????????????????????????????????D.?70°
【答案】 C
【考点】角的平分线，平行线的性质，三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵BD∥AC， ∴∠DBE=∠AEB， 又∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE=∠DBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∵∠A=30°，∠A+∠ABE+∠AEB=180°， ∴∠ABE=∠AEB=75°， ∴∠1=75°， 故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质得∠DBE=∠AEB，由角平分线性质得∠ABE=∠DBE，从而可得∠ABE=∠AEB，根据三角形内角和定理即可求得答案.
10.如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将∠C沿DE对折，使点C落在ΔABC外的点 处，若∠1=20°，则∠2的度数为(?? )
A.?80°?????????????????????????????????????B.?90°?????????????????????????????????????C.?100°?????????????????????????????????????D.?110°
【答案】 C
【考点】三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=∠C’ =180°-∠A-∠B=40°，
由翻折变换的性质可得：∠DEC=∠DEC’，
∠DEC+∠DEB=∠DEC+∠DEC’-∠1=180°，
∴∠DEC=100°，
∴∠CDE=∠EDC’=180°-∠C-∠DEC=40°，
∴∠2=180°-∠CDE-∠EDC’=100°.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和及翻折的性质得出∠C=∠C’ =180°-∠A-∠B=40°，∠DEC=∠DEC’，根据平角的定义，由∠DEC+∠DEB=∠DEC+∠DEC’-∠1=180°，得出∠DEC=100°，根据三角形的内角和得出∠CDE=∠EDC’=180°-∠C-∠DEC=40°，最后根据平角的定义，由∠2=180°-∠CDE-∠EDC’即可算出答案。
11.三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个( ??)
A.?形状相同的三角形????????????B.?面积相等的三角形????????????C.?直角三角形????????????D.?周长相等的三角形
【答案】 B
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积
【解析】【解答】三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个面积相等的三角形.
故答案为：B.
【分析】根据等底同高的两个三角形的面积相等可求解。
12.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长为(?? )
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
【答案】B
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠EAF=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABC，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDF中
?，
∴△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=4，
故答案为：B
【分析】根据等角的余角相等由∠AFE=∠BFD，∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，得出∠EAF=∠FBD，根据三角形的内角和得出∠BAD=45°=∠ABC，根据等角对等边得出AD=BD，然后利用ASA判断出△ADC≌△BDF，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论DF=CD=4。
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13. 把命题“同位角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式________.
【答案】 如果两条直线被第三条直线所截且同位角相等，那么这两条直线平行
【考点】命题与定理
【解析】【解答】“同位角相等，两直线平行”的条件是：“同位角相等”，结论为：“两直线平行”，所以写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同位角相等，那么两直线平行”. 【分析】命题是由题设和结论两部分组成，如果后面是题设，那么后面是结论.先找出题设和结论，然后写成“如果…，那么…”的形式即可.
14.如图，一副三角板△AOC和△BCD如图摆放，则∠AOB=________．
【答案】 165°
【考点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠BDC=60°，
∴∠ADO=180°﹣∠BDC=120°，
又∵∠OAD=45°，
∴∠AOB=∠OAD+∠ADO=165°．
故答案为：165°．
【分析】根据题意可知∠BDC=60°，根据邻补角的定义得出∠ADO=120°，然后根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和，由∠AOB=∠OAD+∠ADO算出答案。
15.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形?应该带________.依据________
【答案】 2；角边角
【考点】全等三角形的应用
【解析】【解答】1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的。
故答案为：2.
【分析】由于所配的三角形与原三角形一模一样，故所配的三角形与原三角形全等，根据三角形全等的判定方法，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，从而得出答案。
16.如图，在△ABC中， ，DE是AB的垂直平分线，∠BAD:∠CAB=1:3，则∠B＝________．
【答案】 22.5°
【考点】三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在 中，DE是AB的垂直平分线，
∴ ，即 ，
又∵ ，设 ,
∴ ，
∵ ，
∴ +? ，即 ，
解得： ,
∴ ,
故答案为：22.5°
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AD=BD，根据等边对等角得出∠B=∠DAB，由于 ∠BAD:∠CAB=1:3 ，故设 ,则， 根据直角三角形两锐角互余列出方程，求解算出x的，从而即可得出答案。
17.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC＝________．
【答案】108°
【考点】全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，连接OB、OC， ∵ ，AO为∠BAC的平分线， ? 又∵AB=AC， ? ∵DO是AB的垂直平分线， ∴OA=OB， ? ? ∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC， ∴△AOB≌△AOC(SAS)， ∴OB=OC， ∵将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合， ∴OE=CE， ? 在△OCE中, ? 故答案为：108° 【分析】如图，连接OB、OC，根据角平分线的定义得出∠BAO=∠BAC=×54°=27 °? ，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠ABC=63o,根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出OA=OB，由等边对等角得出∠ABO=∠BAO=27°根据角的和差得出∠OBC=∠ABC?∠ABO=36 °? ，然后利用SAS判断出△AOB≌△AOC，根据全等三角形对应边相等得出OB=OC，根据等边对等角得出OCB=∠OBC=36° ， 根据折叠的性质得出∠COE=∠OCB=36°? ，根据三角形的内角和即可算出答案。
18.如图， △ABC 的面积为 12，BD=2DC，AE=2EC，那么阴影部分的面积是 ________.
【答案】 2
【考点】三角形的面积，二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：连接CF，
∵BD=2DC，AE=2EC，
∴设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y，则△BFD的面积为2x，△AEF的面积为2y，
∵△BEC的面积= S△ABC=4，
∴3x+y=4 ①，
∵△ADC的面积= S△ABC=4，
∴x+3y=4 ②
①+②，可得4x+4y=8.
∴x+y=2.
故答案为：2
【分析】连接CF，根据同高三角形的面积的关系就是底之间的关系，即可设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y，则△BFD的面积为2x，△AEF的面积为2y，△BEC的面积= S△ABC，△ADC的面积= S△ABC，从而即可列出方程3x+y=4 ①，x+3y=4 ②，根据等式的性质，由①+②即可得出答案。
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
19.已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF，求证：AB=DE．
【答案】 证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠EDF
而BC∥EF，
∴∠F=∠BCA，
∵AD=CF，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
?，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据二直线平行，同位角相等得出 ∠A=∠EDF ， ∠F=∠BCA， 由 AD=CF得出 AC=DF， 然后利用AAS判断出 △ABC≌△DEF ，根据全等三角形对应边相等得出AB=DE.
20.如图，用尺规作图，并保留作图痕迹，ΔABC中，延长AC到E，使CE=CA，在线段AE与点B相异的一侧作∠CEM=∠A，延长BC交EM于点D，求证：ΔABC≌ΔEDC.
【答案】 解：如图所示即为所求.
证明：在ΔABC和ΔEDC中，∵∠A=∠E，CE=CA，∠ECD=∠CAB，∴ΔABC≌ΔEDC（ASA）.
【考点】三角形全等的判定，作图—基本作图
【解析】【分析】根据尺规作图中作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角的方法作图即可.由作图可知 ∠A=∠E，CE=CA由对顶角相等可得∠ECD=∠CAB，根据ASA即可判断ΔABC≌ΔEDC .
21.如图，已知AD，AE是△ABC的高和角平分线，∠B=44°，C=76°，求∠DAE的度数．
【答案】 解：∵∠B=44°，∠C=76°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC= ∠BAC=30°，
∵AD是高，∠C=76°，
∴∠DAC=90°﹣∠C=14°，
∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=30°﹣14°=16°
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据三角形的角平分线的定义求出∠EAC的度数；然后根据三角形的高线的定义以及三角形内角和定理求出∠DAC的度数，则∠DAE=∠EAC-∠DAC.
22.如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠EAB＝110°，∠C＝60°，点D在GH上，求∠BDC的度数．
【答案】 解：∵EF∥GH，
∴∠CBG＝∠EAB，
∵∠EAB＝110°，
∴∠CBG＝110°，
∴∠CBD＝180°﹣∠CBG＝70°，
在△BCD中，∵∠C＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
即：∠BDC的度数为50°
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【解析】【分析】根据两直线平行同位角相等可得 ∠CBG＝∠EAB =110°，由平角定义可得∠CBD＝180°﹣∠CBG＝70° ， 在△BCD中 ，利用三角形内角和即可求出∠BDC的度数 .
23.如图，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC.求证：EF∥CD.
【答案】 证明：∵ ∴AD+DF=BF+DF, . ∵ ∥ ∴
又∵ ∴△ ≌△ ( )
∴
∴ ∥
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等式的性质，由 得出AF=BD，根据二直线平行，内错角相等得出∠A=∠B，从而利用SAS判断出 △ ≌△ ，根据全等三角形对应角相等得出∠AFE=∠BDC，根据内错角相等，二直线平行得出 EF∥CD.
24.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
【答案】 （1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD,
∴△BDE≌△CDF.
（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，
∴AB=AE+BE=1+2=3.
∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3
【考点】三角形的角平分线、中线和高，直角三角形全等的判定，全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由于 ，D为BC的中点，平行得角相等，中点得线段相等，很容易证三角形全等。（2）因为D为BC的中点，AD⊥BC，根据中垂线性质知，AB=AC，又根据三角形全等的性质定理知，BE=FC，则AB的长可求，AC的长即求。
25.如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
【答案】（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°- ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可知 ∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA ，利用三角形内角和定理可得∠FAC+∠FCA =90°- ∠B，利用三角形的外角可得∠EFA=∠FAC+∠FCA，即得证。 （2）求证线段相等，很容易想到构造全等三角形进行证明，利用角平分线的性质能找出FG=FH=FM，结合（1）中已证易得∠EFH=∠DFG，再利用AAS定理即可证明。
