1.3二次函数的性质
教材分析
在日常生活，参加生产和进一步学习的需要看，有关函数的知识是非常重要的。例如在讨论社会问题、经济问题时越来越多地运用数学的思想方法，函数的内容在其中有相当的地位，二次函数更是重中之重。而在本节课之前，学生已学习了二次函数的概念和二次函数y=ax、y=ax+h、y=a(x-h) （a≠0）的图象和性质。因此本课的教学是在学生学过二次函数知识的基础上，运用图象变换的观点把二次函数y=ax2的图象经过一定的平移变换，而得到二次函数y=a(x-h) +k (h≠0，k≠0)的图象。从特殊到一般，最终得到二次函数 y=ax +bx+c的性质。这样不仅符合学生的认知规律，而且还使学生进一步体会了数形结合的思想方法，培养了学生的创造性思维的能力和动手实践能力，突出体现了辩证唯物主义观点.
教学目标
【知识与能力目标】
1、掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式.
2、能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性.
3、能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质.
体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力.
【情感态度价值观目标】
培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度.
教学重难点
【教学重点】
二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质
【教学难点】
利用图像观察性质
课前准备
教师准备：课件，投影仪，多媒体，三角板
学生准备：练习本，方格纸，三角板
教学过程
一、复习
1.函数 y=ax2+bx+c基本性质回顾：
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，
顶点坐标为： 对称轴为：
2.观察二次函数的图象：
(1)找最高点和最低点；
(2)确定自变量增大时，y的变化.
二、小结
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
三、例题探究
例1：已知函数y=－0.5x2－7x＋7.5
(1)求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点 坐标，并画出函数的大致图像；
⑵自变量x在什么范围内时，y随x 的增大而增大？何时y 随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。
(3)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积?
（4）根据图象，说 出 x 取哪些值时，
① y=0; ② y<0; ③ y>0.
例2：已知函数y=x2－3x－4.
⑴求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大致图像；
⑵记当x1=3.5,x2=- ， ,x3= 时对应的函数值分别为y1,y2,y3,试比较y1,y2,y3的大小?
四、课内练习
1、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值：
⑴ y=2x2－8x＋1；
⑵ y=－3x2－5x＋1
2、二次函数y=x2＋bx+9的图象顶点在y轴上，那么b等于多少？
想一想：
方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的解与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的坐标有什么关系？
归纳与探究：
①当b2 －4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
②当b2 －4ac =0时，抛物线与x轴只有一个交点；
③当b2 －4ac＜0时，抛物线与x轴无交点。
例、根据下列条件求二次函数的解析式：
（1）函数图像经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-2）
（2） 函数图像的顶点坐标是（2，4）且经过点（0，1）
（3）函数图像的对称轴是直线x=3,且图像经过点（1，0）和（5，0）
说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件.一般来说：任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标（或对称轴或最值）及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷.
例、已知函数y= x2 -2x -3 ,
（1）把它写成的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？
（2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；
（3）求出图象与坐标轴的交点坐标；
（4）画出函数图象的草图；
(5)设图像交x轴于A、B两点，交y 轴于P点，求△APB的面积；
（6）根据图象草图，说出 x取哪些值时， ① y=0; ② y<0; ③ y>0.
说明：（1）对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；
（2）利用函数图像判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图像，要使y<0;，其对应的图像应在x轴的下方，自变量x就有相应的取值范围.
例、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则：
a 0; b 0;c 0; 0.
说明：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数a、b、c、的关系 ：
系数的符号
图像特征
a的符号
a>0.
抛物线开口向
a<0
抛物线开口向
b的符号
b>0.
抛物线对称轴在y 轴的 侧
b=0
抛物线对称轴是 轴
b<0
抛物线对称轴在y 轴的 侧
c的符号
c>0.
抛物线与y轴交于
C=0
抛物线与y轴交于
c<0
抛物线与y轴交于
的符号
>0.
抛物线与x 轴有 个交点
=0
抛物线与x 轴有 个交点
<0
抛物线与x 轴有 个交点
三、小结本节课你学到了什么？
四、补充作业题：已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、 3个 D、4个
课件20张PPT。1.3二次函数的性质函数 y=ax2+bx+c基本性质回顾二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，观察下列二次函数图像：顶点在图像的位置有什么特点？顶点是抛物线上的最高点（或最低点）问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？你还能发现：
这些函数是否存在最大值或最小值，它是由解析式y=ax2+bx+c（a≠0）中的那一个系数决定的吗？a１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下,y随着x的增大而减小.
, y随着x的增大而增大. ,y随着x的增大而增大.
, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：小结：例题探究解：（1）∵a=－0.5,b=－7,c=7.5;所以函数y=－0.5x2－7x＋7.5的大致图像如图：⑵自变量x在什么范围内时，y随x 的增大而增大？何时y 随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。解： ⑵由右图可知，
当x≤－7时， y随x 的增大而增大；当x≥－7 时，y 随x的增大而减小；当x＝－7时，函数有最大值32。(3)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积?（4）根据图象，说 出 x 取哪些值时，
① y=0; ② y<0; ③ y>0.当-15＜x＜1时当x=-15或x=1时当x＜-15或x ＞ 1时已知函数y=x2－3x－4.
⑴求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大致图像；解：∵ y=x2－3x－4 ＝(x－1.5)2－6.25,
∴图象顶点坐标为(1.5, －6.25);又当y=0时，
得x2－3x－4＝0的解为：
x1＝－1，x2＝4。
则与x轴的交点为(－1,0)和(4,0) 与y轴的交点为(0, －4)⑵如右图可知:
y2＞ y1 ＞ y3课内练习2、二次函数y=x2＋bx+9的图象顶点在y轴上，那么b等于多少？x想一想 如果二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴的两个交点的
坐标为 （ x1，0 ）和（ x2 ，0）方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的解与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的坐标有什么关系？那么x1和 x2 恰好是方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的两个根方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的解就是
函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的 坐标。横可以发现：二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的 存在性与 方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的解是否存在有关。归纳与探究那么，进一步推想方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)解的存在性又与什么有关呢？b2 －4ac的正负性有关。故而：
①当b2 －4ac 时，抛物线与x轴有 交点；②当b2 －4ac 时，抛物线与x轴只有 交点；③当b2 －4ac 时，抛物线与x轴 交点。＞0 两个＝0 一个＜0 没有⑴ y=2X２-X-1 ⑵ y=4X2+4X+1 ⑶ y=3X2+2X+51、抛物线与x轴的交点的个数：2个1个0个b2- 4ac﹥0b2- 4ac=0b2- 4ac<02、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个D体验“学数学”二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则
a__0，b__0，c__0 2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个Dx-110y1、抛物线y=ax2+bx (a≠0)的顶点在第二象限，则a__0，b__0. 2、二次函数y=ax2+bx ，当a＞0，b＜0时，它的图象经过____________象限。 已知抛物线y=x2-2x +m的函数值恒大于零，求m的取值范围. 大家应该很好的利用二次函数图像给我们的启迪，来解决诸多问题！已知某抛物线的对称轴是直线x=1，该抛物线上最低点的纵坐标是 -1，且抛物线经过（0，1），求该抛物线的解析式.拓展与实践⑴球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；⑵球在运动中离地面的最大高度。解: ⑴设函数解析式为:
y=a(x－2.5)2+k,根据题意，得：则：a=－0.2,k=3.5∴解析式为:y=－0.2x2+x+2.25,
自变量x的取值范围为：0≤x≤4.⑵球在运动中离地面的最大高度
为3.5米。篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为x=2.5。求：一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线。 （1）求铅球所经过的路线的函数解析式和自变量取值范围。 （2）铅球的落地点离运动员有多远？y(m)再 见
