3.5圆周角
教材分析
本课是在学生学习了圆的基本概念和圆心角概念及性质的基础上对圆周角定理的探索。圆周角定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了同弧（或等弧）所对圆周角之间以及圆周角与圆心角之间的数量关系，它既是前面所学知识的继续，又是后面研究圆与其它平面图形（圆内接四边形等）的桥梁和纽带。本课从具体的问题情境出发，引导学生经历猜想、探索、推理验证的过程，有机渗透“由特殊到一般”思想、 “分类”思想、“化归”思想。因此无论在知识上，还是方法上，本节课都起着十分重要的作用。
教学目标
【知识与能力目标】
理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并会运用它进行论证和计算。
【过程与方法目标】
经历圆周角定理的证明，使学生了解分类证明命题的思想和方法，体会类比、分类的教学方法.
【情感态度价值观目标】
通过学生主动探索圆周角定理及其推论，合作交流的学习过程，体验实现自身价值的愉悦及数学的应用价值。
教学重难点
【教学重点】
圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.
【教学难点】
发现并证明圆周角定理.
课前准备
教师准备：圆规，三角尺，PPT课件，多媒体
学生准备：圆规，三角尺，练习本
教学过程
一.复习引入
1.什么是圆心角
2.如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？
二、认识圆周角
1．观察∠ACB、∠ADB、∠AEB，这样的角有什么特点？
2．给出定义，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.(注意两点：1.角的顶点在圆上;2.角的两边都与圆相交，二者缺一不可.)
3.辩一辩，图中的∠CDE是圆周角吗？引导学生识别，加深对圆周角的了解.
4.圆周角与圆心角的联系和区别是什么？
三、探究圆周角的性质
1.在下图中，同弧所对的圆周角有哪几个？观察并测量这几个角，你有什么发现？大胆说出你的猜想. 同弧所对的圆心角是哪个角？观察并测量这个角，比较同弧所对的圆周角你有什么发现呢？大胆说出你的猜出想.
2.由学生总结发现规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半，教师再利用几何画板从动态的角度进行演示， 验证学生的发现.
3.结论：
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）.
90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
四、证明圆周角定理及推论
1.问题：在圆上任取一个圆周角，观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况？
2.学生自己画出同一条弧的圆心角和圆周角， 将他们画的图归纳起来， 共有三种情况：①圆心在圆周角的一边上; ②圆心在圆周角的内部; ③圆心在圆周角的外部.如下图
3.问题：在第一种情况中，如何证明上面探究中所发现的结论呢？另外两种情况如何证明呢？
4.怎样利用有上结论证明我们的第一个猜想：圆弧所对的圆周角相等？(利用圆弧所对的圆心角相等)
5.以上结论同圆改成等圆，同弧改成等弧结论还成立吗？为什么？
6.总结出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
7.将上面定理中的“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，结论还成立吗？
8．在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？
总结推论1：同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等.（也是圆周角定理的逆定理，要通过圆心角来转换）
9．如图所示图中，∠AOB=180°则∠C等于多少度呢？从中你发现了什么？（推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.可用圆周角定理说明.）
五、应用迁移，巩固提高
例1.如图，AB为⊙O的直径， ∠A=80°，求∠ABC的度数.
例2.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.
课后练习：
1、试找出图中所有相等的圆周角.
2、右图是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么简捷的办法？
3、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.
练习1
1.求图中x的度数.
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________
练习2：如图，P是△ABC的外接圆上的一点，∠APC=∠CPB=60°.求证：△ABC是等边三角形.
练习3：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E，:求证：
六. 小结：本节课你认识了什么？掌握了哪些定理？有什么收获？
一个概念
一个定理
二个推论
课件21张PPT。3.5 圆周角一、回顾 如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？ 顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角. 究竟什么样的角是圆周角呢？ 像图（3）中的角就是圆周角，而图（1）、（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角. 二、认识圆周角 如何判断一个角是不是圆周角 ？ 顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角 .练习:指出下图中的圆周角.
思考： ×√×××√ 如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B）， 那 么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？ 三、探索半圆或直径所对的圆周角的度数
∴ △AOC、△BOC都是等腰三角形∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝ 180° ∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝ ＝90° 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90° 证明：因为OA＝OB＝OC， 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）. 反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径.结论： 三、探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系 1、分别量一量图23.1.10中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的
度数有没有变化. 你发
现其中有什么规律吗？ ?
2、分别量出图23.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？ 为了验证这个猜想，如图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C， 这时可能出现三种情况: （1） 折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部.定理的证明
（1）圆心在∠BAC的一边上.
由于OA=OC因此∠C=∠BAC而∠BOC=∠BAC+∠C所以∠BAC= ∠BOC（2）圆心在∠BAC的内部.D作直径AD.由于∠BAD= ∠BOD12∠DAC= ∠DOC，12所以∠BAD+∠DAC=
（∠BOD+∠DOC）12即∠BAC= ∠BOC12（3）圆心在∠BAC的外部.D作直径AD.由于∠DAB= ∠DOB12∠DAC= ∠DOC，12所以∠DAC-∠DAB= （∠DOC-∠DOB）12即∠BAC= ∠BOC12结论： 在同一个圆或等圆中 ，同弧或等弧 所对的圆周角相等， 都等于该弧或等弧所对的 圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧也相等. ∠ACB= ； ∠ADB= ；
∠ =∠ . 如图：则有ACBADB例1 如图，AB为⊙O的直径， ∠A=80°，求∠ABC的度数.ABO解：∵AB为⊙O的直径
∴∠C=90°，
又∠A=80°
∴ ∠B=10 °例2.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∠ACB= ∠AOB12∠BAC= ∠BOC12∠AOC=2∠BOC∠ACB=2∠BAC课后练习1、试找出图中所有相等的圆周角. 3、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角
分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，
求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数. 2、右图是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么简捷的办法？
练习一：2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___.1.求圆中角x的度数.3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________35°120°130°25°练习二：如图，P是△ABC的外接圆上的一点∠APC=∠CPB=60°.求证：△ABC是等边三角形.证明：∵∠ABC和∠APC
都是 ⌒ 所对的圆周角. AC∴∠ABC=∠APC=60°(同弧所对的圆周角相等）同理，∵∠BAC和∠CPB都是 ⌒ 所对的圆周角，BC ∴∠BAC=∠CPB=60°.∴△ABC等边三角形.练习三已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E，
求证：⌒ ⌒BD = DE证明：连结AD.∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）.
(1)一个概念（圆周角）
内容小结：(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；(3)二个推论： 半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径. 同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等.谢 谢
