3.3垂径定理
教材分析
本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。
教学目标
【知识与能力目标】
1.通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；
2.掌握垂径定理，理解其探索和证明过程；
3.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.
【过程与方法目标】
在研究过程中，进一步体验“实验—归纳—猜想—证明”的方法；在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决.
【情感态度价值观目标】
通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.
教学重难点
【教学重点】
使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论.
【教学难点】
对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理.
课前准备
教师准备：圆规，三角尺，PPT课件，多媒体
学生准备：圆规，三角尺，练习本
教学过程
一、温故知新
1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？
2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？
二、新课
思考：
活动：探究圆的轴对称性.如图（1），若将⊙O沿直径AB对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片
亲自实验，教师引导学生努力发现：
1.圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴.
2.如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
3、引入新知：如图（2），左图中AB是⊙O的弦，直径CD与弦AB相交，那么沿直径CD所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB,垂足为E.此时再沿直径CD所在直线折叠，图形可以重合吗？（重合，说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容.
猜想，证明，形成垂径定理
1、提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？
2、猜想：可能出现的位置关系是：
线段AE和线段BE重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合.
可能出现的数量关系是：
3、证明：
利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等，利用圆的对称性证明对应弧相等.板书：
4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
（二）分析垂径定理的条件和结论
1、再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象.
2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理本质的了解.
练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？
3、引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直线或线段.
（三）例题
例1 已知：如图（3），在⊙O中，弦AB的长为8cm，
圆心O到AB的距离为3cm.
求：⊙O的半径.
变式（1）：如图（3），在⊙O中，圆心O到弦AB的距离
为3cm，⊙O的半径为5cm.
求：弦AB的长为多少？
4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是___
总结：在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决.
例:1：在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽AB=600mm，求油的最大深度.
练习：
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C、D两点.
求证:AC=BD.
3、已知：⊙O中弦AB∥CD.
求证：
解决问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m， 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
三、小结
1、这节课我们学习了哪些主要内容？
2、应用垂径定理要注意那些问题？
3、解决问题的思路是什么？
课件26张PPT。3.3 垂径定理1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？圆是中心对称图形，圆心是对称中心一、温故而知新如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活 动 一（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2） 线段： AE=BE几何语言表达下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是不是深化：·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BE思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？如图:AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM垂径定理的推论连接OA，OB，则OA=OB.在△OAM和△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，AM=BM∴△OAM≌△OBM.∴∠AMO= ∠ BMO.∴CD⊥AB∵⊙O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（1）
（4）
（5）（2）
（3）（1）
（5）（2）
（3）
（4）讨论（1）
（3）（2）
（4）
（5）（1）
（4）（2）
（3）
（5）（1）过圆心（2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧（3）
（5）（3）
（4）（1）
（2）
（5）（2）
（4）（1）
（3）
（5）（2）
（5）（1）
（3）
（4）（1）
（2）
（4）（4）
（5）（1）
（2）
（3）每条推论如何用语言表示？（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
（4） …（5）… （6）…
（7）… （8）… （9）…九条推论根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论结论一、判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
的两条弧分别三等分 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是 .8cm1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm，
那么圆心O到弦AB的距离是 .2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 .二、填空：4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16，CD=12，则AB、CD间的
距离是___ .2cm或14cmEEFED油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm).(1) 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽AB=600mm，求油的最大深度.OE=125(mm)解：如图， △ABC的三个顶点在⊙O上，OE⊥AB于E，OF ⊥AC于F.
求证：EF∥BC，EF=练习∟∟∵OE⊥AB ∴E为AB的中点
∵OF ⊥AC ∴ F为AC的中点
∴EF为三角形ABC的中位线1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE再来！你行吗？2：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
AE－CE＝BE－DE.
所以，AC＝BDE只需从圆心作一条与弦垂直的线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.3、已知：⊙O中弦AB∥CD.
求证：AC＝BD⌒⌒夹在两条平行弦间的弧相等.你能用一句话概括这个结论吗？小结: 解决有关弦的问题，经常需要过圆心作弦的垂线、作垂直于弦的直径、连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.C问题 ：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m， 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 解决问题解得：R≈27．9（m）解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即 R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2实践应用7.218.7体会.分享说出你这节课的收获和体验，让大家与你一起分享！！！圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理:在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题 .根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论六、知识盘点谢 谢
