4.5相似三角形的性质及其应用
教材分析
本节课是初中浙教版九年级上册“相似形”这章的重点内容之一，是在学完相似三角形的定义及判定的基础上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究。它是全等三角形性质的拓展，也是研究相似多边形的基础，这些性质是解决有关实际问题的重要工具。
教学目标
【知识与能力目标】
经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。利用相似三角形的性质解决一些实际问题.
【过程与方法目标】
培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.
【情感态度价值观目标】
在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性.
教学重难点
【教学重点】
相似三角形的性质定理.
【教学难点】
相似三角形性质定理的应用．
课前准备
教师准备：课件、多媒体；
学生准备：课本，练习本，三角板；
教学过程
一、导入新课
在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例。那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.
二、新课学习
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A/B/C/，CD和C/D/分别是它们的立柱。
试写出△ABC与△A/B/C/的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
△ACD与△A/C/D/相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？
［生］解：（1）===
（2）△ACD∽△A′C′D′
∵
∴
∵
∴△ACD∽△A′C′D′（两个角分别相等的两个三角形相似）
∴===
（3）∵=，CD=1.5cm
∴C/D/=3cm
（4）相似三角形对应高的比等于相似比
目的：通过学生熟悉的建筑模型房入手，激发学生学习兴趣，层层设问，引发学生思维层层递进，从相似三角形的最基本性质展开研究.使学生明确相似比与对应高的比的关系.
效果：通过层层设问，引导学生剥开问题的表面看到了相似三角形的性质：对应高的比等于相似比.
第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比
过渡语：
刚才我们利用相似的判定与基本性质得到了相似三角形中一种特殊线段的关系，即对应高的比等于相似比，相似三角形中除了高是特殊线段，还有哪些特殊线段？它们也具有特殊关系吗？下面让我们一起探究:
内容：探究活动二：（投影片）
如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD平分∠BAC，A/D/平分∠B/A/C/；E、E/分别为BC、B/C/的中点。试探究AD与 A/D/的比值关系，AE与A/E/呢？
要求：类比探究，小组合作，至少证明其中一个结论.
［生1］解：∵△ABC∽△A′B′C′
∴ ∠B=∠B′=k
∵AD平分∠BAC，A/D/平分∠B/A/C/
∴
∴△BAD∽△B/A/D/（两个角分别相等的两个三角形相似）
∴===k
［生2］解：∵△ABC∽△A′B′C′
∴ ∠B=∠B′==k
∵E、E/分别为BC、B/C/的中点
∴
∴=
∵==k
∴==k
∵∠B=∠B′
∴△BAE∽△B/A/E/（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴===k
小结：由此可知相似三角形还有以下性质.
相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
目的：通过学生小组合作探究，类比前面探究过程，引发学生主动探究意识、培养合作交流能力，发展学生的类比的思维能力，与归纳总结能力.
效果：学生通过合作探究，可以发现相似三角形中对应角平分线、对应中线的比等于相似比.
内容：探究活动三：（投影片）
过渡语：我们已经得到了相似三角形中特殊线段的关系，如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、…n等分线，对应边的三等分线、四等分线、…n等分线，那么它们也具有特殊关系吗？下面请同学们独立探索以下问题：
如图，已知△ABC∽△，△ABC和△的相似比为k.
(1)若∠BAD= ∠BAC， ，则等于多少？
(2) 若BE=BC， ，则等于多少？
（3）你能得到哪些结论？
［生1］（1）解：∵△ABC∽△A′B′C′
∴ ∠B=∠B′=k
∵
∴
∴△BAD∽△B/A/D/（两个角分别相等的两个三角形相似）
∴===k
［生2］（2）解：∵△ABC∽△A′B′C′
∴ ∠B=∠B′==k
∵
∴=
∵==k
∴==k
∵∠B=∠B′
∴△BAE∽△B/A/E/（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴===k
［生3］（3）相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比等于相似比.
目的：有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探索过程中，发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思考的思维品质.
效果：学生能够很顺利地完成探究活动，并能够通过类比的思想总结出相关结论.
结论总结
本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。
能够总结出运用类比数学思想方法解决问题。
四、课堂练习
两个相似三角形中一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，求这两个三角形的相似比。在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3cm，那么较长的中线多长？
五、板书设计
4.5相似三角形的性质及其应用
1.相似三角形的性质定理1
2.相似三角形的性质定理2
3.相似三星将的性质定理3
3.相似定理的应用
4. 例题讲解
课件21张PPT。4.5相似三角形的性质及其应用1.什么叫做相似三角形？2. 你还有几种方法判定两个三角形是相似三角形？三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫相似三角形.（定义可以做为判定方法哦！！）（1）两角分别相等的两个三角形相似.
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
（3）三边成比例的两个三角形相似.3. 相似三角形有哪些性质？对应角相等，对应边成比例导入新课情境问题在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD和C’D’分别是它们的立柱。(1)试写出△ABC与△A’B’C’的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
(2)△ACD与△A’C’D’相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
(3)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱C’D’有多高？新课学习 已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'相似比为k.
（1）如果CD和C‘D’分别是它们的对应高, 那么 等于多少?请证明。探索新知：结论：相似三角形对应高的比等于相似比.探索新知：12结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比. （3）如果CD和C’D’分别是它们的对应中线, 那么 等于多少呢?请证明。结论：相似三角形对应中线的比等于相似比.ABCDB'A'D'C'定理：相似三角形对应高的比,
对应角平分线的比，
对应中线的比都等于相似比.相似三角形的性质：议一议如图,已知△ABC∽△A’B’C’，△ABC与△A’B’C’
相似比为k.点E在BC上，点D’,E’在B’C’边上.
(1)若∠BAD= ∠BAC, ∠B’A’D’= ∠B’A’C’,
则 等于多少？ABCDA’B’C’D’(2）若BE= BC，B’E’= B’C’,则 等于多少?ABCEA’B’C’E’（3）若∠BAD= ∠BAC, ∠B’A’D’= ∠B’A’C’呢？
（4）若BE= BC，B’E’= B’C’呢?
新课学习 例1：已知△ABC∽ △A′B ′C ′，BD和B ′D ′分别是△ABC和△A′B′C′中线，且AB＝10，A′B′＝2，BD＝6。求B′D′的长。
解：∵ △ABC∽△A′B′C′∴ ＝＝ B′D′＝1.2答：B′D′的长为1.2。 例2：已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和 △DEF的角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长。解：∵ △ABC∽△DEF ∴ BC∶EF＝BG∶EH6∶4＝4.8∶EHEH＝3.2(cm)答：EH的长为3.2cm。如图, AD是△ABC的高, 点P,Q在BC边上，点S、R分别在AB、AC上. BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?解决问题(2)求正方形PQRS的边长. 解：（1）∵四边形PQRS是正方形
∴ RS∥BC
∴ ∠ASR=∠B，∠ARS=∠C
∴ △ASR∽△ABC.
(两角分别相等的两个三角形相似)（2）∵ △ASR∽△ABC.
∴
设正方形PQRS的边长为xcm,
则AE=(40-x)cm,解得,x=24.
所以正方形PQRS的边长为24cm.(相似三角形对应高的比等于相似比)x千变万化对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
相
似
三
角
形都等于相似比.结论总结3 .如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠A=30 °，
CD⊥AB于点D，则Rt △BCD与 Rt△ABC斜边上
的中线之比为（ ） 1:2 B 1:3
C. 1:4 D 1:5A课堂练习4、△ABC∽△A‘B’C‘，BD和B’D‘是它们的对应中线，
已知 ，B'D'=4cm，求BD的长. 解：∵ △ABC∽△A'B'C′，
BD和B'D'是它们的对应中线 （相似三角形对应中线的比等于相似比）板书设计1.相似三角形的的性质
2.例题讲解谢 谢
