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圆周角定理与三角形
班级__________ 姓名__________ 得分_________
一、选择题
1． 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，则CD的长为（ ）
A．2 B．1 C． D．4
【答案】A
【解析】∵∠A＝15°，∴∠BOC＝2∠A＝30°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE＝OC＝1，∴CD＝2CE＝2．
2． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【答案】D
二、填空题
3． 如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连结OB，OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为__________．
【答案】4
【解析】过点O作OD⊥BC于D，则BC＝2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC＝2∠A，∠BOC＋∠A＝180°，
∴∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝×(180°－120°)＝30°，
∴BD＝OB·cos∠OBC＝4×＝2，
∴BC＝4．
4． 如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连结CA，CB，DC，DB．已知∠D＝30°，BC＝3，则AB的长是__________．
【答案】6
5． 等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为__________．
【答案】30°或110°
【解析】如答图，当点P在直线AB的右侧时，连结AP，
∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵AB＝BA，AC＝BP，BC＝AP，
∴△ABC≌△BAP，
∴∠ABP＝∠BAC＝40°，
∴∠PBC＝∠ABC－∠ABP＝30°．
当点P′在AB的左侧时，同法可得∠ABP′＝40°，
∴∠P′BC＝40°＋70°＝110°，
故答案为30°或110°．
6． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE＝，则BD的长为__________．
【答案】2
【解析】如答图，延长BA，CE交于点M．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠CAM＝90°，∠BEC＝∠BEM＝90°，
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACM，
∴△ABD≌△ACM，
∴BD＝CM，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBM＝∠EBC，
∵BE＝BE，∠BEC＝∠BEM，
∴△BEC≌△BEM，
∴EC＝EM，
∴BD＝CM＝2CE＝2．
三、解答题
7． 如图，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，半径为5．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
【答案】解：（1）如答图①所示；
（2）如答图②，连结OE，OC，EC，由（1）知AE为∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴＝，根据垂径定理知OE⊥BC，则DE＝3．
∵OE＝OC＝5，
∴OD＝OE－DE＝2．
在Rt△ODC中，
DC＝＝＝，
在Rt△DEC中，
CE＝＝＝，
∴弦CE的长为．
8． 如图，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝2 cm．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求⊙O的周长．
【答案】解：（1）∠BAC＝60°，（2）⊙O的周长为4π cm．
9． 在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．
（1）如图①，∠E的度数为__________；
（2）如图②，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
（3）如图③，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．
【答案】解：（1）如答图，连结OD，OC，BD．
∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，∴∠DBC＝30°，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠E＝90°－30°＝60°．
（2）补全图形如答图，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC，则∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，∴∠DAC＝30°，
∵∠DAC＋∠DBC＝360°－90°－90°＝180°，
∴∠DBC＝150°，∴∠EBD＝180°－∠DBC＝30°，
∵∠ADB＝90°，∴∠BDE＝90°，
∴∠E＝90°－30°＝60°；
（3）如答图，连结OD，OC，BD．
∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，∴∠CBD＝30°，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BED＝60°，∴∠AEC＝60°．
10．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∴∠AEP＝∠ABP＝45°，
∵PE是直径，
∴∠PAB＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴AP＝AE，
∴△PAE是等腰直角三角形．
（2）∵AC＝AB．AP＝AE，∠CAB＝∠PAE＝90°，
∴∠CAP＝∠BAE，
∴△CAP≌△BAE，
∴∠ACP＝∠ABE＝45°，PC＝EB，
∴∠PBE＝∠ABC＋∠ABE＝90°，
∴PB2＋PC2＝PB2＋BE2＝PE2＝22＝4．
A
B
C
D
O
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圆周角定理与三角形
班级__________ 姓名__________ 得分_________
一、选择题
1． 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，则CD的长为（ ）
A．2 B．1 C． D．4
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第6题图
2． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
二、填空题
3． 如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连结OB，OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为__________．
4． 如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连结CA，CB，DC，DB．已知∠D＝30°，BC＝3，则AB的长是__________．
5． 等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为__________．
6． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE＝，则BD的长为__________．
三、解答题
7． 如图，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，半径为5．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
8． 如图，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝2 cm．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求⊙O的周长．
9． 在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．
（1）如图①，∠E的度数为__________；
（2）如图②，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
（3）如图③，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．
10．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．
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圆周角定理之巧构辅助线
班级__________ 姓名__________ 得分_________
一、选择题
1． 如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（ ）
A．68° B．88° C．90° D．112°
【答案】B
【解析】如答图，以A为圆心，AB为半径画圆，则点C，D都在圆上，
∵∠CBD＝2∠BDC，
∴＝2，
∵∠BAC＝44°，
∴∠CAD＝2∠BAC＝88°．故选B．
2． 如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
【答案】D
【解析】如答图，连结OB，
∵∠AOC＝140°，点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝70°．
∵∠AOB是所对的圆心角，∠D是所对的圆周角，
∴∠D＝∠AOB＝35°．故选D．
3． 如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的大小为（ ）
A．28° B．56° C．60° D．62°
【答案】D
二、填空题
4． 如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40°，∠C＝20°，则∠B＝__________°．
【答案】60
【解析】解：如答图，连结OA，
则OA＝OC＝OB，
∴∠C＝∠OAC，∠OAB＝∠B，
故∠B＝∠OAB＝∠OAC＋∠BAC＝∠C＋∠BAC＝20°＋40°＝60°．
5． 如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF等于__________．
【答案】20°
【解析】连结OF，则∠FOD＝∠EOD＝40°．又OC＝OF，∴∠FCD＝∠FOD＝20°．
6． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2cm，则⊙O的半径为__________cm．
【答案】2
三、解答题
7． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB＝α，∠C＝β．
（1）当α＝35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
【答案】解：（1）如图，连结OB，则OA＝OB．
∵∠OAB＝35°，∴∠OBA＝∠OAB＝35°，
∴∠AOB＝180°－35°－35°＝110°，∴β＝∠C＝∠AOB＝55°．
（2）α与β之间的关系是α＋β＝90°．
证明：∵∠OBA＝∠OAB＝α，∴∠AOB＝180°－2α．
∵β＝∠C＝∠AOB，∴β＝(180°－2α)＝90°－α，∴α＋β＝90°．
8． 如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．
【答案】（1）证明：∵∠APC＝60°，∠APC＝∠ABC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形．
（2）如图，连结OB，OC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°．
∵OB⊥OC，OD⊥BC，
∴∠BOD＝∠BOC＝60°，
∴∠OBD＝90°－∠BOD＝30°，
∴OD＝OB＝×8＝4．
9． 如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点（不与点A，B重合），连结CO并延长CO交⊙O于点D，连结AD．
（1）弦长AB＝__________（结果保留根号）；
（2）当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．
【答案】解：2，
（2）解法一：∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，
∴∠BOD＝∠B＋∠BCO，∠BCO＝∠A＋∠D，
∴∠BOD＝∠B＋∠A＋∠D．
又∵∠BOD＝2∠A，∠B＝30°，∠D＝20°，
∴2∠A＝∠B＋∠A＋∠D＝∠A＋50°，∴∠A＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°．
解法二：如图，连结OA．
∵OA＝OB，OA＝OD，
∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D，
∴∠DAB＝∠BAO＋∠DAO＝∠B＋∠D．
又∵∠B＝30°，∠D＝20°，
∴∠DAB＝50°，
∴∠BOD＝2∠DAB＝100°．
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圆周角定理之巧构辅助线
班级__________ 姓名__________ 得分_________
一、选择题
1． 如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（ ）
A．68° B．88° C．90° D．112°
第1题图 第2题图 第3题图
2． 如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
3． 如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的大小为（ ）
A．28° B．56° C．60° D．62°
二、填空题
4． 如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40°，∠C＝20°，则∠B＝__________°．
第4题图 第5题图 第6题图
5． 如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF等于__________．
6． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2cm，则⊙O的半径为__________cm．
三、解答题
7． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB＝α，∠C＝β．
（1）当α＝35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
8． 如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．
9． 如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点（不与点A，B重合），连结CO并延长CO交⊙O于点D，连结AD．
（1）弦长AB＝__________（结果保留根号）；
（2）当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．
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