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圆之共圆问题
班级__________ 姓名__________ 得分_________
一、选择题
1． 下列命题中，正确的有（ ）
①过两点可以作无数个圆；
②经过三点一定可以作圆；
③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
2． 平面上不共线的四个点，可以确定圆的个数为（ ）
A．1个或3个 B．3个或4个
C．1个或3个或4个 D．1个或2个或3个或4个
【答案】C
【解析】（1）当四个点中有三个点在同一条直线上，另外一个点不在这条直线上时，可以确定三个圆；（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定四个圆；（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆，故选C．
3． 平面内有五个点A，B，C，D，E，直线AB与直线CD正好相交于E，在这五个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
二、解答题
4． 平面内有4个点，它们不在一条直线上，但有3个点在同一条直线上援过其中3个点作圆，可以作出几个圆？请说明理由，并作出示意图．
【答案】解：可以作3个圆，根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”．三个圆分别是过点A，B，D；A，C，D和B，C，D如图．
5． 如图，在△ABC中，BD，CE是两条高线．求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
【答案】证明：如答图，
取BC的中点O，连结EO，DO，
则EO，DO是Rt△BEC，Rt△BDC斜边上的中线，
∴EO＝DO＝BO＝CO＝BC，
∴B，C，D，E四点在同一个圆上．
6． 如图，在△ABC中，点D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
【答案】证明：如答图，
∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠1＝∠2．
∵DE∥AC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE．
∵BD⊥AD于点D，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EBD＋∠1＝∠EDB＋∠3＝90°，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴AE＝BE＝DE，
∴点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
7． 如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF．
（1）证明：AB＝AC；
（2）证明：A，B，C三点在以O点为圆心的圆上．
【答案】证明：（1）∵AE⊥EF，EF∥BC，
∴AD⊥BC．
在△ABD和△ACD中，
∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴AB＝AC．
（2）连结BO，由（1）得AD是BC的中垂线，
∴BO＝CO．
又AO＝CO，
∴AO＝BO＝CO．
∴A，B，C三点在以O点为圆心的圆上．
8． 已知A，B，C三点．根据下列条件，说明A，B，C三点能否确定一个圆．如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由．
（1）AB＝2＋1，BC＝4，AC＝2－1；
（2）AB＝AC＝10，BC＝12．
【答案】解：（1）∵2＋1＋2－1＝4，
∴AB＋AC＝BC，
∴A，B，C三点共线，
∴A，B，C三点不能确定一个圆；
（2）∵10＋10＝20＞12，
∴A，B，C三点不共线，
∴A，B，C三点能确定一个圆．
如答图，过点A作AD⊥BC，设AD上的点O为圆心，连结BO，
∵BC＝12，∴DB＝6，
∵AB＝10，
∴AD＝＝8，
在Rt△BOD中，设OB＝x，则DO＝8－x，
由勾股定理，得x2－62＝(8－x)2，解得x＝．
∴A，B，C三点能确定一个圆，该圆的半径为．
9． 已知平面直角坐标系中的三个点A(1，－1)，B(－2，5)，C(4，－6)，判断过A，B，C这三个点能否确定一个圆，并说明理由．
【答案】解：能．理由：
设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)．
把A(1，－1)，B(－2，5)代入，
得解得
∴直线AB的表达式为y＝－2x＋1，
当x＝4时，y＝－2x＋1＝－8＋1＝－7，
∴点C(4，－6)不在直线AB上，即点A，B，C不共线，
∴过A，B，C这三个点能确定一个圆．
10．如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝53，BC＝8，CD＝6，AD＝5，试判断点A，B，C，D是否在同一个圆上，并证明你的结论．
【答案】解：点A，B，C，D在同一个圆上．
证明：连结BD．
在Rt△ABD中，BD＝＝10．
在△BCD中，
∵82＋62＝102，即BC2＋CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形．
取BD的中点O，
∴OB＝OC＝OA＝OD＝BD．
∴点A，B，C，D在以BD为直径的圆上．
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班级__________ 姓名__________ 得分_________
一、选择题
1． 下列命题中，正确的有（ ）
①过两点可以作无数个圆；
②经过三点一定可以作圆；
③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2． 平面上不共线的四个点，可以确定圆的个数为（ ）
A．1个或3个 B．3个或4个
C．1个或3个或4个 D．1个或2个或3个或4个
3． 平面内有五个点A，B，C，D，E，直线AB与直线CD正好相交于E，在这五个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
4． 平面内有4个点，它们不在一条直线上，但有3个点在同一条直线上援过其中3个点作圆，可以作出几个圆？请说明理由，并作出示意图．
5． 如图，在△ABC中，BD，CE是两条高线．求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
6． 如图，在△ABC中，点D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
7． 如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF．
（1）证明：AB＝AC；
（2）证明：A，B，C三点在以O点为圆心的圆上．
8． 已知A，B，C三点．根据下列条件，说明A，B，C三点能否确定一个圆．如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由．
（1）AB＝2＋1，BC＝4，AC＝2－1；
（2）AB＝AC＝10，BC＝12．
9． 已知平面直角坐标系中的三个点A(1，－1)，B(－2，5)，C(4，－6)，判断过A，B，C这三个点能否确定一个圆，并说明理由．
10．如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝53，BC＝8，CD＝6，AD＝5，试判断点A，B，C，D是否在同一个圆上，并证明你的结论．
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