1.2 命题与证明
一．选择题
1.下列语句中，属于定义的是(D)
A． 两点确定一条直线
B． 两直线平行，同位角相等
C． 等角的余角相等
D． 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
2.下列命题正确的是(D)
A． 若a＞b，b＜c，则a＞c B． 若a＞b，则ac＞bc
C． 若a＞b，则ac2＞bc2 D． 若ac2＞bc2，则a＞b
3.命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设是(D)
A． 垂直 B． 两条直线
C． 同一条直线 D． 两条直线垂直于同一条直线
4.某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5人．”对于甲、乙两人的说法，有下列命题，其中是真命题的是(B)
A． 若甲对，则乙对 B． 若乙对，则甲对
C． 若乙错，则甲错 D． 若甲错，则乙对
5.下列命题是假命题的是(C)
A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形的内角和等于180°
C．等边三角形旋转180°后能与本身重合 D．三角形的中线能平分三角形的面积
6.观察下列命题：（1）如果a＜0，b＞0，那么a+b＜0； （2）同角的补角相等；
（3）同位角相等；（4）如果a2＞b2，那么a＞b；（5）有公共顶点且相等的两个角是对等角．
其中真命题的个数是（ A ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7.在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时,甲认为:这不是命题,因为这句话是错误的.乙认为:这是命题,因为它作出了判断,只不过这一判断是错误的,所以它是假命题,你认为（B ）说法是正确的。
A.甲正确 B.乙正确 C.甲乙都正确 D.甲乙都不正确
8. 下列说法正确的是（?D?）?
A．命题一定是正确的??????????? ? B．不正确的判断就不是命题?
C．真命题都是公理?????????????? D．定理都是真命题
9. 下列命题中，属于假命题的是（A??）?
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c?????? ? B．若a∥b，b∥c，则a∥c?????
C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b??????? D．若a⊥c，b∥a，则b⊥c
10.下列语句中，属于命题的是(C)
A． 直线AB与CD垂直吗 B． 过线段AB的中点作AB的垂线
C． 同位角不相等，两直线不平行 D． 连结A，B两点
11.下列命题是真命题的是(A)
A． 互余的两个角之和是90° B． 同角的余角互余
C． 等底的两个三角形面积相等 D． 相等的角是直角
12.能说明命题“对于任何实数a，|a|>－a”是假命题的一个反例可以是(A)
A． a＝－2 B． a＝ C． a＝1 D． a＝
二．填空题
1．已知∠A=（x-20）°，∠B=（80-3x）°，若∠A、∠B的两边分别平行且方向相同，则x=______25°__．
2．在△ABC中，∠A+∠B=110°，∠C=2∠A，则∠A=__30°____，∠B=__80°_____．
3.定义两种新变换：①f(a，b)＝(a，－b)，如f(1，2)＝(1，－2)；②g(a，b)＝(b，a)，
如g(1，2)＝(2，1)．据此得g(f(5，－6))＝(6，5)．
4.已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；②若a2≠b2，则a≠b；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．其中原命题与逆命题均为真命题的序号是___③④___．
5.如图所示，CD⊥AB，垂足为D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB，垂足为E，且∠CDG=∠BFE，∠AGD=80°，求∠BCA的度数．80°
/ / /
第5题 第6题 第7题
6.如图所示，AB∥CD，那么∠1+∠2+∠3+∠4=_540°___．（规律（n-1）180°）
7.如图1所示，△ABC中，D，E分别是AC，BD上的点，且∠A=65°，∠ABD=∠DCE=30°，则∠BEC的度数是____125°_____．
三．解答题
1.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD∥BC，则AD平分∠EAC．请用推理的方法说明它是真命题．
/
【解】 ∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C．
又∵∠B＝∠C，∴∠EAD＝∠CAD，∴AD平分∠EAC．
∴该命题是真命题．
2.如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC＝25°．
/
(1)∠1＝25°，∠2＝155°．
(2)请观察∠1，∠2与∠ABC分别有怎样的关系，并由此归纳一个真命题．
【解】 (2)∠1＝∠ABC，∠2＋∠ABC＝180°．真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
3. 对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列5个判断：①a∥b,②b∥c③a⊥b④a∥c⑤a⊥c,请以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题（至少写三个命题）
【解析】对于同一平面内的三条直线,
⑴如果①a∥b；②b∥c,那么④a∥c.
⑵如果③a⊥b；⑤a⊥c,那么②b∥c.
⑶如果②b∥c；⑤a⊥c,那么③a⊥b.
4.如图，定义：直线l1与l2交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为p，q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，求“距离坐标”是(1，2)的点的个数．
/
【解】 “距离坐标”是(1，2)的点表示的含义是该点到直线l1，l2的距离分别为1，2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1或a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1或b2上，它们有4个交点，即为如解图所示的点M1，M2，M3，M4．故满足条件的点的个数为4．
5．(1)如图，将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1，∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系，并说明理由．
(2)若折成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠A与∠2，∠A与∠1之间的关系式，并说明理由．
(3)若折成图④，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式，并说明理由．
(4)若折成图⑤，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式，并说明理由．
/
【解】 /(1)∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：如解图①，延长BE，CD交于点P，连结AP.
由折叠的性质知：∠DAE＝∠DPE.
由三角形的外角性质知：∠1＝∠EAP＋∠EPA，∠2＝∠DAP＋∠DPA，
∴∠1＋∠2＝∠DAE＋∠DPE＝2∠D/AE，即∠1＋∠2＝2∠A.
(2)图②中∠2＝2∠A.理由如下：如解图②，延长BE，CD交于点P.
由三角形的外角性质知：∠2＝∠DPE＋∠DAE＝2∠DAE，即∠2＝2∠A.
/
/
图③中∠1＝2∠A.理由如下：
如解图③，延长BE，CD交于点P.
由三角形的外角性质知：∠1＝∠EAP＋∠P＝2∠EAP，即∠1＝2∠A.
(3)∠2－∠1＝2∠A.理由如下：/
如解图④，延长BE，CD交于点P，连结AP.
由三角形的外角性质知：∠2＝∠3＋∠P，∠3＝∠1＋∠A，即∠2＝∠P＋∠1＋∠A＝2∠A＋∠1，∴∠2－∠1＝2∠A.
(4)∠1－∠2＝2∠A.理由如下：
如解图⑤，延长BE，CD交于点P.
由三角形的外角性质知：∠3＝∠A＋∠2，∠1＝∠3＋∠P，
即∠1＝∠A＋∠2＋∠P＝2∠A＋∠2，
∴∠1－∠2＝2∠A.
/
1.2 命题与证明
一．选择题
1.下列语句中，属于定义的是( )
A． 两点确定一条直线
B． 两直线平行，同位角相等
C． 等角的余角相等
D． 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
2.下列命题正确的是( )
A． 若a＞b，b＜c，则a＞c B． 若a＞b，则ac＞bc
C． 若a＞b，则ac2＞bc2 D． 若ac2＞bc2，则a＞b
3.命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设是( )
A． 垂直 B． 两条直线
C． 同一条直线 D． 两条直线垂直于同一条直线
4.某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5人．”对于甲、乙两人的说法，有下列命题，其中是真命题的是( )
A． 若甲对，则乙对 B． 若乙对，则甲对
C． 若乙错，则甲错 D． 若甲错，则乙对
5.下列命题是假命题的是( )
A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形的内角和等于180°
C．等边三角形旋转180°后能与本身重合 D．三角形的中线能平分三角形的面积
6.观察下列命题：（1）如果a＜0，b＞0，那么a+b＜0； （2）同角的补角相等；
（3）同位角相等；（4）如果a2＞b2，那么a＞b；（5）有公共顶点且相等的两个角是对等角．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7.在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时,甲认为:这不是命题,因为这句话是错误的.乙认为:这是命题,因为它作出了判断,只不过这一判断是错误的,所以它是假命题,你认为（ ）说法是正确的。
A.甲正确 B.乙正确 C.甲乙都正确 D.甲乙都不正确
8. 下列说法正确的是（? ?）?
A．命题一定是正确的??????????? ? B．不正确的判断就不是命题?
C．真命题都是公理?????????????? D．定理都是真命题
9. 下列命题中，属于假命题的是（ ??）?
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c?????? ? B．若a∥b，b∥c，则a∥c?????
C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b??????? D．若a⊥c，b∥a，则b⊥c
10.下列语句中，属于命题的是( )
A． 直线AB与CD垂直吗 B． 过线段AB的中点作AB的垂线
C． 同位角不相等，两直线不平行 D． 连结A，B两点
11.下列命题是真命题的是( )
A． 互余的两个角之和是90° B． 同角的余角互余
C． 等底的两个三角形面积相等 D． 相等的角是直角
12.能说明命题“对于任何实数a，|a|>－a”是假命题的一个反例可以是( )
A． a＝－2 B． a＝ C． a＝1 D． a＝
二．填空题
1．已知∠A=（x-20）°，∠B=（80-3x）°，若∠A、∠B的两边分别平行且方向相同，则x=________．
2．在△ABC中，∠A+∠B=110°，∠C=2∠A，则∠A=__ ____，∠B=__ ___．
3.定义两种新变换：①f(a，b)＝(a，－b)，如f(1，2)＝(1，－2)；②g(a，b)＝(b，a)，
如g(1，2)＝(2，1)．据此得g(f(5，－6))＝ ．
4.已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；②若a2≠b2，则a≠b；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．其中原命题与逆命题均为真命题的序号是______．
5.如图所示，CD⊥AB，垂足为D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB，垂足为E，且∠CDG=∠BFE，∠AGD=80°，求∠BCA的度数．________
/ / /
第5题 第6题 第7题
6.如图所示，AB∥CD，那么∠1+∠2+∠3+∠4=_________．（规律（n-1）180°）
7.如图1所示，△ABC中，D，E分别是AC，BD上的点，且∠A=65°，∠ABD=∠DCE=30°，则∠BEC的度数是_________．
三．解答题
1.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD∥BC，则AD平分∠EAC．请用推理的方法说明它是真命题．
2.如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC＝25°．
(1)∠1＝ ，∠2＝ ．
(2)请观察∠1，∠2与∠ABC分别有怎样的关系，并由此归纳一个真命题．
3. 对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列5个判断：①a∥b,②b∥c③a⊥b④a∥c⑤a⊥c,请以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题（至少写三个命题）
4.如图，定义：直线l1与l2交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为p，q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，求“距离坐标”是(1，2)的点的个数．
．
5．(1)如图，将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1，∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系，并说明理由．
(2)若折成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠A与∠2，∠A与∠1之间的关系式，并说明理由．
(3)若折成图④，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式，并说明理由．
(4)若折成图⑤，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式，并说明理由．
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