1.1.2认识三角形 教案

1.1.2三角形的角平分线、中线、高线
教学目标
1、了解三角形的角平分线、中线、高线的概念。
2、会利用量角器、刻度尺画三角形的角平分线、中线和高线。
3、会利用三角形的角平分线、中线和高线的概念，解决有关角度、面积计算等问题。
教学重点
三角形的角平分线、中线和高线的概念
教学难点
三角形的角平分线、中线和高线的概念、三角形内角的性质等多方面知识的综合应用
教学过程
回顾旧知
怎样才能得到一个角的平分线?
用量角器或折纸的办法
（角平分线的概念：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角。这条射线叫做这个角的平分线。）
如图，记作
∠AOC=∠BOC= ∠AOB.
探究新知
探究一 三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。如图，∠BAC的平分线交BC于点D，线段AD就是△ABC的一条角平分线。
几何语言表述：∵ AD是 △ ABC的 角平分线 A
∴∠ BAD = ∠CAD = ∠BAC B C
或∠BAC=2∠BAD = 2∠CAD
任意剪一个三角形，用折叠的方法，画出这个三角形的三条角平分线。你发现了什么？
三角形的三条角平分线交于同一点.
思考：三角形的角平分线与角的平分线有什么区别与联系？
区别：三角形的角平分线是一条线段；角的角平分线是一条射线。
联系：三角形的角平分线仍具有角平分线的基本性质.
探究二
动手：任意画一个三角形，用刻度尺画出BC的中点D，连接AD.

在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做
这个三角形的中线.
几何语言表述：∵AD是△ ABC的 中线
∴BD =CD = BC 或 BC = 2BD = 2DC
思考: 一个三角形有几条中线?有什么特点？
特点：（1）三角形的中线是一条线段；
（2）三角形的中线的一端平分这条边.
任意剪一个三角形，用折叠的方法，找出三条边的中点，画出三条中线。你发现了什么？
三角形中线总结：
①任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交与一点。
②三角形的中线是一条线段。
③三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。
探究三 三角形的高线的概念
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
顶点到对边所在直线的距离
几何语言表述：
∵ AD ⊥ BC
∴ AD就是△ ABC的BC边上的高线。
动手画：
（1）用三角尺分别作出锐角三角形ABC，直角三角形DEF和钝角三角形PQR的各边上的高
（2）观察你所作的图形，比较这三个三角形中三条高线的位置与三角形的类型有什么关系？
高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
条数 3 3 3
位置 都在三角形内部 直角边上的高分别与另一条直角边重合，还有一条高在三角形内部 夹钝角两边上的高在三角形外部，另一条高在内部
垂足 在相应顶点的对边上 ①是直角的顶点 ②在斜边上 ①在相应顶点的对边的延长线上 ②在钝角的对边上
交点 在三角形内部 在直角顶点 在三角形外部
图形

归纳：锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，且相交于一点。
直角三角形斜边上的高线在三角形的内部，一条直角边上的高线是另一条直角边，三条高线相交于直角顶点。
钝角三角形钝角对边上的高在三角形的内部，另两条边上的高均在三角形的外部，三条高线的延长线也相交于一点。
三、例题讲解

三角形的角平分线、中线、高线的综合应用
知识点1 三角形的角平分线
例1　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝2∠B，CD是角平分线，求∠CDB的度数．
分析：先由∠ACB＝90°，∠A＝2∠B以及三角形内角和的性质求出∠A、∠B的度数，再根据CD是角平分线可以求出∠DCB的度数，最后再利用内角和为180°即可求出∠CDB.
解：∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，且∠ACB＝90°∴∠A＋∠B＝90°
∵∠A＝2∠B 　
∴∠B＝30°
∵CD是角平分线
∴∠DCB＝45°
∴∠CDB＝180°－∠DCB－∠B＝180°－45°－30°＝105°
注意点：在求解此类问题时，往往会同时运用“角平分线的性质”以及“三角形的内角和为180°”这两个结论．
知识点2 三角形的中线
例2　如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，BC＝8cm，求AC的长．

分析：由三角形中线的概念可知AM＝MB，同时观察图形可得MC为△BCM与△ACM的公共边，即它们的周长差为BC－AC.
解：∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm
∴BC＋CM＋BM－(AC＋CM＋AM)＝2cm
又∵CM是△ABC的中线，
∴AM＝MB
∴BC－AC＝2cm　
又∵BC＝8cm　
∴AC＝6cm.
注意点：解题时要利用三角形中线的性质，有时如果没有图形的话要注意可能有两种情况．
知识点3 三角形的高线
例3　如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，∠B＝36°，∠BAC＝86°，求∠DAE的度数．

分析：因为∠DAE＝∠BAD－∠BAE，所以只要计算∠BAD和∠BAE的度数．由AE平分∠BAC可知∠BAE是∠BAC的一半，由AD是BC边上的高线，可知∠BAD和∠B互余．
解：∵AE平分∠BAC，∠BAC＝86°，

∴∠BAE＝∠BAC＝43°
∵AD是BC边上的高线　 ∴∠ADB＝90°
∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－36°＝54°
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝54°－43°＝11°
注意点：高线、角平分线结合的问题要注意综合利用它们的性质求解，还应注意三角形内角和180°的合理使用．
四、课堂小结
1、三角形的角平分线、中线、高线的概念
2、利用量角器、刻度尺画三角形的角平分线、中线、高线
3、利用三角形的角平分线、中线、高线的概念解决有关角度、面积计算等问题。
五、布置作业
1、在ΔABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长.

D




变式训练：如上图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，已知BC=9厘米，AC=6厘米，求△BCD和△ACD的周长的差。
2、如图，AD是△ABC的中线，DF⊥AB,DE⊥AB,E,F分别是垂足。已知AB=2AC,求DE与DF的长度之比。





变式训练：若线段DF,DE分别平分∠ADB和∠ADC，求∠BAC的度数。


3、如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC，交AC于点F，已知∠AFE=64°，求∠FEC的度数。