第1章 有理数单元测试卷（含解析）

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浙教新版七年级上学期《第1章 有理数》单元测试卷
一．选择题（共10小题，3*10=30）
1．下列各组数中，互为相反数是（　　）
A．2和﹣ B．2和﹣2 C．2和 D．﹣2和﹣
2．若|a|＝3，则a的值为（　　）
A．3 B．﹣3
C．3或﹣3 D．以上答案都不对
3．绝对值小于4的所有整数的和是（　　）
A．4 B．8 C．0 D．1
4．我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”意思是今有两数其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向北走两步记作+2步，那么向南走5步记作（　　）
A．+5步 B．﹣5步 C．﹣3步 D．﹣2步
5．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，不正确的是（　　）

A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C． D．|a|＜|b|
6．在数轴上，与原点的距离是2个单位长度的点所表示的数是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
7．在有理数﹣（﹣1），﹣2，0，﹣|﹣3|，﹣（﹣5），﹣a中，一定是负数的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．下列说法中正确的有（　　）
（1）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；
（2）符号相反的数互为相反数；
（3）正数、负数和零统称为有理数；
（4）一个有理数的绝对值必为正数；
（5）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．当|x﹣1|+2取最小值时，x的值是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
10．已知三个数a+b+c＝0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．的相反数是　 　．
12．在2，﹣3，﹣4，﹣5这四个数中，任取3个数进行乘法运算，所得最大的积是　 　．
13．比较大小：﹣2　 　﹣2.2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
14．数轴上表示﹣3的点与表示7的点之间的距离是　 　．
15．点A，B，C在同一条数轴上，且点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5．若BC＝2AC，则点C表示的数为　 　．
16．如果5x+3与﹣2x+9是互为相反数，则x﹣2的值是　 　．
17．若|3x﹣2|与|y﹣1|互为相反数，则xy＝　 　．
18．如图表示数在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p、q、r、s．若|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，则|q﹣r|的值是　 　．

三．解答题（共6小题，46分）
19．（6分）将下列各数填在相应的集合里，﹣0.8，﹣28%，7.8，﹣5，48，0，，6.5．
整数集合：{　 　}；
分数集合：{　 　}；
正数集合：{　 　}
负数集合：{　 　}；
正整数集合{　 　}；
有理数集合{　 　}
20．（6分）为了加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车在学校旁边的一条东西方向的公路上执行治安巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程（单位：千米）为：
+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，﹣2
（1）此时，这辆巡逻车司机如何向警务处描述他现在的位置？
（2）已知每千米耗油0.25升，如果警务处命令其巡逻车马上返回出发点，这次巡逻共耗油多少升？


21．（6分）已知a＝﹣|5|，b＝+1，c＝﹣（﹣2），d＝﹣|﹣6|，求下列各式的值：
（1）a﹣b+c﹣d；
（2）a﹣（b﹣c）+d．






22．（8分）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b|







23．（8分）计算：已知|x|＝3，|y|＝2，
（1）当xy＜0时，求x+y的值
（2）求x﹣y的最大值










24．（12分）（1）【问题发现】
数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x＝的值．
小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．”
解：①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x＝+＝1+1＝2；
②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，无论谁正谁负，x都等于0；
③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x＝+＝﹣1﹣1＝﹣2；
综上，当a，b均不为零，求x的值为﹣2，0，2．
（2）【拓展探究】
若a，b，c均不为零，求x＝+﹣的值．
（3）【问题解决】
若a，b，c均不为零，且a+b+c＝0，直接写出代数式++的值．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各组数中，互为相反数是（　　）
A．2和﹣ B．2和﹣2 C．2和 D．﹣2和﹣
【分析】直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，分别分析得出答案．
【解答】解：A、2和﹣，不符合相反数的定义，故此选项错误；
B、2和﹣2，符合相反数的定义，故此选项正确；
C、2和，不符合相反数的定义，故此选项错误；
D、﹣2和﹣，不符合相反数的定义，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．若|a|＝3，则a的值为（　　）
A．3 B．﹣3
C．3或﹣3 D．以上答案都不对
【分析】根据绝对值解答即可．
【解答】解：因为|a|＝3，
所以a＝3或﹣3，
故选：C．
【点评】此题考查绝对值，关键是根据绝对值的定义解答．
3．绝对值小于4的所有整数的和是（　　）
A．4 B．8 C．0 D．1
【分析】首先根据有理数大小比较的方法，判断出绝对值小于4的所有整数有哪些；然后把它们相加即可．
【解答】解：绝对值小于4的所有整数有：﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3，
它们的和是：
（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3＝0．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
4．我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”意思是今有两数其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向北走两步记作+2步，那么向南走5步记作（　　）
A．+5步 B．﹣5步 C．﹣3步 D．﹣2步
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：∵向北走5步记作+5步，
∴向南走5步记作﹣5步．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
5．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，不正确的是（　　）

A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C． D．|a|＜|b|
【分析】根据数轴反映的基本信息，对两数的和、差、商及绝对值逐一判断．
【解答】解：观察数轴可知，a＜0＜b，|a|＞|b|，
A、异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，a+b＜0，故本选项结论正确；
B、因为a小b大，a﹣b＜0，故本选项结论正确；
C、因为a、b异号，所以＜0，故本选项结论正确；
D、观察数轴可知|a|＞|b|，故本选项结论错误．
故选：D．
【点评】考查了数轴，绝对值．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
6．在数轴上，与原点的距离是2个单位长度的点所表示的数是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【分析】与原点距离是2的点有两个，是±2．
【解答】解：与原点距离是2的点有两个，是±2．
故选：C．
【点评】本题考查数轴的知识点，有两个答案．
7．在有理数﹣（﹣1），﹣2，0，﹣|﹣3|，﹣（﹣5），﹣a中，一定是负数的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】先将这些数化简，然后根据负数就是小于0的数，依据定义即可求解．
【解答】解：﹣（﹣1）＝1，﹣2，0，﹣|﹣3|＝﹣3，﹣（﹣5）＝5，﹣a中，
一定是负数的是﹣2，﹣3，
故选：A．
【点评】此题考查了正数与负数，判断一个数是正数还是负数，要把它化简成最后形式再判断．
8．下列说法中正确的有（　　）
（1）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；
（2）符号相反的数互为相反数；
（3）正数、负数和零统称为有理数；
（4）一个有理数的绝对值必为正数；
（5）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据绝对值的意义，可判断（1）（4）；根据相反数的意义，可判断（2）；根据有理数的意义，可判断（3）；根据有理数与数轴的关系，可判断（5）．
【解答】解：（1）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远是正确的；
（2）只有符号相反的数互为相反数，原来的说法是错误的；
（3）正有理数、负有理数和零统称为有理数，原来的说法是错误的；
（4）一个有理数的绝对值必为非负数，原来的说法是错误的；
（5）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示是正确的．
故说法中正确的有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数，任何数的绝对值都是非负数．
9．当|x﹣1|+2取最小值时，x的值是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．
【解答】解：当|x﹣1|+2取最小值时，则x﹣1＝0，
解得：x＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确把握绝对值的性质是解题关键．
10．已知三个数a+b+c＝0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据a+b+c＝0可判断三个数中一定有一个正数和一个负数，讨论：若第三个数为负数，根据绝对值的意义得到两负数表示的点到原点的距离等于正数到原点的距离；若第三个数为正数，则两正数表示的点到原点的距离等于负数到原点的距离，然后利用此特征对各选项进行判断．
【解答】解：已知a+b+c＝0，
A．由数轴可知，a＞0＞b＞c，当|a|＝|b|+|c|时，满足条件．
B．由数轴可知，a＞b＞0＞c，当|c|＝|a|+|b|时，满足条件．
C．由数轴可知，a＞c＞0＞b，当|b|＝|a|+|c|时，满足条件．
D．由数轴可知，a＞0＞b＞c，且|a|＜|b|+|c|时，所以不可能满足条件．
故选：D．
【点评】考查了数轴．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
二．填空题（共8小题）
11．的相反数是　﹣　．
【分析】根据绝对值和相反数的定义解答即可．
【解答】解：的相反数是﹣，
故答案为：﹣
【点评】此题考查绝对值和相反数，关键是根据绝对值和相反数的定义解答．
12．在2，﹣3，﹣4，﹣5这四个数中，任取3个数进行乘法运算，所得最大的积是　40　．
【分析】依据有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：当三个因数分别为2，﹣4，﹣5时，积最大．
所以最大的积＝2×（﹣4）×（﹣5）＝40．
故答案为40
【点评】本题主要考查的是有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
13．比较大小：﹣2　＜　﹣2.2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：﹣2＜﹣2.2．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
14．数轴上表示﹣3的点与表示7的点之间的距离是　10　．
【分析】数轴上两点间的距离，即两点对应的数的差的绝对值．
【解答】解：数轴上表示﹣3的点与表示7的点之间的距离是7﹣（﹣3）＝10．
故答案为：10．
【点评】此题考查了数轴上两点间的距离的求法．
15．点A，B，C在同一条数轴上，且点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5．若BC＝2AC，则点C表示的数为　﹣7或1　．
【分析】AB＝6，分点C在A左边和点C在线段AB上两种情况来解答．
【解答】解：AB＝5﹣（﹣1）＝6
C在A左边时，∵BC＝2AC
∴AB+AC＝2AC
∴AC＝6
此时点C表示的数为﹣1﹣6＝﹣7；
C在线段AB上时，∵BC＝2AC
∴AB﹣AC＝2AC
∴AC＝2
此时点C表示的数为﹣1+2＝1，
故答案为：﹣7或1．
【点评】本题考查了数轴及两点间的距离；本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
16．如果5x+3与﹣2x+9是互为相反数，则x﹣2的值是　﹣6　．
【分析】根据互为相反数的两数之和为0可得关于x的方程，解出即可得出x的值，继而得出x﹣2的值．
【解答】解：由题意得：5x+3+（﹣2x+9）＝0，
解得：x＝﹣4，
∴x﹣2＝﹣6．
故填﹣6．
【点评】本题考查相反数的知识，掌握互为相反数的两数之和为0是关键．
17．若|3x﹣2|与|y﹣1|互为相反数，则xy＝　　．
【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，代入所求式子计算即可求出值．
【解答】解：∵|3x﹣2|+|y﹣1|＝0，
∴x＝，y＝1，
所以xy＝，
故答案为：
【点评】此题考查非负数的性质，关键是利用非负数的性质求出x与y的值．
18．如图表示数在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p、q、r、s．若|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，则|q﹣r|的值是　7　．

【分析】根据数轴可知p＜q＜r＜s，根据绝对值的性质得：p﹣r＝﹣10，p﹣s＝﹣12，q﹣s＝﹣9，所以q﹣r＝﹣7，根据绝对值的性质，得出|q﹣r|的值．
【解答】解：根据数轴可得，p＜q＜r＜s，
∵|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，
∴p﹣r＝﹣10，p﹣s＝﹣12，q﹣s＝﹣9，
∴p＝r﹣10，p＝s﹣12，
∴r﹣10＝s﹣12，
∴s＝r+2，
∴q﹣s＝q﹣r﹣2＝﹣9，
∴q﹣r＝﹣7，
∴|q﹣r|＝7．
故答案为7．
【点评】本题考查数轴和绝对值性质．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，将式子化简，即可求解．
三．解答题（共6小题）
19．将下列各数填在相应的集合里，﹣0.8，﹣28%，7.8，﹣5，48，0，，6.5．
整数集合：{　﹣5，48，0　}；
分数集合：{　﹣0.8，﹣28%，7.8，，6.5　}；
正数集合：{　7.8，48，，6.5　}
负数集合：{　﹣0.8，﹣28%，﹣5　}；
正整数集合{　48　}；
有理数集合{　﹣0.8，﹣28%，7.8，﹣5，48，0，，6.5　}
【分析】根据分母为1的数是整数，可得整数集合；根据小于零的数是负数，可得负数集合；根据大或等于零的整数是非负整数，可的非负整数集合，根据小于零的分数是负分数，可得负分数集合，根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得有理数集合．
【解答】解：整数集合：{﹣5，48，0}；
分数集合：{﹣0.8，﹣28%，7.8，，6.5}；
正数集合：{ 7.8，48，，6.5}
负数集合：{﹣0.8，﹣28%，﹣5}；
正整数集合{48}；
有理数集合{﹣0.8，﹣28%，7.8，﹣5，48，0，，6.5}，
故答案为：﹣5，48，0；﹣0.8，﹣28%，7.8，，6.5；7.8，48，，6.5；﹣0.8，﹣28%，﹣5；48；﹣0.8，﹣28%，7.8，﹣5，48，0，，6.5．
【点评】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键．
20．为了加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车在学校旁边的一条东西方向的公路上执行治安巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程（单位：千米）为：
+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，﹣2
（1）此时，这辆巡逻车司机如何向警务处描述他现在的位置？
（2）已知每千米耗油0.25升，如果警务处命令其巡逻车马上返回出发点，这次巡逻共耗油多少升？
【分析】（1）求出这些数的和，即可得出答案；
（2）求出这些数的绝对值的和，再乘以0.25升即可．
【解答】解：（1）根据题意得：+2+（﹣3）+2+1+（﹣2）+（﹣1）+（﹣2）＝﹣3．
由此时巡边车出发地的西边3km处．

（2）依题意得：
0.25×（|+2|+|﹣3|+|+2|+|+1|+|﹣2|+|﹣1|+|﹣2|+|﹣3|）＝0.25×16＝4，
答：这次巡逻共耗油4升．
【点评】本题考查了正数和负数，能根据题意列出算式是解此题的关键．
21．已知a＝﹣|5|，b＝+1，c＝﹣（﹣2），d＝﹣|﹣6|，求下列各式的值：
（1）a﹣b+c﹣d；
（2）a﹣（b﹣c）+d．
【分析】（1）直接利用绝对值的性质分别化简，进而代入求出答案；
（2）直接利用绝对值的性质分别化简，进而代入求出答案．
【解答】解：a＝﹣|5|＝﹣5，b＝+1＝1，c＝﹣（﹣2）＝2，d＝﹣|﹣6|＝﹣6，
（1）a﹣b+c﹣d
＝﹣5﹣1+2﹣（﹣6）
＝2；

（2）a﹣（b﹣c）+d
＝﹣5﹣（1﹣2）﹣6
＝﹣10．
【点评】此题主要考查了绝对值以及相反数，正确化简各数是解题关键．
22．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b|

【分析】先根据数轴上各点的位置确定2a、a+c、1﹣b、﹣a﹣b的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：∵a、c在原点的左侧，a＜﹣1，
∴a＜0，c＜0，
∴2a＜0，a+c＜0，
∵0＜b＜1，
∴1﹣b＞0，
∵a＜﹣1，
∴﹣a﹣b＞0
∴原式＝﹣2a+（a+c）﹣（1﹣b）+（﹣a﹣b）
＝﹣2a+a+c﹣1+b﹣a﹣b
＝﹣2a+c﹣1．
故答案为：﹣2a+c﹣1．
【点评】本题考查的是绝对值的性质及数轴的特点，根据数轴上各点的位置对2a、a+c、1﹣b、﹣a﹣b的符号作出判断是解答此题的关键．
23．计算：已知|x|＝3，|y|＝2，
（1）当xy＜0时，求x+y的值
（2）求x﹣y的最大值
【分析】（1）由题意x＝±3，y＝±2，由于xy＜0，x＝3，y＝﹣2或x＝﹣3，y＝2，代入x+y即可求出答案．
（2）由题意x＝±3，y＝±2，根据几种情况得出x﹣y的值，进而比较即可．
【解答】解：由题意知：x＝±3，y＝±2，
（1）∵xy＜0，
∴x＝3，y＝﹣2或x＝﹣3，y＝2，
∴x+y＝±1，
（2）当x＝3，y＝2时，x﹣y＝3﹣2＝1；
当x＝3，y＝﹣2时，x﹣y＝3﹣（﹣2）＝5；
当x＝﹣3，y＝2时，x﹣y＝﹣3﹣2＝﹣5；
当x＝﹣3，y＝﹣2时，x﹣y＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1，
所以x﹣y的最大值是5
【点评】本题考查绝对值的性质，涉及代入求值，分类讨论的思想，属于基础题型．
24．（1）【问题发现】
数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x＝的值．
小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．”
解：①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x＝+＝1+1＝2；
②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，无论谁正谁负，x都等于0；
③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x＝+＝﹣1﹣1＝﹣2；
综上，当a，b均不为零，求x的值为﹣2，0，2．
（2）【拓展探究】
若a，b，c均不为零，求x＝+﹣的值．
（3）【问题解决】
若a，b，c均不为零，且a+b+c＝0，直接写出代数式++的值．
【分析】（2）根据a、b、c是非零实数，分三正或两正一负或两负一正或三负4种情况分别讨论求值即可；
（3）根据a、b、c是非零实数，分两正一负或两负一正2种情况分别讨论求值即可．
【解答】解：（2）①当a，b，c都为正数时：x＝+﹣＝1+1﹣1＝1．
②当a，b为正，c为负时：x＝+﹣＝1+1+1＝3．
当a，c为正，b为负时：x＝+﹣＝1﹣1﹣1＝﹣1．
当b，c为正，a为负时：x＝+﹣＝﹣1+1﹣1＝﹣1．
③当a，b为负，c为正时：x＝+﹣＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．
当a，c为负，b为正时：x＝+﹣＝﹣1+1+1＝1．
当b，c为负，a为正时：x＝+﹣＝1﹣1+1＝1．
④当a，b，c都为负数时：x＝+﹣＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
综上所述x＝+﹣的值为1或3或﹣3或﹣1．
（3）∵a，b，c均不为零，且a+b+c＝0，
∴a，b，c为两正一负或两负一正．
∴①当a，b，c为两正一负时：++＝﹣﹣﹣＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
②当a，b，c为两负一正时：++＝﹣﹣﹣＝1+1﹣1＝1．
【点评】本题考查了绝对值、分式的化简求值，涉及到绝对值、非零实数的性质等知识点，注意分情况讨论未知数的取值．
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