1.1认识三角形（课时2） 同步训练（解析版）

初中数学浙教版八年级上册1.1认识三角形（课时2） 同步训练
一、三角形的角平分线、中线和高（共11题）
1.下列图形中，正确画出AC边上的高的是（?? ）
????????????????????
A B C D
2.三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个( ??)
A.?形状相同的三角形?????????B.?面积相等的三角形?????????C.?直角三角形?????????D.?周长相等的三角形
3.三角形三条高的交点一定在（??? ）
A.?三角形的内部??????B.?三角形的外部??????C.?三角形的内部或外部??????D.?三角形的内部、外部或顶点
4.下列说法中，正确的个数是（?? ）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
5.如图， ， 分别是 的中线和角平分线.若 ， ，则 的度数是（?? ）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
6.如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线。
（1）求∠DAE的度数；
（2）指出AD是哪几个三角形的高。
7.如图，已知AD，AE是△ABC的高和角平分线，∠B=44°，C=76°，求∠DAE的度数．

8.画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)
9.（探索题）学习了三角形的三条重要线段后，小明给小刚出了一道题： 幼儿园老师给6个小朋友过生日，订做了一个三角形蛋糕（如图所示），只须用三刀就能平均分给每个小朋友，你做得到吗？试试看，画出图形．
10.在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，且∠B=2∠BCE，求证DC=BE。

11.如图

（1）如图（1），已知，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°．求∠DAE的度数；
（2）如图（2），已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过F作FD⊥BC，若∠B=x°，∠C=（x+36）°，
①求∠CAE的度数（含x的代数式表示）
②求∠F的度数．
二、三角形的面积（共10题）
12.在△ABC中，已知点D、E、F分别是边BC、AD、CE上的中点，且S△BCF=3 cm2 ， 则S△ABC的值为________cm2.
13.如图， 的中线 、 相交于点 ,四边形CDPE与 的面积分别记为 、 ，则 与 的大小关系为（ ??）
A.?＞ ???????????????????????????B.?= ???????????????????????????C.?＜ ???????????????????????????D.?以上都有可能
14.如图,在△ABC中,点D、E分别是边AC,AB的中点,BD,CE相交于点O,连接AO,在AO上取一点F,使得OF= AF若S△ABC =12,则四边形OCDF的面积为（?? ）
A.?2??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?
15.如图，G是△ABC的重心，若 ，则图中阴影部分面积是________

16.如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF⊥BC，且AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝ cm，OF＝2cm，则四边形ADOE的面积是________．
17.如图：
（1）在△ABC中，BC边上的高是________；
（2）在△AEC中，AE边上的高是________；
（3）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．
18.如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，若S△ABC=1，求S△ABE ．

19.如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F．△ABF与四边形CEFD的面积有怎样的数量关系？为什么？

20.如图：△ABC的边BC的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD，AF=6，BC=12，BG=5，

（1）求△ABD的面积．
（2）求AC的长．
（3）△ABD和△ACD的面积有何关系．
21.如图

（1）如图1，AD是△ABC的一条中线，求证：S△ABD=S△ACD；
（2）请运用第（1）题的结论解答下列问题：如图2，△ABC三边的中线AD，BE，CF交于一点G，若S△ABC=60，求图中阴影部分的面积．
三、真题演练（共3题）
22.顶角为30°的等腰三角形三条中线的交点是该三角形的（ ??）
A.?重心?????????????????????????????????????B.?外心?????????????????????????????????????C.?内心?????????????????????????????????????D.?中心
23.如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（?? ）
A.?线段DE???????????????????????????????B.?线段BE???????????????????????????????C.?线段EF???????????????????????????????D.?线段FG
24.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=________．
答案解析部分
一、三角形的角平分线、中线和高
1. D
解：△ABC中AC边上的高是过点B垂直于AC边上的线段，
故答案为：D 【分析】从三角形的一个顶点，向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，叫做三角形的高线；据此判断即可.
2. B
解：三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个面积相等的三角形.
故答案为：B. 【分析】根据等底同高的两个三角形的面积相等可求解。
3. D
解：锐角三角形，三角形三条高的交点在三角形内部，
直角三角形，三角形三条高的交点在三角形直角顶点，
钝角三角形，三角形三条高的交点在三角形外部，
故答案为：D．
【分析】不同性状的三角形的高所在直线的交点位置不同。锐角三角形的三条高都在内部，交点在其内部；直角三角形中两条高就是直角边，第三条在内部，交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在外部，一条在内部，所以直线的交点在外部。
4. A
解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．
所以正确的有1个．
故答案为：A
【分析】连接三角形一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线，每个三角形都有三条中线，三条中线都在三角形的内部，三线相交于一点，这点角三角形的重心；过三角形的一个顶点向对边所在的直线引垂线，顶点与垂足间的线段就叫三角形的高线，每个三角形都有三条高线，锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，直角三角形的一条高线再三角形的内部，两条与直角三角形的直角重合，钝角三角形的一条高线再三角形的内部，两条在三角形的外部，三线相交于一点，这点叫三角形的垂心；三角形一个内角的角平分线与它对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线，每个三角形都有三条角平分线，三条角平分线都在三角形的内部，三线相交于一点，这点叫三角形的内心，根据定义即可一一判断。
5. C
解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=50°，∠B=∠ACB= （180°-∠CAB）=65°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE= ∠ACB=32.5°．
故答案为：C． 【分析】根据三角形中线和角平分线的性质，可得出度数。
6.（1）解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=40°，∠C=60°，
∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=50°+30°=80°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=40°，
∴∠DAE=50°-40°=10°（2）解：AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC的高
【分析】(1)利用三角形内角和，求出∠BAC=50°+30°=80°，在利用余角性质和角平分线，可求出；（2）可利用高的定义，得出AD与CD、ED、EC、BE、ED、BD垂直，与之对应可找出三角形.
7. 解：∵∠B=44°，∠C=76°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC= ∠BAC=30°，
∵AD是高，∠C=76°，
∴∠DAC=90°﹣∠C=14°，
∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=30°﹣14°=16°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据三角形的角平分线的定义求出∠EAC的度数；然后根据三角形的高线的定义以及三角形内角和定理求出∠DAC的度数，则∠DAE=∠EAC-∠DAC.
8.如图．
【分析】分别过△ABC的三个顶点作对边的垂线段，即可解答。
9.解：分别过三角形的三条中线切开即可，如图所示．
【分析】要分成面积相等的六部分，根据三角形的面积公式，显然需要利用中线这一概念．
10. 证明:连接DE
∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线
∴∠ADB=90° ???AE=BE
∴BE=AE=DE
∠EBD=∠BDE又∵∠B=2∠BCE
∴∠BDE=2∠BCE
又∵∠BDE=∠BCE+∠DEC? ∴∠BCE=∠DEC
∴DE=DC
∴BE=DC
【分析】连接DE，根据中线的性质，可得出角度和线段的关系，换算得出BE=DC.
11. （1）解：∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=100°，
∵AD是△ABC角平分线，
∴∠CAE= ∠CAB=50°，
∵AE分别是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°﹣∠C=40°，
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣40°=10°
（2）解：①∵∠B=x°，∠C=（x+36）°，AF平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAF，
∴∠CAE= ?[180°﹣x°﹣（x+36）°]=72°﹣x°，
②∠AEC=∠BAE+∠B=72°，
∵FD⊥BC，
∴∠F=18°
【分析】（1）先根据三角形内角和得到∠CAB的度数，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE、∠ADC的度数，则∠CAD=90°-∠C=40°，然后利用∠DAE=∠CAE-∠CAD计算即可； （2）①根据题意可知∠B=x°，∠C=（x+36）°，根据三角形的内角和定理和角平分线的性质，可知∠CAE=∠BAF: ②由∠AEC=∠BAE+∠B可求出∠AEC的度数，再根据FD⊥BC，可得出∠F的度数.
二、三角形的面积
12. 12
解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE= S△ABD ， S△ACE= S△ADC ，
∴S△ABE+S△ACE= S△ABC ，
∴S△BCE= S△ABC ，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF= S△BCE= S△ABC ，
又∵S△BCF=3cm2 ，
∴S△ABC=4S△BEF=12 cm2.
故答案是：12.
【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，据此解答即可.
13. B
解：∵ 的中线 、 相交于点 ,
∴ ， ，
∴S△BCE =S△ABD ，
∵ S△BCE-S△BDP ， S2=S△ABD-S△BPD ，
∴ = .
故答案为：B. 【分析】根据三角形的中线的性质可得， ，从而可得S△BCE =S△ABD ， 由S△BCE-S△BDP ， S2=S△ABD-S△BPD ， 可得??与??的大小关系.
14. B
解：∵点D、E分别是边AC,AB的中点，
∴O为△ABC的重心，
∴ =4,
∴ =2,
∵OF= AF，
∴ = ,
∴S阴= + = .
故答案为：B.
【分析】三角形两边中线的交点就是三角形的重心，根据三角形重心的性质即可得出 =4,根据等底同高三角形的面积相等得出 =2,根据等高三角形的面积之间的关系就是底之间的关系得出 = ,从而由S阴= + 即可算出答案。
15. 4
解：∵ G是△ABC的重心 ，∴AG∶GD=2∶1,BD=CD,AE=EC,∴S△ADC=S△ABD=S△ABC=6,S△AGC∶S△DGC=2∶1,?S△AGE=S△EGC ,∴S△DGC=S△AGE=S△EGC=2,同理S△AFG=S△BFG=S△BDG=2,∴ 图中阴影部分面积 =S△BFG+S△EGC=4; 故答案为：4. 【分析】根据三角形重心的性质得出AG∶GD=2∶1,BD=CD,AE=EC，根据等高三角形的面积之间的关系得出S△ADC=S△ABD=S△ABC=6,S△AGC∶S△DGC=2∶1,?S△AGE=S△EGC ,∴S△DGC=S△AGE=S△EGC=2,同理S△AFG=S△BFG=S△BDG=2,从而算出答案。
16. 4cm2
解：∵ BD、CE 是△ABC的中线，∴S△BCD= S△ABC ， S△ACE= S△ABC ， ∴S△BCD=S△ACE ， ∴S四边形ADOE+S△COD=S△BOC+S△COD ， ∴S四边形ADOE=S△BOC= BC×OF= ×4×2=4（cm2）.故答案为：4cm2.
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得S△BCD=S△ACE= S△ABC，即得S四边形ADOE+S△COD=S△BOC+S△COD ， 从而可得S四边形ADOE=S△BOC ， 利用三角形的面积= 底×高求出△BOC的面积即得.
17.（1）AB（2）CD（3）∵AE＝3cm，CD＝2cm，
∴S△AEC＝ AE·CD＝ ×3×2＝3(cm2)．
∵S△AEC＝ CE·AB＝3cm2 ， AB＝2cm，
∴CE＝3cm.
【分析】（1）由三角形的高的定义可得在△ABC中，BC边上的高是AB；（2）由三角形的高的定义可得在△AEC中，AE边上的高是CD；（3）由题意结合（1）（2）中的结论可得△AEC的面积=AE·CD可求解；根据△AEC的面积=CE·AB列方程可求得CE的长。
18. 解：∵点D、E分别是BC、AD边的中点，
∴S△ABD= S△ABC ， S△ABE= S△ABD ，
∴S△ABE= S△ABC ，
∵S△ABC=1，
∴S△ABE=1× = ．
【分析】根据三角形的中线平分三角形面积可得 S △ABE =? ?S △ABC ，代入求解得出答案.
19. 解：∵AD，BE是△ABC的中线，
∴S△ABE=S△ACD= S△ABC ，
∵S△ABF=S△ABE﹣S△AEF ， S四边形CEFD=S△ACD﹣S△AEF ，
∴S△ABF=S四边形CEFD ，
即，△ABF与四边形CEFD的面积相等．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，可得S△ABE=S△ACD=S△ABC ， 再表示出S△ABF与S四边形CEFD ， 即可得解.
20. （1）解：∵△ABC的边BC上的高为AF，AF=6，BC=12，
∴△ABC的面积= BC?AF= ×12×6=36
（2）解：∵AC边上的高为BG，BG=5，
∴△ABC的面积= AC?BG=36，
∴AC=
（3）解：△ABD和△ACD的面积相等．
∵△ABC的中线为AD，
∴BD=CD，
∵△ABD以BD为底，△ACD以CD为底，而且等高，
∴S△ABD=S△ACD ．
【分析】（1）利用三角形的面积公式方法计算即可； （2）利用三角形的面积计算公式建立方程求得答案即可； （3）利用等底同高的三角形面积相等得出答案.
21. （1）解：如图1，过点A作AM⊥BC，

∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD= BC，
∵S△ABD= BD×AM，S△ACD= CD×AM
∴S△ABD=S△ACD；
（2）解：∵△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G，
∴S△CGE=S△AGE=S△BGF=S△BGD=S△BDG=S△CDG ，
∵S△ABC=60
∴S△CGE=S△BGF= ×60=10，
∴S阴影=S△CGE+S△BGF=20．
【分析】（1）根据三角形的中线定义可得BD=CD，再由三角形的面积公式可证得； （2）根据（1）可知，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形可得S△CGE=S△BGF=? ? S△ABC可得.
三、真题演练
22. A
解：三角形三条中线的交点是三角形的重心．
故答案为：A．
【分析】三角形三条中线的交点是三角形的重心．
23.B
解：根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，
其余线段DE、EF、FG都不符合题意，
故答案为：B．
【分析】根三角形中线的定义：连接三角形一个顶点与这个顶点对边中点的线段，就是三角形的中线。
24.40°
解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣ （∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BOC=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°+ ∠A，而∠BOC=110°，∴90°+ ∠A=110°∴∠A=40°．故答案为40°．【分析】利用角平分线的定义及三角形内角和定理求出∠BOC=180°﹣ （∠ABC+∠ACB），，再在△ABC中利用三角形内角和定理，可得出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，代入可得出∠BOC=90°+ ∠A，将∠BOC=110°，代入求出∠A的度数。