浙教版数学八上1.1认识三角形 同步练习（2课时打包，含答案）

1．1 认识三角形

第1课时 三角形的三边关系


知识点1.三角形的概念
1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是(　　)

A　　　　B　　　　　C　　　 　 　D
2．如图1所示，∠BAC的对边是(　　)
A．BD　　　　　B．DC　　　　　C．BC　　　　　D．AD

图1 　　　图2
3．如图2，图中三角形的个数为(　　)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
知识点2.三角形的分类
4．[2018秋·开封期中]将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能(　　)
A．都是直角三角形
B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形
D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
5．如图3中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是(　　)

　图3
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
知识点3.三角形的三边关系
6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　　)
A．2 cm，3 cm，5 cm
B．7 cm，4 cm，2 cm
C．3 cm，4 cm，8 cm
D．3 cm，3 cm，4 cm
7．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是(　　)
A．6 B．3 C．2 D．11
8．用一条长为25 cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为7 cm，则该等腰三角形的腰长为__ __．
9．如图4是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为(　　)

　图4
A．30° B．40°
C．50° D．60°
10．在△ABC中，
(1)若∠A＝30°，∠B＝80°，则∠C＝____；
(2)若∠A＝50°，∠B＝∠C，则∠C＝____；
(3)若∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶5，则∠A＝____，∠B＝____，∠C＝____．

【易错点】求与等腰三角形有关的边长时，没有指明已知边是底还是腰时，需要分类讨论，注意利用三边关系检验．
11．用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边长为5 cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边的长度．




第2课时 三角形的高线、中线与角平分线


知识点1.三角形的高线
1．过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是(　　)

A　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D
2．如果一个三角形两边上的高线的交点在三角形的内部，那么这个三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
3．[2018秋·黄石港区校级期中]如图1，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝40°，∠EAD＝15°，求∠C的度数．

　图1
知识点2.三角形的中线
4．如图2，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是(　　)

图2
A．DE是△BCD的中线
B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BE＝EC
D．AD＝EC，DC＝BE
5．三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个(　　)
A．形状相同的三角形
B．面积相等的三角形
C．直角三角形
D．周长相等的三角形
6．如图3，已知在△ABC中，CF，BE分别是AB，AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长．

　图3
7．如图4，在△ABC中，CD是中线，已知BC－AC＝5 cm，△DBC的周长为25 cm，求△ADC的周长．

　图4
知识点3.三角形的角平分线
8．如图5所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是(　　)

　图5
A．20°
B．30°
C．45°
D．60°
9．[2018秋·江城区期中]如图6，已知AD，CE都是△ABC的角平分线，AD，CE交于点F，∠BAC＝60°，∠ACB＝76°，求∠AFC的度数．

　图6



【易错点】不能正确理解三角形的高线、中线和角平分线的概念．
10．三角形中：①中线、角平分线、高线都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内．其中正确的是(　　)
A．①② B．①③
C．②④ D．③④

综合练习

一、选择题(本题共有6小题，每小题5分，共30分)
1．[湖州校级期中]已知一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长不可能的是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．1
2．[杭州萧山区期末]下列各组数不可能是一个三角形的边长的是(　　)
A．5，5，5 B．5，7，7
C．5，12，13 D．5，7，12
3．[嘉兴秀洲区校级期中]一个三角形的两个内角分别为60°和20°，则这个三角形是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
4．[杭州西湖区校级期中]下列各图中，正确画出AC边上的高的是(　　)

5．[宁波江北区校级期末]已知等腰三角形(有两条边相等)的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长是(　　)
A．13 B．17
C．22 D．17或22
【
6．[湖州校级期中]如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有(　　)

(第6题图)
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本题共有6小题，每小题5分，共30分)
7．[温州鹿城区校级期中]△ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝____．
8．[台州校级期中]如图，一副分别含有30°和45°的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°.则∠BFD的度数是____．

(第8题图) 　　　　 (第9题图)
9．[嘉兴秀洲区校级期中]如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC＝48°，∠ACB＝76°，则∠FDE＝____．
10．如图，∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA，BE⊥CE，∠ABE＝15°，则∠ACE＝____．

(第10题图) 　　 (第11题图)
11．[杭州西湖区校级期中]如图，∠1＝2∠2，∠3＝2∠4，∠5＝2∠6，E，C，F在同一条直线上，若∠A＝63°，则∠E＝____，∠F＝___.
12．[余姚期中]如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是16 cm2，则阴影部分的面积等于____cm2.

(第12题图)
三、解答题(本题共有4小题，共40分)
13．(10分)[绍兴柯桥区校级期中]如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．

　(第13题图)
14．(10分)[青羊区校级期中]已知a，b，c分别是△ABC的三边，化简：|a＋b＋c|＋|a＋c－b|－|c－a－b|.
15．(10分)[绍兴柯桥校级期中]平面上有n个点(n≥3)，任意三点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作多少个不同的三角形？
(1)分析：当有3个点时，可作____个三角形；
当有4个点时，可作____个三角形；
当有5个点时，可作____个三角形…
(2)请归纳点的个数n和可以作出三角形的个数Sn的关系．



16．(10分)[杭州西湖区校级期中]“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形．记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于0且小于4的整数个单位长度，用记号(a，b，c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形．










答案


知识点1.三角形的概念
1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是(　D　)

A　　　　B　　　　　C　　　 　 　D
2．如图1所示，∠BAC的对边是(　C　)
A．BD　　　　　B．DC　　　　　C．BC　　　　　D．AD

图1 　　　图2
3．如图2，图中三角形的个数为(　C　)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解析】 图中的三角形为△ABD，△ACE，△DCE，△ACD和△ABC，共5个三角形．
知识点2.三角形的分类
4．[2018秋·开封期中]将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能(　C　)
A．都是直角三角形
B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形
D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
【解析】 如答图①，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形；

①　　 ②　 　③
第4题答图
如答图②，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形；
如答图③，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．
∵剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．
5．如图3中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是(　D　)

　图3
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
知识点3.三角形的三边关系
6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　D　)
A．2 cm，3 cm，5 cm
B．7 cm，4 cm，2 cm
C．3 cm，4 cm，8 cm
D．3 cm，3 cm，4 cm
7．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是(　A　)
A．6 B．3 C．2 D．11
8．用一条长为25 cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为7 cm，则该等腰三角形的腰长为__7 cm或9 cm__．
【解析】 7 cm是腰长时，底边为25－7×2＝11，
∵7＋7＞11，∴7 cm，7 cm，11 cm能组成三角形；
7 cm是底边时，腰长为×(25－7)＝9 cm，
7 cm，9 cm，9 cm能够组成三角形．
综上所述，它的腰长为7 cm或9 cm.
知识点4.三角形的内角和定理
9．如图4是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为(　B　)

　图4
A．30° B．40°
C．50° D．60°
10．在△ABC中，
(1)若∠A＝30°，∠B＝80°，则∠C＝__70°__；
(2)若∠A＝50°，∠B＝∠C，则∠C＝__65°__；
(3)若∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶5，则∠A＝__20°__，∠B＝__60°__，∠C＝__100°__．

【易错点】求与等腰三角形有关的边长时，没有指明已知边是底还是腰时，需要分类讨论，注意利用三边关系检验．
11．用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边长为5 cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边的长度．
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则
2x＋2x＋x＝20，解得x＝4，
∴2x＝8，∴各边长为8 cm，8 cm，4 cm；
(2)①当5 cm为底时，腰长＝7.5 cm；
②当5 cm为腰时，底边＝10 cm，∵5＋5＝10，故不能构成三角形，舍去．
∴能构成有一边长为5 cm的等腰三角形，另两边长为7.5 cm，7.5 cm.

第2课时 三角形的高线、中线与角平分线


知识点1.三角形的高线
1．过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是(　A　)

A　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D
2．如果一个三角形两边上的高线的交点在三角形的内部，那么这个三角形是(　A　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
3．[2018秋·黄石港区校级期中]如图1，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝40°，∠EAD＝15°，求∠C的度数．

　图1
解：∵AD⊥BC，∠EAD＝15°，
∴∠AED＝90°－15°＝75°.
∵∠AED是△ABE的外角，∠B＝40°，
∴∠BAE＝∠AED－∠B＝75°－40°＝35°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE＝2×35°＝70°，
∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－70°－40°＝70°.
知识点2.三角形的中线
4．如图2，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是(　D　)

图2
A．DE是△BCD的中线
B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BE＝EC
D．AD＝EC，DC＝BE
5．三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个(　B　)
A．形状相同的三角形
B．面积相等的三角形
C．直角三角形
D．周长相等的三角形
6．如图3，已知在△ABC中，CF，BE分别是AB，AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长．

　图3
解：∵CF，BE分别是AB，AC边上的中线，AE＝2，AF＝3，
∴AB＝2AF＝2×3＝6，AC＝2AE＝2×2＝4，
∵△ABC的周长为15，∴BC＝15－6－4＝5.
7．如图4，在△ABC中，CD是中线，已知BC－AC＝5 cm，△DBC的周长为25 cm，求△ADC的周长．

　图4
解：∵CD是中线，∴AD＝BD，
∴△DBC的周长－△ADC的周长＝(BC＋BD＋CD)－(AC＋AD＋CD)＝BC－AC，
∵BC－AC＝5 cm，△DBC的周长为25 cm，
∴25－△ADC的周长＝5，
∴△ADC的周长＝20 cm.
知识点3.三角形的角平分线
8．如图5所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是(　A　)

　图5
A．20°
B．30°
C．45°
D．60°
9．[2018秋·江城区期中]如图6，已知AD，CE都是△ABC的角平分线，AD，CE交于点F，∠BAC＝60°，∠ACB＝76°，求∠AFC的度数．

　图6
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
∵CE是△ABC的角平分线，∠ACB＝76°，
∴∠ACF＝∠ACB＝38°，∴∠AFC＝180°－30°－38°＝112°.

【易错点】不能正确理解三角形的高线、中线和角平分线的概念．
10．三角形中：①中线、角平分线、高线都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内．其中正确的是(　B　)
A．①② B．①③
C．②④ D．③④

综合练习

一、选择题(本题共有6小题，每小题5分，共30分)
1．[湖州校级期中]已知一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长不可能的是(　D　)
A．2 B．3 C．4 D．1
【解析】 根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得1＜第三边＜7，故选D.
2．[杭州萧山区期末]下列各组数不可能是一个三角形的边长的是(　D　)
A．5，5，5 B．5，7，7
C．5，12，13 D．5，7，12
【解析】 三角形中任意两边之和大于第三边．
3．[嘉兴秀洲区校级期中]一个三角形的两个内角分别为60°和20°，则这个三角形是(　C　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
【解析】 ∵三角形的两个内角分别为60°和20°，∴第三个角为180°－60°－20°＝100°，∴是钝角三角形，故选C.
4．[杭州西湖区校级期中]下列各图中，正确画出AC边上的高的是(　D　)

5．[宁波江北区校级期末]已知等腰三角形(有两条边相等)的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长是(　C　)
A．13 B．17
C．22 D．17或22
【解析】 分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，
∵4＋4＜9，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；
②当三角形的三边是4，9，9时，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4＋9＋9＝22.故选C.
6．[湖州校级期中]如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有(　B　)

(第6题图)
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】 ①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选B.
二、填空题(本题共有6小题，每小题5分，共30分)
7．[温州鹿城区校级期中]△ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝__40°__．
【解析】 根据三角形的内角和定理可得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－60°＝40°.
8．[台州校级期中]如图，一副分别含有30°和45°的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°.则∠BFD的度数是__15°__．
【解析】 ∵∠EDC＝60°，∴∠BDF＝120°；∵∠B＝45°，∴∠BFD＝180°－120°－45°＝15°.

(第8题图) 　　　　 (第9题图)
9．[嘉兴秀洲区校级期中]如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC＝48°，∠ACB＝76°，则∠FDE＝__124°__．
【解析】 在△BCF中，∠BCF＝180°－48°－90°＝42°，
在△BCE中，∠CBE＝180°－76°－90°＝14°，
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠BCF－∠CBE＝124°，
∴∠FDE＝∠BDC＝124°.
10．如图，∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA，BE⊥CE，∠ABE＝15°，则∠ACE＝__60°__．
【解析】 ∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∵∠ABE＝15°，∴∠CBE＝60°，
∵∠BCE＋∠CBE＝90°，∠BCE＋∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠CBE＝60°.

(第10题图) 　　 (第11题图)
11．[杭州西湖区校级期中]如图，∠1＝2∠2，∠3＝2∠4，∠5＝2∠6，E，C，F在同一条直线上，若∠A＝63°，则∠E＝__21°__，∠F＝__99°__.
【解析】 ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，
∴∠A＋∠ABC＝∠ACD，
∵∠1＝2∠2，∠3＝2∠4，
∴3∠2＋∠A＝3∠4，
∴∠4－∠2＝∠A＝×63°＝21°，
∴∠E＝∠4－∠2＝21°，
∵∠1＝2∠2，∠3＝2∠4，
∴∠EBF＝×180°＝60°，
∴∠F＝180°－∠EBF－∠E＝180°－60°－21°＝99°.
12．[余姚期中]如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是16 cm2，则阴影部分的面积等于__4__cm2.

(第12题图)
【解析】 ∵E为AD的中点，
∴S△ABE＝S△BED，S△AEC＝S△EDC，
∴S△ABC∶S△BCE＝2∶1，
同理可得，S△BCE∶S△EFB＝2∶1，
∵S△ABC＝16，
∴S△EFB＝S△ABC＝×16＝4.
三、解答题(本题共有4小题，共40分)
13．(10分)[绍兴柯桥区校级期中]如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．

　(第13题图)
解：∵AD是BC边上的高，∠EAD＝5°，
∴∠AED＝85°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAD＝40°，
∴∠BAE＝35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝70°，
∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－70°＝60°.
14．(10分)[青羊区校级期中]已知a，b，c分别是△ABC的三边，化简：|a＋b＋c|＋|a＋c－b|－|c－a－b|.
解：根据三角形的三边关系得a＋b＋c＞0，a＋c－b＞0，c－a－b＜0.
∴原式＝a＋b＋c＋a＋c－b－a－b＋c＝a－b＋3c.
15．(10分)[绍兴柯桥校级期中]平面上有n个点(n≥3)，任意三点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作多少个不同的三角形？
(1)分析：当有3个点时，可作__1__个三角形；
当有4个点时，可作__4__个三角形；
当有5个点时，可作__10__个三角形…
(2)请归纳点的个数n和可以作出三角形的个数Sn的关系．
解：(1)当n＝3时，可作出的三角形的个数S3＝＝1；
当n＝4时，可作出的三角形的个数S4＝＝4；
当n＝5时，可作出的三角形的个数S5＝＝10；
(2)当点的个数是n时，可作出的三角形的个数Sn＝.
16．(10分)[杭州西湖区校级期中]“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形．记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于0且小于4的整数个单位长度，用记号(a，b，c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形．
解：先对a，b两条边进行取值，再根据a，b的长度结合三角形三条边之间的关系对c进行取值，列举出所有的可能性即可．当a＝1，b＝1时，c＝1；
当a＝1，b＝2时，c＝2；
当a＝1，b＝3时，c＝3；
当a＝2，b＝2时，c＝2或3；
当a＝2，b＝3时，c＝3，
当a＝3，b＝3时，c＝3.
所以满足条件的三角形为(1，1，1)，(1，2，2)，(1，3，3)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，3)，(3，3，3).