5.4.1 一元一次方程应用（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

浙江版2019-2020学年度七年级数学上册第5章一元一次方程
5.4 一元一次方程的应用(1)
基本数量与行程问题
【知识清单】
列方程解应用题的一般步骤(解题思路)
(1)审——审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系(找出等量关系)．
(2)设——设出未知数：根据提问，巧设未知数．
(3)列——列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．
(4)解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．
(5)答——检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．(注意带上单位)
【经典例题】
例题1、A仓库库存水泥为1200吨，每天用去50吨；B仓库库存水泥为1600吨，每天用去70吨.若经过x天后，两仓库库存水泥相等，则x=(　　)
A.15 B. 20 C. 25 D. 30
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】题目中的相等关系是经过x天后，两仓库库存水泥相等．A仓库经过x天后库存水泥为120050x；B仓库经过x天后库存水泥为160070x．根据题意可列方程．
【解答】根据题意列，得120050x =160070x，
解这个方程，得 x=20．
检验：x=20适合方程，且符合题意.
故选B．
【点评】本解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
例题2、A，B两地间的路程为540千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶80千米，一列快车从B地出发，每小时行驶120千米．若两车同时开出，相向而行，______小时相遇；若快车由A地先开1小时后，慢车在B地同向开出，快车再经过______小时可追上慢车．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】通过理解题意可知本题的等量关系，第一问即快车路程+慢车路程=全路程；第二问当快车追上慢车时，等量关系是他们走的路程相等．根据等量关系，可列出方程组，再求解．
【解答】第一问：设x小时相遇，
则(80+120)x=540
解得x=2.7(小时)．
检验：x=2.7适合方程，且符合题意.
第二问：设快车再经过了y小时可追上慢，
则120y=540120+80y
解得：y=10.5(小时)．
检验：y=10.5适合方程，且符合题意.
答：第一问需要2.7小时相遇，第二问需要10.5小时相遇.
【点评】此题的关键是找到等量关系，在第一问中(相遇问题)，当两车相遇时，他们就走完了全程．在第二问中，当快车追上慢车时，等量关系是他们走的路程相等(追及问题)，注意时间不同．
【夯实基础】
1．已知甲、乙两数之和为7，甲数比乙数大3，求甲、乙两数.设乙数为x，可列出方程是(??????)
A．x3+x=7?????B．x+3+x=7???????C．7+x=x+3???????D．x(x+3)=7.
2．李建同学上学来去都是步行，已知他去的速度为3米/秒，回的速度为2米/秒，则李建同学来去的平均速度为( )
A．2.5米/秒? ???B． 米/秒? ????C．米/秒?? ??D．米/秒?
3．老张一家外出旅游5天，已知这5天的日期之和为65.?则他们返回日期是(???)号?
A．11???????????B．12??????????????C．14?????????????D．15
4．甲、乙两人练习短距离赛跑，甲每秒跑7.5米.?乙每秒跑7米.?如果甲让乙先跑6米.?那么甲追上乙需(????)
A．13秒????? ?B．12秒???????????C．10秒??? ??????D．9秒
5．现有一个长方形的周长为30 cm，这个长方形的长减少 1 cm，宽增加2 cm，就可以变成一个正方形，则这个长方形的宽为 ．cm.
6．若3x2m-1y3n与2x5-my12的差是一个单项式，则方程mx+n=0的解为________．
7．若使方程3ax2b=6(x)有无穷多解，则ab值为 ．
8．(1)一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时36千米，顺风飞行需要4小时20分钟，逆风飞行需要4小时40分钟，求两城市间的距离.
(2)某钟表每小时比标准时间慢3分钟.若在清晨6时30分与准确时间对准，则当天中午该钟表指示时间为12时50分时，准确时间是多少？
9．甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑300米，乙每分钟跑240米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
【提优特训】
10．甲、乙两个工地有工人分别为27人和16人，完了赶工期工程承包人决定调出50人支援甲、乙两个工地，使甲工地的人数是乙工地人数的2倍，则调入甲、乙两个工地的工人分别为
( )
A．36、14 B．35、15 C．34、16 D．33、17
11. 在足球甲级联赛共有16场比赛，已知某队负了3场，要想积29分.按比赛规则，胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分，则该队必须胜(　　)
A．7场 B．8场 C．9场 D．10场
12． A，B两城相距1260千米，普快列车从A城出发130千米后，特快列车从B城出发开往A城，5小时后两车相遇．若普快列车与特快列车的速度比为3︰5，设普快列车的速度是x千米／小时，则下列方程中，正确的是(　　)
A．12605x=5 B．1260+130=5(x
C．5x+ 5=1260 D．5
13．某船顺流航行的速度为24km/h，逆流航行的速度为18km/h，则水流速度为(　　)
A．3km/h B．5km/h C．6km/h D．21 km/h
14．一个两位数，十位上的数字是个位上数字的3倍，且十位数字与个位数字之和等于8，则这个两位数是_____．
15．已知硕硕的妈妈和硕硕今年共27岁，再过6年，硕硕的妈妈的年龄是硕硕年龄的3倍大3岁，当硕硕18岁时，妈妈的年龄为_____岁．
16．一列客车车长240米，一列货车车长320米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过20秒，已知客车与货车的速度之比是4︰3，问两车每秒各行驶多少米？
17．某人以匀速行走在一条公路上，公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车．他发现每隔18分钟有一辆公共汽车追上他；每隔12分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过．问公共汽车每隔多少分钟发车一辆？
18．如图，两位同学甲、乙两位同学站在全长为400m的环形跑道上，两人之间的距离是40m，现在两人同时起跑，已知甲同学的速度为8m/s，乙同学的速度为7m/s，若两人均沿逆时针方向跑，经过多少时间甲同学第一次追上乙同学?
再经过多长时间甲同学第二次追上乙同学？

19．一个六位数，它的个位数学是6，如果把6移至第一位前面时，所得到的新六位数是原来的数的4 倍，这个六位是?
20．如图所示的数据是小亮同学用一些偶数排成的，请你与小亮同学一起探讨下列问题吗？动手试一试．
(1)框中的四个数有什么关系？
(2)在数阵图中任意画一个类似(1)中的框，设左上角的一个数为x，那么其他的三个数怎样表示？
(3)若用类似如图所示的正方形框出的四个数的和为280，
你能否求出这四个数？
(4)你能用正方形框出和为2022的四个数吗？若能，
请求出这四个数；若不能，请说出理由．
【中考链接】
21．(2018?邵阳)程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是(　　)
A．大和尚25人，小和尚75人 B．大和尚75人，小和尚25人
C．大和尚50人，小和尚50人 D．大、小和尚各100人
22．(2018?模拟)A、B两地相距1000米，甲乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间往返散步.如果两人第一次相遇时距A、B两地的中心100米，那么，两人第二次相遇地点距第一次相遇地点 米.
参考答案
1、B 2、C 3、D 4、B 5、6 6、x=2 7、16 10、B 11、B 12、C 13、A
14、62 15、39 21、A 22、400
8．(1)一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时36千米，顺风飞行需要4小时20分钟，逆风飞行需要4小时40分钟，求两城市间的距离.
解：设无风时的速度是x千米/时，
则 (x－36)= (x+36)，
解这个方程，得 x=972千米/时.
检验：x=972适合方程，且符合题意.
则两个城市之间 (97236) =4368千米.
(2)某钟表每小时比标准时间慢3分钟.若在清晨6时30分与准确时间对准，则当天中午该钟表指示时间为12时50分时，准确时间是多少？
解：设准确时间经过x时，则
解这个方程，得x=(时)，
即为13时10分.
检验：x=适合方程，且符合题意.
则准确时间是13时10分.
9．甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑300米，乙每分钟跑240米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
解：① 设同时同地同向出发x分钟后二人相遇，
根据题意，得300x240x=400，
解这个方程，得x=(分钟)；
检验：x=适合方程，且符合题意.
答：同地同向出发，二人分钟相遇；
② 设背向跑，x分钟后相遇，
根据题意，得300x+240x=400，
解这个方程，得x=(分钟).
检验：x=适合方程，且符合题意.
答：同地背向出发，二人分钟相遇.
16．一列客车车长240米，一列货车车长320米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过20秒，已知客车与货车的速度之比是4︰3，问两车每秒各行驶多少米？
解设客车的速度为4x米/秒，货车的速度为3x米/秒，
根据题意，得
(4x+3x)×20=240+320，
20×7x=560，
解这个方程，得x=4.
检验：x=4适合方程，且符合题意.
则4x =4×4=16.
3x=3×4=12.
答：客车的速度为16米/秒，货车的速度为12米/秒 .
17．某人以匀速行走在一条公路上，公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车．他发现每隔18分钟有一辆公共汽车追上他；每隔12分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过．问公共汽车每隔多少分钟发车一辆？
解：设公共汽车每隔x分钟发车一次．
根据题意，得18(x12)=12(18x)
解这个方程，得x=14.4
检验：x=14.4适合方程，且符合题意.
答：公共汽车每隔14.4分钟发车一辆.
18．如图，两位同学甲、乙两位同学站在全长为400m的环形跑道上，两人之间的距离是40m，现在两人同时起跑，已知甲同学的速度为8m/s，乙同学的速度为7m/s，若两人均沿逆时针方向跑，经过多少时间甲同学第一次追上乙同学?再经过多长时间甲同学第二次追上乙同学？
解：设xS第一次追上，则有；
(87) x =40；
解这个方程，的x=40；
检验：x=40适合方程，且符合题意.
答：甲同学用40S第一次追上乙同学；
设需要yS第二次追上，则有；
y(8-7)=400；
y=400；
解这个方程，的y=400；
检验：y=400适合方程，且符合题意.
答：甲同学用400S第二次追上乙同学.
19．一个六位数，它的个位数学是6，如果把6移至第一位前面时，所得到的新六位数是原来的数的4 倍，这个六位是?
解：设这个数是10x+6，
根据题意，得4(10x+6)=600000+x，
解这个方程，得x=15384.
检验：x=15384适合方程，且符合题意.
所以这个数10x+6=10×15384+6=153846.
答：这个数是153846.
20．如图所示的数据是小亮同学用一些偶数排成的，请你与小亮同学一起探讨下列问题吗？动手试一试．
(1)框中的四个数有什么关系？
(2)在数阵图中任意画一个类似(1)中的框，设左上角的一个数为x，那么其他的三个数怎样表示？
(3)若用类似如图所示的正方形框出的四个数的和为280，你能否求出这四个数？
(4)你能用正方形框出和为2022的四个数吗？若能，请求出这四个数；若不能，请说出理由．
20. 解：(1)16+28=26+18=44　
(2)x+2，x+10，x+12　
(3)由题意得x+x+2+x+10+x+12=280，
解得x=64，
所以这四个数为64，66，74，76.
(4)由题意得x+x+2+x+10+x+12=2022，
解得x=，因为x不是整数，
所以不存在和为2022这样的四个数.