1.4 二次函数的应用 同步训练（解析版）

初中数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用 强化提升训练
一、综合训练（共9题；）
1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2 ， 且x1＜x2 ， 则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（ ?）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
2.四位同学在研究函数y1＝ax2＋ax－2a (a是非零常数)时，甲发现该函数图象总经过定点；乙发现若抛物线y1＝ax2＋ax－2a总不经过点P(x0－3，x02－16)，则符合条件的点P有且只有2个；丙发现若直线y2＝kx＋b与函数y1交于x轴上同一点，则b＝－k；丁发现若直线y3＝m (m≠0)与抛物线有两个交点(x1 ， y1)(x2 ， y2)，则x1＋x2＋1＝0.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是(? )
A.?甲?????????????????????????????????????????B.?乙?????????????????????????????????????????C.?丙?????????????????????????????????????????D.?丁
3.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． 21cnjy.com

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 21*cnjy*com
4.已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“bingo点”，例如：y＝2x﹣1上存在“bingo点”P（1，1） 【来源：21cnj*y.co*m】
（1）直线____________________（填写直线解析式）上的每一个点都是“bingo点”；双曲线y＝ 上的“bingo点”是________________________。 【出处：21教育名师】
（2）若抛物线y＝ x2+（ a+1）x﹣ a2﹣a+2上有“bingo点”，且“bingo点”A、B（点A和点B可以重合）的坐标为A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），求x12+x22的最小值
21教育名师原创作品
（3）若函数y＝ x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1的图象上存在唯一的一个“bingo点”，且当﹣2≤n≤1时，m的最小值为k，求k的值．
21*cnjy*com
5.如图
（1）【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________．
（2）【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为________．（用含a，h的代数式表示）
（3）【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝30，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
6.嘉兴素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；

（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为 ；y与t的函数关系如图所示．
①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）
7.如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是________（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是________，求出你所选方案中的抛物线的表达式________；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度________．
8.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．

（1）当a＝﹣ 时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．

（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为 m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．

9.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
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（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，点B是抛物线与y轴交点．判断有几个位置能够使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
二、中考演练（共7题；）
10.若二次函数 图象的顶点在一次函数 的图象上，则称
为 的伴随函数，如： 是 的伴随函数.
（1）若 是 的伴随函数，求直线 与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若函数 的伴随函数 与x轴两个交点间的距离为4，求m，n 的值.
11.如图抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时.那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线.如图1，已知抛物线C1:y1= x2+x与C2:y2=ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1 ， C2的顶点，抛物线C2经过点D(6，-1).
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式:

（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形?如果存在.请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由:

（3）如图2.点F(-6，3)在抛物线C1上，点M、N分别是抛物线C1 ， C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1(当点M与点A，F重合时S1=0)，△ABN的面积为S2(当点N与点A，B重合时，S2=0)，令S=S1+S2.观察图像.当y1≤y2时，写出x的取值范围.并求出在此范围内S的最大值.
12.在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知反比例函数y= （m＜0）与y=x2﹣4在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，则实数m的取值范围为________．
13.如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ? ）
A.?18m2???????????????????????????B.? m2???????????????????????????C.? m2???????????????????????????D.? m2
14.我市某超市销售一种文具，进价为5元/件.售价为6元/件时，当天的销售量为100件.在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；

（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润.
15.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（?? ）
A.?此抛物线的解析式是y=﹣ x2+3.5?????????????? ?????B.?篮圈中心的坐标是（4，3.05）C.?此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）??????????????????????D.?篮球出手时离地面的高度是2m
16.已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上的动点.
（1）抛物线的解析式为________,抛物线的顶点坐标为________;
（2）如图1,连接OP交BC于点D,当S△CPD:S△BPD=1:2时,请求出点D的坐标;
（3）如图2,点E的坐标为(0,-1),点G为x轴负半轴上的一点,∠OGE=15°,连接PE,若∠PEG=2∠OGE,请求出点P的坐标;

（4）如图3,是否存在点P,使四边形BOCP的面积为8?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由
答案解析部分
一、综合训练
1. B
解析：∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣ =﹣2， =﹣9a，
∴b=4a，c=-5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，
5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，
∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2 ，且x1＜x2 ，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，故答案为：B．
【分析】利用抛物线的顶点坐标，代入可得出b=4a，c=-5a，因此函数解析式转化为y=ax2+4ax﹣5a，分别将b=4a，c=-5a代入①②，结合a>0，可对①②作出判断；再由y=0，就可求出抛物线与x轴的两个交点坐标，结合函数图像及x1＜x2 ， 可对③作出判断；若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，可对④作出判断，综上所述，可得出答案。
2. C
解析：甲：∵y1＝ax2＋ax－2a=a（x+2）（x-1），
当y=0时，a（x+2）（x-1）=0，
解得x1=1，x2=-2.
∴二次函数的图象与x轴的交点为（1，0）、（-2，0）.
∴不论a为何值，该二次函数的图象经过x轴上的定点（1，0）和（-2，0）.
故甲结论正确；
乙：∵对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P（x0-3，x02-16），
∴x02-16≠a（x0-3）2+a（x0-3）-2a，
∴（x0-4）（x0+4）≠a（x0-1）（x0-4），
∴（x0+4）≠a（x0-1），
∴x0=-4或x0=1，
∴点P的坐标为（-7，0）或（-2，-15），故乙的结论正确；
丙：由前可知函数y1＝ax2＋ax－2a与x轴交点为（1，0）、（-2，0），
当若直线y2＝kx＋b与函数y1交于正半x轴上同一点时，k+b=0，即-k=b，
当若直线y2＝kx＋b与函数y1交于负半x轴上同一点时，-2k+b=0，即b=2k.
故丙错误；
丁：∵x1、x2是ax2＋ax－2a＝m的两根，
∴x1+x2=-1 ，
∴x1＋x2＋1＝0，故丁正确。
故答案为：C。
【分析】将函数解析式的右边分解因式，根据函数图象与x轴交点的坐标特点即可求出其与x轴交点的坐标，从而得出结论不论a为何值，该二次函数的图象经过x轴上的定点（1，0）和（-2，0），故甲结论正确；将点P（x0-3，x02-16），代入抛物线的解析式，列出不等式，根据不等式的性质求解得出x0=-4或x0=1，从而求出点P的坐标，得出结论乙的结论正确；由前面可知函数y1＝ax2＋ax－2a与x轴交点为（1，0）、（-2，0），然后分类讨论：当若直线y2＝kx＋b与函数y1交于正半x轴上同一点时，k+b=0，即-k=b，当若直线y2＝kx＋b与函数y1交于负半x轴上同一点时，-2k+b=0，即b=2k，从而得出丙错误；根据题意可知x1、x2是ax2＋ax－2a＝m的两根，根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=-1 ， 故丁正确。
3. （1）解：将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得： ，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得： ，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1（2）解：过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．

设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝ AQ?PF＝﹣ x2﹣ x+3＝﹣ （x+ ）2+ ．
∵﹣ ＜0，
∴当x＝﹣ 时，△APC的面积取最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（﹣ ， ）（3）解：当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．

∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝ ＝3 ，AN＝ ＝ ，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3 + ．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3 + ．
【分析】（1）根据题意，将点A和点B的坐标代入抛物线中，即可求得b和c的值，得到抛物线的解析式；设AC的直线解析式为y=mx+n，将点A和点C的坐标代入即可求得直线AC的直线解析式。 （2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，分别设出点P和点E的坐标，根据抛物线和直线的解析式，将两个点的坐标表示出三角形的面积公式，即可根据一元二次方程的顶点式，得到点P的坐标。 （3）令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，把抛物线的一般解析式化为顶点式，得出对称轴，再结合C、N的坐标得出关于对称轴对称，所以MN＝CM，即AM+MN=AC ， △ANM周长取得最小值。最后根据两点间的距离公式求得AC、AN的值，即可得到△ANM 周长的最小值。
4. （1）y＝x；（1，1）或（﹣1，﹣1）（2）解：由题意得：y＝x，即：y＝ x2+（ a+1）x﹣ a2﹣a+2＝x，
整理得： x2+ ax﹣ a2﹣a+2＝0，
则：x1+x2＝﹣ a，x1x2＝﹣ a2﹣2a+4，
x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝ ，
∵ ＞0，∴ 有最小值，
当a＝﹣ 时，其最小值为：﹣ （3）解：y＝ x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1＝x， 整理得： x2+（n﹣k）x+m+k﹣1＝0，
由题意得：△＝（n﹣k）2﹣（m+k﹣1）＝0，m＝（n﹣k）2﹣（k﹣1），
①当﹣2≤n＝k≤1时，n＝k时，m取得最小值，即：﹣（k﹣1）＝k，解得：k＝ ；
②当n＝k≤﹣2时，n＝﹣2，m取得最小值，即：（﹣2﹣k）2﹣（k﹣1）＝k，解得：无解；
③当n＝k≥1时，n＝1，m取得最小值，即：（1﹣k）2﹣（k﹣1）＝k，解得：k＝2 （舍去负值）
故：k的值为： 或2
解析：（1）由题意得：y＝x时，图象经过点P（t，t）， y＝ ＝x，解得：x＝±1，故答案为：y＝x，
（1，1）或（﹣1，﹣1）
【分析】（1） 点P为函数图象上的“bingo点”，写出符合题意的直线解析式；由y=x，就可求出双曲线y＝ 上的“bingo点”。 （2）由y=x，可得到方程 x2+ ax﹣ a2﹣a+2＝0，分别求出x1+x2 ，x1x2的值，再将 x12+x22转化为（x1+x2）2﹣2x1x2 ，然后代入，就可得出 x12+x22与a的二次函数，将其转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出其最小值。 （3）根据定义由y=x，可得到方程 x2+（n﹣k）x+m+k﹣1＝0，由题意可知△＝0 ，可得到m＝（n﹣k）2﹣（k﹣1），再分情况讨论：①当﹣2≤n＝k≤1时，n＝k时，m取得最小值；②当n＝k≤﹣2时，n＝﹣2，m取得最小值；③当n＝k≥1时，n＝1，m取得最小值， 分别解关于k的方程，就可求出符合题意的k的值。2-1-c-n-j-y
5. （1） （2）（3）解：延长线段DE交BA的延长线于N，延长线段ED交BC的延长线于H，
由【拓展应用】可知，当点M为NH的中点时，矩形PBQN的面积最大，
∵AB＝30，BC＝40，AE＝20，CD＝16，
∴E是AG的中点，D是CG的中点，
在△AEN和△GED中，
∴△AEN≌△GED（ASA）
∴AN＝DG＝16，
同理，CH＝EG＝20，
∴NB＝46，BH＝60，
∴PM＝ BH＝30，QM＝ BN＝23，
∴矩形PBQN的面积＝30×23＝690．
解析：（1）【探索发现】∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝ AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴ ＝（ ）2＝ ，
同理， ＝ ，
∴矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 ，故答案为： ；
（ 2 ）【拓展应用】设PN＝x，PQ＝y，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，y＝h﹣ x，
∴矩形PQMN的面积＝x（h﹣ x）＝﹣ x2+hx＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴当x＝ 时，矩形PQMN面积的最大值为 ，故答案为：
【分析】（1）利用三角形中位线定理，可证DE∥AB，DE＝ AB，再证明△CDE∽△CBA，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出结果。 （2）设PN＝x，PQ＝y，利用平行得三角形相似，可证得△APN∽△ABC，利用相似三角形的性质，可证得对应边成比例，就可求出y＝h﹣ x，然后求出矩形PQMN的面积与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解。 （3） 延长线段DE交BA的延长线于N，延长线段ED交BC的延长线于H，由题意可知当点M为NH的中点时，矩形PBQN的面积最大，利用ASA证明△AEN≌△GED，利用全等三角形的性质，可证得AN＝DG，同理可证CH＝EG，然后求出PM、QM的长，利用矩形的面积公式，就可求出矩形PBQN的面积。
6. （1）解： 由题意得
，解之：∴ a的值为0.04，b的值为30； （2）解： ①当0≤t≤50时， y与t的函数解析式y=ct+d将（0,15）和（50,25）分别代入 ，解之：∴ y与t的函数解析式为y= t+15；当50＜t≤100时， y与t的函数解析式y=mt+n将（100,20）和（50,25）分别代入 ，解之：∴ y与t的函数解析式为y=﹣ t+30；②当0≤t≤50时，W=20000（ t+15）-（400t+300000）=3600t∵3600＞0当t=50时，W最大值=180000元；当0≤t≤50时，W=（100t+1500）（﹣ t+30）-（400t+300000）=-10（t-55）2+180250∵-10＜0当t=55时，W最大值=180250元，综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元． 21·世纪*教育网
【分析】（1）由已知条件：放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元，建立关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值。（2）①分情况讨论：当0≤t≤50；50＜t≤100，结合函数图像，利用待定系数法求出函数解析式；②根据以上的两种情况，再根据利润=销售总额-总成本，列出函数解析式，然后根据一次函数的性质及二次函数的性质即可求解。
7. （1）方案一；B（5，0）；（2）3.2m
解析：方案一：（1）点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为： ．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得： ，∴抛物线的解析式为： ；
（ 2 ）由题意：把 x＝3代入 ，解得： =3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．
方案二：（1）点B的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为： ．
由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得： ，∴抛物线的解析式为：
；
（ 2 ）由题意：把x＝2代入 解得： =3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．
方案三：（1）点B的坐标为（5，-5），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．
设抛物线的解析式为： ，把点B的坐标（5， ），代入解析式可得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（ 2 ）由题意：把x＝3代入 解得： = -1.8，∴水面上涨的高度为5-1.8＝3.2m． 【分析】 方案一：（1）点B的坐标为（5，0），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5） 设出抛物线的交点式，然后代入顶点坐标即可求出二次项的系数，从而求出抛物线的解析式； （2）把x=3代入所求的解析式即可算出对应的函数值，从而得出水面上涨的高度； 方案二：（1）点B的坐标为（10，0），由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），设出抛物线的交点式，然后代入顶点坐标即可求出二次项的系数，从而求出抛物线的解析式； （2）把x=2代入所求的解析式即可算出对应的函数值，从而得出水面上涨的高度； 方案三：（1）点B的坐标为（5，-5），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．设出抛物线的顶点式，然后将B点坐标代入即可求出二次项的系数，求出抛物线的解析式； （2）把x=3代入所求的解析式即可算出对应的函数值，从而得出水面上涨的高度。
8. （1）解：①当a= 时， ，将点P（0，1）代入，得： ×16+h=1，解得：h= ；
②把x=5代入 ，得： =1.625，∵1.625＞1.55，∴此球能过网（2）解：把（0，1）、（7， ）代入 ，得： ?，解得： ，∴a=
【分析】（1）由题意分别把a=- 和点P（0,1）、x=5代入解析式计算即可求解； （2）由题意知抛物线过点（0,1）和点（7， ），所以用待定系数法计算即可求解析式。
9. （1）将A（﹣4，0），C（2，0）两点代入函数解析式，得
，解得 ，
所以此函数解析式为：y= +x﹣4；（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，
∴M点的坐标为：（m， +m﹣4），
∴ = ×4×（ +m﹣4）+ ×4×（﹣m）﹣ ×4×4= ﹣4m= ，
∵﹣4＜m＜0，
当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4+8=4，
答：S关于 m的函数关系式为S= ﹣4m；m=﹣2时S有最大值S=4；（3）解：∵点Q是直线y=﹣x上的动点，
∴设点Q的坐标为（a，﹣a），
∵点P在抛物线上，且PQ∥y轴，
∴点P的坐标为（a， +a﹣4），
∴PQ=﹣a﹣（ +a﹣4）= ﹣2a+4，
又∵OB=0﹣（﹣4）=4，
以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形，
∴|PQ|=OB，
即| ﹣2a+4|=4，
① ﹣2a+4=4时，整理得， +4a=0，
解得a=0（舍去）或a=﹣4，
﹣a=4，
所以点Q坐标为（﹣4，4），
② ﹣2a+4=﹣4时，整理得， +4a﹣16=0，
解得a= ，
所以点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
综上所述，Q坐标为（﹣4，4）或（ ， ）或（ ， ）时，使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】（1）将点A,C代入 抛物线y＝ax2+bx﹣4 即可得出关于a,b的二元一次方程组，求解即可得出a,b的值，从而求出抛物线的解析式；（2）根据抛物线上的点的坐标特点，用含m的式子表示出点M的坐标，根据
建立出S与m的函数关系式，根据所得函数的性质及m的取值范围即可求出S的最大值；（3）根据直线 y=﹣x 上点的坐标特点设出Q点的坐标，根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同得出，及抛物线上点的坐标特点，用含a的式子表示出P点的坐标，从而表示出PQ的长度，根据平行四边形的性质得出 |PQ|=OB， 从而列出方程，求解并检验即可算出a的值，从而求出Q点的坐标；
二、中考演练
10. （1）解： ，
其顶点坐标为 ，
是 的伴随函数，
在一次函数 的图象上，
.
，
一次函数为： ，
一次函数与坐标轴的交点分别为 ， ，
直线 与两坐标轴围成的三角形的两直角边长度都为 ，
直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为：
（2）解：设函数 与 轴两个交点的横坐标分别为 ， ，则 ， ，
，
∵函数 与 轴两个交点间的距离为4，
，
解得， ，
函数 为： ，
其顶点坐标为 ，
是 的伴随函数，
，

【分析】（1）首先求出 的顶点坐标，然后将该点的坐标代入 即可算出p的值，从而求出直线的解析式，根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出其与两坐标轴交点的坐标，从而根据三角形的面积计算方法即可算出答案； （2） 设函数 与 轴两个交点的横坐标分别为 ， ，故 ， 就应该是方程的两个根，根据一元二次方程，根与系数的关系得出 ， ， 进而根据这两点间的距离为4，及完全平方公式的恒等变形得出 ，求解即可算出n的值，从而求出抛物线的顶点坐标，将该点的坐标代入一次函数即可算出m的值，从而得出答案。
11. （1）解：C1顶点在C2上，C2顶点也在C1上.C1顶点，易得A(-2，-1)，C2过A，D两点
则 ，解得
∴y2= x2+x+2
∴B(2，3)
（2）解：直线AB的解析式为y=x+1
①若B为直角的顶点，BE⊥AB，kBE·kAB=-1.得kBE=-1，则BE的解析式为:y=-x+521世纪教育网版权所有
联立 解得 或 ????????? 此时，E（6，-1）
②若A为直角顶点.AE⊥AB.kAE·kAB=-1，得kAE=-1则AE的解析式为y=-x-3
联立 ? 解得 或 ?????? 此时,E(10,-13)
③若E为直角的顶点.设E(m， m2+m+2)
由BE⊥AE得kBE·kAE=-1
即 =-1??? 解得.m=2或m=-2(均排除)
所以存在，E1(10，-13)或E2(6，-1)
（3）解：∵y1≤y2 ， 观察图形可得:x的取值范围为-2≤x≤2
设M(t， t2+t)?? N(t， t2+t+2)，且-2≤t≤2
易求，AF解析式为:y=-x-3
过M作×轴的平行线MQ交AF于Q
由yQ=yM ， 得，Q( t2-t-3, t2+t)
S1= |QM|·|yA-yp|
= t2+4t+6
设AB交MN于P，易知:P坐标为(t，t+1)
S2= |PN|·|xA-xB|
=2- t2
S=S1+S2=4t+8
当t=2时，有Smax=16
【分析】（1）抓住两函数互相关联的定义，由点A，B分别是抛物线C1 ， C2的顶点可得到点A的坐标，C2过A，D两点，然后将点A、D代入抛物线C2的解析式，建立关于a、c的方程组，解方程组求出a、c的值，就可求出抛物线C2的解析式；然后求出抛物线C2的解析式的顶点B的坐标。 （2）利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，再分情况讨论： ①若B为直角的顶点，BE⊥AB，kBE·kAB=-1.得kBE=-1，可得到BE的解析式，将两函数联立方程组，就可求出点E的坐标；②若A为直角顶点.AE⊥AB.kAE·kAB=-1，得kAE=-1，可求出直线AE的函数解析式，将其与二次函数联立方程组，就可求出点E的坐标；③若E为直角的顶点.设E(m，? m2+m+2)，由BE⊥AE得kBE·kAE=-1，求出点E的坐标即可。 （3）观察图像，由两函数的交点坐标就可求出y1≤y2x的取值范围；利用函数解析式，设M(t， t2+t)?? N(t， t2+t+2)，且-2≤t≤2，求出AF的函数解析式，过M作×轴的平行线MQ交AF于Q，分别列出S1与t和S2与t的函数解析式，然后由S=S1+S2可得到s与t的函数解析式，利用一次函数的性质，就可求出在此范围内S的最大值。
12. ﹣2≤m＜﹣1
解析：∵y=x2﹣4，
∴当x=0时，y=﹣4，当y=0时，x=±2，当x=1时，y=﹣3，
∴抛物线y=x2﹣4在第四象限内的部分是（0，﹣4）到（2，0）这一段曲线部分，
∵反比例函数y= （m＜0）与y=x2﹣4在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，
∴ ，
解得，﹣2≤m＜﹣1，
故答案为：﹣2≤m＜﹣1.
【分析】根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点求出抛物线与两坐标轴交点的坐标，根据抛物线的系数与图像的关系，得出抛物线的开口向上，对称轴是y轴，故抛物线y=x2﹣4在第四象限内的部分是（0，﹣4）到（2，0）这一段曲线部分，又由于反比例函数的图像不能与坐标轴相交，从而得出在这个范围内的整数点的横坐标只能为1，由于当x=1的时候，抛物线对应的函数值是-3，反比例函数y=?（m＜0）与y=x2﹣4在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，故其纵坐标只能为-1，或者-2，从而得出关于m的不等式组，求解得出m的取值范围。
13. C
解析：如图，过点C作CE⊥AB于E，?
则四边形ADCE为矩形，设CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，?则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，
在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，
∴梯形ABCD面积
∴当x=4时，S最大=24 .?
即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24 ?m2。
故答案为：C。
【分析】如图，过点C作CE⊥AB于E，?很容易判断出四边形ADCE为矩形，根据矩形的性质得出CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，?则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，在Rt△CBE中，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出,根据勾股定理及矩形的性质得出 ， 然后根据梯形的面积计算公式即可建立出S与x的函数关系式，根据函数性质即可解决问题。
14. （1）解：y＝（x﹣5）（100﹣ ×5）＝﹣10x2+210x﹣800
故y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+210x﹣800（2）解：要使当天利润不低于240元，则y≥240，
∴y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5＝240
解得，x1＝8，x2＝13
∵﹣10＜0，抛物线的开口向下，
∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13（3）解：∵每件文具利润不超过80%
∴ ，得x≤9
∴文具的销售单价为6≤x≤9，
由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5
∵对称轴为x＝10.5
∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大
∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280
即每件文具售价为9元时，最大利润为280元
【分析】（1）每件的利润为（x-5）元，由于 售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件 ，故每天少卖的数量为（ ×5 ）件，进而得出每天的实际销售量为 （100﹣ ×5） 件，根据单件的利润乘以每天的销售数量= 当天销售利润y 元，从而即可建立出y与x的函数关系式； （2）将y=240代入（1）所得的函数解析式，算出对应的自变量的值，然后根据（1）所得函数的性质即可得出当天销售单价所在的范围； （3）根据 利润不超过80% 列出不等式求出自变量x的取值范围，再将（1）所得的函数解析式配成顶点式，然后根据函数的性质即可求出答案。21教育网
15. A
解析： A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得? 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣ ，
∴y=﹣ x2+3.5．
符合题意；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
不符合题意；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
不符合题意；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
∴当x=﹣2.5时，
y=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
不符合题意．
故答案为：A．
【分析】先根据函数图像，利用待定系数法求出函数的解析式，可对选项A作出判断；再求出y=3.05时，x的值，就可得出篮圈中心的坐标，可对选项B作出判断；观察图像可直接得出顶点坐标，可对选项C作出判断；根据当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，求出x=-2.5时y的值，可对选项D作出判断，继而可得出答案。21·cn·jy·com
16. （1）y=-x2-2x+3 ；（-1，4） （2）解：如图， S△CPD:S△BPD=1:2 ，由于两个三角形等高不同底，则CD: BD=1:2，由题（1）得，当x=0时，y=3,? 故OC=3，CQ:OQ=CD:BD=1:2，则，OQ=2，BP:PO=2:1，则OP=1，∴D点的坐标为（-1,2）.（3）解： ∵ ∠OGE=15° ， ∠PEG=2∠OGE?=30°，∴∠ODE=∠PEG+∠OGE=45°，∴OD=OE，又∵E点坐标为(0，-1)， ∴D的坐标为（-1,0），∴经过OQ的直线的函数式为：y=-x-1, 把y=-x-1代入二次函数得：-x-1=-x2-2x+3, 即x2+x-4=0, 解得（舍去），, 则P的坐标为（）.?（4）解：如图P在第二象限， 设P点坐标为（x, -x2-2x+3）, 则?,?,?,?整理得：3x2+9x+7=0, △=b2-4ac=81-4×3×7=-3<0, 无解.∴不存在这样的点，使得使四边形BOCP的面积为8。教育·网】
解析：（1）把A、B坐标代入函数式得：a+b=-3, 9a-3b=-3, 解得：a=-1, b=-2, 抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3, 配方得：y=-(x+1)2+4, 则抛物线的顶点坐标为（-1，4）.【分析】(1)已知A、B点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式，再用配方法求顶点的坐标；（2）已知S△CPD:S△BPD=1:2?，由于这两个三角形等高不同底，可将面积的比转化为边CD：BD的比，过D分别作x轴、y轴的垂线，再由CD:BD的比得出D的坐标。（3）?由∠OGE=15° ， ∠PEG=2∠OGE ，通过外角转化求得OD=OE，从而求得E、D的坐标，则直线PE的函数式可求，现知直线PE的函数表达式和抛物线的函数式可求得其交点P的坐标。（4）∵P在第二象限，∴x<0,-x2-2x+3>0, 把四边形BOCP分割成如图所示的两个三角形，分别用坐标列出两个三角形的面积的函数式，于是得到四边形BOCP面积的一元二次方程，可用判别式分析它有无实数解，即是否存在点P，满足四边形BOCP的面积为8 。www-2-1-cnjy-com