5.4 一元一次方程应用2(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

浙江版2019-2020学年度七年级数学上册第5章一元一次方程
5.4 一元一次方程的应用(2)等积变形问题类型

【知识清单】
形积变换问题中，物体的形状和体积会发生变化，但问题中一定有相等关系，分为以下几种：
1.形状发生了变化，体积不变.其相等关系为：变化前物体的体积=变化后物体的体积；
2.形状、面积发生了变化，周长不变，其相等关系为：变化前图形的周长=变化后图形的周长；
【经典例题】
例题1、要锻造一个半径为12厘米，高为16厘米的圆柱毛坯，应截取半径为8厘米的圆钢(　　)
A. 48cm B. 36cm C.32cm D. 24cm
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】根据题意可知，锻造前后的体积相等，即圆柱形毛坯与圆钢的体积相等，利用此相等关系列方程，求解即可．
【解答】设应截取半径为8厘米xcm，
根据题意列，得π×122×16=π×82?x
解这个方程，得x=36．
检验：x=36适合方程，且符合题意.
故选B．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：圆柱形毛坯与圆钢的体积相等，列出方程，再求解．
例题2、养鸡专业户老张计划建一个长方形养鸡场(长边靠墙)，已知墙长17米，其他三边用篱笆围成，现有长为42米的篱笆，老张有两种方案：方案(一)长比宽多6米；方案(二)长比宽多3米，你认为哪种方案符合实际？符合实际养鸡场面积是多少平方米？
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设方案(一)的宽为x米，则长为(x+6)米，根据竹篱笆的长为42米，可得出方程，再根据墙长17米判断是否合理，同样的方法判断方案(二)即可得出答案．
【解答】设方案(一)的宽为x米，则长为(x+6)米，
根据题意得，x+x+(x+6)=42，
解得：x=12，
而墙长17米＜18米，所以方案(一)不符合实际；
同理：可得方案(二)养鸡场长为16米，小于墙长，宽为13米，面积为208平方米，
所以方案(二)设计合理，这时养鸡场的面积为208平方米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，根据篱笆长度得出方程，由墙的长度判断是否合理．
【夯实基础】
1．将一个面积为15?cm2的长方形纸片剪拼成一个一边长为5cm的三角形，则三角形中该边
上的高为(??)?
A．3?cm? ?B．6?cm? ?C．8?cm?? D．10?cm
2．用一个棱长为30厘米的正方体容器(已装满水)向一个长、宽、高分别是60厘米，20厘米和
6厘米的长方体铁盒内倒水，当铁盒内装满水时，正方体容器中水的高度下降
A．6厘米? ?B．7厘米?? ?C．8厘米? ?D．9厘米
3．要锻造一个长、宽、高分别是12cm，8cm和6cm的长方体毛坯，至少应截取直径为8cm
的圆钢的长度下面一个整数(π≈3.14)最接近的是(　　)．
A．11 B．12 C．13 cm D．14
4．从一个直径为16cm的圆柱形茶壶向一个直径为8cm，高14cm的圆柱形茶杯倒水，茶杯中
水满后，茶壶中水的高度下降了( )cm．
A．2? ?B．2.5?? ?C．3? ?D．3.5
5．如图，长方形ABCD是由8个相同的小长方形组成的，
已知DC的长为16cm，则小长方形的长为 cm，
宽为 cm.
6．一个长方形的长是宽的2倍多3，若将宽增加5cm，长减少4cm后，该长方形变成了正方形，则长方形的长为______cm．
7．长、宽、高分别为10cm、8 cm、6 cm的长方体容器装满水之后，倒入一个底面半径为4cm，高为9cm的圆柱型容器里(π≈3.14)，水 溢出(填“能”或“不能”)．
8．某市对城区主干道进行绿化，计划把某段公路的一侧全部栽上女贞树，要求路的两端各栽一棵树，并且每两颗树的间隔相等，如果每7米栽一棵树，则树苗缺19棵，如果每隔8米栽1棵，则树苗还剩1棵，求原有树苗多少棵?并求出路长.

9．儿子和爸爸在锻炼时发现：儿子每跑8步而爸爸只能跑5步，可是爸爸2步的距离相当于儿子5步的距离．如果儿子从爸爸面前跑了27步后，爸爸才开始追小明，则爸爸追上儿子至少需要跑多少步？
【提优特训】
10．用16米长的铁丝围成一个长方形使得长比宽多2米，求围成的长方形的长和宽为多少米，若设长为x米，则可列方程正确的为( )
A． x+x2=16 B．2x+2(x2)=16
C．2x+2(x+2)=16 D．x+x0.6=8
11. 如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为120cm2、160cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲
的水位高度低了10cm，则甲容器的高度为(　　)
A．20cm B．40cm C．60cm D．80cm
12．如图，用8个完全相同的长方形拼成的的图形，则图中阴影部分的面积为( )cm2
A．36 B．40 C．48 D．56


13．有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的(如图)，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，设白皮有x块，则黑皮有(32x)块，每块白皮有六条边，共6x边，因每块白皮有三条边和黑皮连在一起，故黑皮有3x条边.要求出白皮、黑皮的块数，列出的方程正确的是(　)
A. 3x=5(32x) B. 3x=32x C. 5x=3(32x) D. 6x=32x
14．如图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是4，则这个长方形的面积是 ．
15．(1)已知2a3b=4+2c，3a9b6c=6，则a的值为 ；
(2)若单项式2与单项式是同类项，则mn= .
16．若将一个不规则的铁块放入底面直径为18厘米，高为12厘米且盛满水圆柱形的容器里，捞出或发现该容器的水位下降了4厘米；若将这块不规则的铁块锻压成底面直径是12厘米圆柱形毛坯，求毛坯高是多少？
17．两个长方形的长与宽的比都是6︰5，大长方形的宽比小长方形的宽多40cm，大长方形的周长是小长方形周长的3倍，求这两个长方形的面积．
18．已知一圆柱形容器底面半径为0.6m，高为1.8m，里面盛有1.2m深的水，将底面半径为
0.3m，高为0.9m的圆柱形铁块沉入水中，问此时容器内水面高度是多少m?
19．有120米长的篱笆材料，想围成一个长方形露天仓库，在场地的北面有一堵足够长旧墙，其它三面用篱笆围成，若与墙平行的一面为长，且长比宽多12米，现请你长方形的长和宽各是多少米？
20．甲乙两个圆柱体容器底面积比为7:5，甲容器水深24厘米，乙容器水深16厘米，再往两个容器注入等量的水，使两个容器水一样，这时水深几厘米? (要求用两种不同的方法求解)
【中考链接】
21．(2018?模拟) 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯(已装满水)向一个由底面积为125×125
? mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降约多少mm？(结果保留整数??π≈314.)
22．(2018?模拟) 有A，B两个圆柱形容器，容器A的底面积是容器B的底面积的3倍，容器A内盛有12厘米高的水，容器B是空的且内壁的高度为35厘米，如果把容器A内的水倒入容器B里，问水会不会溢出？
参考答案
1、B 2、C 3、A 4、D 5、10，6 6、15 7、能 10、B 11、B 12、C 13、A
14、572 15、(1)6 (2)5
8．某市对城区主干道进行绿化，计划把某段公路的一侧全部栽上女贞树，要求路的两端各栽一棵树，并且每两颗树的间隔相等，如果每7米栽一棵树，则树苗缺19棵，如果每隔8米栽1棵，则树苗还剩1棵，求原有树苗多少棵?并求出路长.
解：第一问：设原有树苗x个，根据题意，得5×(x+211)=6×(x1)
解这个方程得x=142.
检验：x=142适合方程，且符合题意.
第二问：8×(1421)=1128(米).
∴原有树苗142棵，路长1128米.
9．儿子和爸爸在锻炼时发现：儿子每跑8步而爸爸只能跑5步，可是爸爸2步的距离相当于儿子5步的距离．如果儿子从爸爸面前跑了27步后，爸爸才开始追小明，则爸爸追上儿子至少需要跑多少步？
设爸爸把小明追上至少需要跑的步数为x步．
解这个方程，得x=30，
检验：x=30适合方程，且符合题意.
答：爸爸把小明追上至少需要跑的步数为30步．
16．若将一个不规则的铁块放入底面直径为18厘米，高为12厘米且盛满水圆柱形的容器里，捞出或发现该容器的水位下降了4厘米；若将这块不规则的铁块锻压成底面直径是12厘米圆柱形毛坯，求毛坯高是多少？
解：设锻压后的高为xcm；
则不规则的铁块的体积=排开水的体积，即π×(18÷2)2×4，
锻压后毛坯的体积=π×(12÷2)2·x；
根据题意，得π×(18÷2)2×4=π×(12÷2)2·x，
解这个方程，得x=9，
检验：x=9适合方程，且符合题意.
答：毛坯高是9厘米．
17．两个长方形的长与宽的比都是6︰5，大长方形的宽比小长方形的宽多40cm，大长方形的周长是小长方形周长的3倍，求这两个长方形的面积．
解：设小长方形的宽为5xcm，则小长方形的长为6xcm，大长方形的宽为(5x+40)cm，大长方形的长为cm，根据题意得：
，
解这个方程得：x=4，
检验：x=4适合方程，且符合题意.
则小长方形的面积为24×20=480(cm2)；
大长方形的面积为72×60=4320(cm2)．
18．已知一圆柱形容器底面半径为0.6m，高为1.8m，里面盛有1.2m深的水，将底面半径为
0.3m，高为0.9m的圆柱形铁块沉入水中，问此时容器内水面高度是多少m?
解：设容器内水面将升高x米，
根据题意，得π×0.32×0.9=π×0.62x.
解这个方程，得x=0.225.
检验：x=0.225适合方程，且符合题意.
1.2+0.225=1.425(米)
答：此时容器内水面高度是1.425m.
19．有120米长的篱笆材料，想围成一个长方形露天仓库，在场地的北面有一堵足够长旧墙，其它三面用篱笆围成，若与墙平行的一面为长，且长比宽多12米，现请你长方形的长和宽各是多少米？
解：长方形露天仓库宽为x米，则为(x+2)米，
根据题意，得x+x+x+12=120，
解这个方程得x=36.
检验：x=36适合方程，且符合题意.
则x+12=48(米).
答：这个长方形的长为48米，宽为36米.
20．甲乙两个圆柱体容器底面积比为7:5，甲容器水深24厘米，乙容器水深16厘米，再往两个容器注入等量的水，使两个容器水一样，这时水深几厘米? (要求用两种不同的方法求解)
解：等量关系：
甲容器所加水的体积=乙容器所加水的体积；
甲容器水的高度=乙容器水的高度
(1)水深为x厘米，根据题意，得
7(x24)=5(x16)，
解这个方程得，x=44(厘米).
检验：x=44适合方程，且符合题意.
所以这时水深44厘米；
(2)水的体积y立方厘米，根据题意，得

解这个方程得，y=140(厘米).
检验：y=140适合方程，且符合题意.
(厘米).
所以这时水深44厘米.
21．(2018?模拟) 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯(已装满水)向一个由底面积为125×125
? mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降约多少mm？(结果保留整数??π≈314.)
解：设玻璃杯中的水高下降xmm?
根据题意，得，
解这个方程，得.
检验：x=199适合方程，且符合题意.
答：玻璃杯中的水的高度下降约199mm.
22．(2018?模拟) 有A，B两个圆柱形容器，容器A的底面积是容器B的底面积的3倍，容器A内盛有12厘米高的水，容器B是空的且内壁的高度为35厘米，如果把容器A内的水倒入容器B里，问水会不会溢出？
解：水会溢出.
设A容器的底面积为S，则B容器的底面积为.
A容器中水的体积为12S?
设将A容器的水倒入B容器中后高度为h，根据题意，得12S=h，
解这个方程，得h=36.
检验：h=36适合方程，且符合题意.
∵36>35，
∴水会溢出.