2.3 等腰三角形的性质定理 同步训练（解析版）

初中数学浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理 同步训练
一、等边对等角
1.等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为 50°,则这个等腰三角形顶角的度数为（? ）
A.?40°???????????????????????????????B.?70°???????????????????????????????C.?40°或 70°???????????????????????????????D.?40°或 140°
2.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B的度数是（?? ）
A.?70°???????????????????????????????????????B.?55°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?40°
3.如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，∠1＝125°，则∠A＝________度.
4.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC，分别交
AB、AC于D、E.若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是________.
5.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE＝40°，则∠DBC＝________． 21世纪教育网版权所有
6.如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是 ________。
7.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B，E为AB的中点，连结CE，DE.
（1）求证：△ADE≌△BCE.
（2）若∠A＝70°，∠BCE＝60°，求∠CDE的度数．
二、三线合一
8.⊿ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是(?? )
A.?∠B=∠C??????????????????????????B.?AD⊥BC??????????????????????????C.?AD平分∠BAC??????????????????????????D.?AB=2BD
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（? ）
?
A.?35°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?55°???????????????????????????????????????D.?60°
10.下列命题中是假命题的是（?? ）
A.?同位角相等，两直线平行????????????????????????????????????B.?等腰三角形底边上的高线和中线相互重合C.?等腰三角形的两个底角相等????????????????????????????????D.?周长相等的两个三角形全等21教育网
11.如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC且AD=BD.求证：CD⊥AC

12.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，过E作EM∥AC交AB于点M，连结MD. 【来源：21·世纪·教育·网】

（1）当∠ADC=80°时，求∠CBE的度数.
（2）当∠ADC=α时:
①求证：BE=CE.
②求证：∠ADM=∠CDM.
③当α为多少度时，DM= EM.
三、中考演练
13.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（?? ）
A.?40°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?60°
14.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（?? ）
A.?20°???????????????????????????????????????B.?35°???????????????????????????????????????C.?40°???????????????????????????????????????D.?70°
15.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰 中， ，则它的特征值 ________. www-2-1-cnjy-com
16.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F. 2-1-c-n-j-y
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE.
答案解析部分
一、等边对等角
1. D
解析：当等腰三角形的顶角为锐角时，如图
∵∠ADE=50°，∠AED=90°，
∴∠A=40°；
当等腰三角形的顶角为钝角时，如图
∠ADE=50°，∠DAE=40°，
∴顶角∠BAC=180°-40°=140°。
故答案为:D。 【分析】当等腰三角形的顶角为锐角时，如图，根据垂线的定义及三角形的内角和即可算出∠A=40°；当等腰三角形的顶角为钝角时，如图，根据垂线的定义及三角形的内角和即可算出∠DAE的度数，然后根据邻补角的定义即可算出∠BAC的度数，综上所述，即可得出答案。21·cn·jy·com
2. A
解析：∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝ ＝70°，
故答案为：A．
【分析】在等腰三角形ABC中，根据顶角的∠A=40°，即可求得两个底角的度数。
3. 11
解析：设∠A＝x，
∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，
∴根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得
∠CDB＝∠CBD＝2x，∠DEC＝∠DCE＝3x，∠DFE＝∠EDF＝4x，∠FGE＝∠FEG＝5x，
则180°﹣5x＝125°，
解得x＝11°。故答案为：11。
【分析】根据等边对等角及三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠CDB＝∠CBD＝2x，∠DEC＝∠DCE＝3x，∠DFE＝∠EDF＝4x，∠FGE＝∠FEG＝5x，然后根据邻补角的定义列出方程，求解即可。www.21-cn-jy.com
4. 9
解析：∵OB是∠B的平分线，∴∠DBO=∠OBC。
又∵DE∥BC，∴∠OBC =∠BOD。∴∠DBO=∠BOD。∴DO=DB。
同理，EO=EC。
又∵AB=5，AC=4，
∴△ADE的周长=AD＋DE＋AE=AD＋DO＋EO＋AE=AD＋DB＋EC＋AE=AB＋AC=5＋4=9
【分析】根据角平分线的定义得出∠DBO=∠OBC，根据二直线平行，内错角相等得出∠OBC =∠BOD，故∠DBO=∠BOD根据等角对等边得出DO=DB；同理EO=EC，然后根据三角形周长的计算方法及线段的和差，等量代换即可算出答案。2·1·c·n·j·y
5. 15°
解析：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝65°，
∴∠DBC＝15°．
故答案为：15°．
【分析】根据垂直平分线的性质可得∠AED＝90°，由直角三角形两锐角互余得∠ABD、∠A的值，由等边对等角得∠ABC=∠C=（180°-∠A），据此可得到∠DBC的值。21·世纪*教育网
6. 100°
解析：延长BD交AC于E．
∵DA=DB=DC，
∴∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°．
又∵∠BAE=∠BAD+∠DAC=50°，
∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，
∴∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD=20°+50°+30°=100°．
故∠BDC的度数为100°．
【分析】延长BD交AC于E．根据等边对等角得出∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，从而即可算出答案。21*cnjy*com
7. （1）证明： ∵E为AB的中点，∴AE=BE，又∵AD=BC，∠A=∠B，∴△ADE≌△BCE；（2）解： 由（1）得△ADE≌△BCE，∴DE=EC，∠ADE=∠BCE=60°，∠AED=∠BEC，∵∠A=∠B=70°，∴∠AED=∠BEC=180°-60°-70°=50°，∴∠DEC=180°-50°-50°=80°，∵DE=EC，∴∠CDE=(180°-80°)=50° 【来源：21cnj*y.co*m】
【分析】（1）由E为AB中点可得AE=BE，根据AD=BC，∠A=∠B，利用SAS即可证明△ADE≌△BCE；（2）根据全等三角形的对应边相等，对应角相等可得DE=EC，∠ADE=∠BCE=60°，根据三角形内角和定理可得∠AED=∠BEC=50°，根据平角定义可得∠DEC的度数，根据等腰三角形的性质即可求出∠CDE的度数.【版权所有：21教育】
二、三线合一
8. D
解析：在△ABC中，连接AD ∵AB=AC，D为BC的中点 ∴AD⊥BC且AD平分∠BAC 故答案为：D。 【分析】根据等腰三角形的三线合一定理，即可根据D为BC的中点求出其他两组结论，进行对照选择正确答案即可。21*cnjy*com
9. C
解析：AB＝AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，
∴∠C＝ （180°﹣70°）＝55°．
故答案为：C．
【分析】由等腰三角形的三线合一的性质可知，由题意可知，AB=AC，D为BC中点，即AD⊥BC，由直角三角形的两个锐角互余，就可求得∠C的度数。
10. D
解析：A、同位角相等，两直线平行，正确，是真命题；
B、等腰三角形底边上的高线和中线互相重合，正确，是真命题；
C、等腰三角形的两个底角相等，正确，是真命题；
D、周长相等的两个三角形不一定确定，故错误，是假命题。
故答案为：D。
【分析】根据平行线的判定方法、等腰三角形的性质、三角形全等的判断方法即可一一判断得出答案。
11. 证明：过D作DE⊥AB于E，∴∠AED=90°．

∵AD=BD，∴BE=AE．
∵AB=2AC，∴AE=AC．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．
在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△EAD≌△CAD，∴∠C=∠AED=90°，∴CD⊥AC．
【分析】 过D作DE⊥AB于E ，根据垂直的定义得出 ∠AED=90°，根据等腰三角形的三线合一得出 BE=AE ，进而得出 AE=AC 根据角平分线的定义得出 ∠BAD=∠CAD ，然后根据SAS判断出 △EAD≌△CAD ，根据全等三角形对应角相等得出 ∠C=∠AED=90°，即CD⊥AC．
12. （1）解：∵AD=CD，∠ADC=80°，
∴∠ACD= （180°-80°）=50°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°-50°=40°，
∵AD//BE，
∴∠BED=∠ADC=80°，
∴∠CBE=∠BED-∠BCE=80°-40°=40°
（2）解：① ， ，
∴
∵AD=CD，
∴∠ACD= （180°- ）=90°- ，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°-∠ACD= ? ，
∴∠CBE=∠BED-∠BCE= ? ，
∴∠CBE=∠BCE，
∴BE=CE.
②延长EM交AD于F

∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AF=EC=BE
∵BE//AD，
∴∠FAM=∠EBM，∠AFM=∠BEM，
∴△AFM △BEM
∴FM=EM.
∴根据三线合一性可得∠ADM=∠CDM
③∵DF=DE，FM=EM，
∴DM⊥EM，
∵DM= EM.
∴tan∠DEM= = ，
∴∠DEM=60°，
∴∠EDM=30°，
∴ =∠ADC=2∠EDM=60°.
【分析】（1）根据三角形的内角和及等边对等角可求出∠ACD ，再根据∠ACB=90°求出∠BCE ，利用两直线平行内错角相等求出∠BED ，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出 ∠CBE的度数. （2）①利用两直线平行内错角相等求出∠BED ，再根据三角形的内角和及等边对等角可求出∠ACD ，进而可得∠BCE，由等角对等边即可证明BE=CE. ② 延长EM交AD于F ，根据等边对等角及两直线平行同位角相等可得， 进而可得DF=DE，由（1）知， AF=EC=BE ，由BE//AD，可得∠FAM=∠EBM，∠AFM=∠BEM，根据ASA可判断 △AFM △BEM ，进而得出FM=EM. ,利用等腰三角形的三线合一即可证出结论.③利用等腰三角形的三线合一可得DM⊥EM ，由 DM= EM. 可得 ∠DEM=60° ， ∠EDM=30°， 利用等腰三角形的三线合一即可求出=∠ADC=2∠EDM=60°. ?21cnjy.com
三、中考演练
13. C
解析：由作法得CG⊥AB，
∵AB＝AC，
∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B，
∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BCG＝ ∠ACB＝50°。
故答案为：C。
【分析】根据作图过程可知：CG⊥AB，然后根据等腰三角形的三线合一得出CG平分∠ACB，从而根据三角形的内角和计算出 ∠BCG的度数 。【出处：21教育名师】
14. B
解析：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB= （180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE= ∠ACB=35°．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=?（180°-∠CAB）=70°．根据角平分线的定义即可得出答案。21教育名师原创作品
15. 或
解析：①当 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为： ，
∴特征值 ； ②当 为底角时，顶角的度数为： ，
∴特征值
综上所述，特征值 为 或 。
故答案为： 或 。 【分析】由于此题没有明确的告知∠A是顶角还是底角，故需要分：①当 为顶角时，②当 为底角时，两种情况分别根据等边对等角及三角形的内角和算出三角形的底角或顶角，再根据 “特征值” 的定义即可求出答案。
16. （1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE.
【分析】（1）根据等边对等角得出 ∠C＝∠ABC36°， 根据等腰三角形的三线合一得出 AD⊥BC， 故 ∠ADB＝90°， 从而根据直角三角形的两锐角互余算出∠BAD的度数； （2）根据角平分线的定义得出 ∠ABE＝∠CBE，根据二直线平行内错角相等得出 ∠FEB＝∠CBE， 故 ∠FBE＝∠FEB， 根据等角对等边得出 FB＝FE.