初中数学浙教版八年级上册2.6 直角三角形 同步训练
一、直角三角形两个锐角互余
1.将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置,若∠AOC=20°,则∠BOD=(?? )
A.?10°???????????????????????????????????????B.?20°???????????????????????????????????????C.?70°???????????????????????????????????????D.?80°
2.如图,在?ABCD中,AE⊥CD于点E,∠B=65°,则∠DAE等于( ??)
A.?15°???????????????????????????????????????B.?25°???????????????????????????????????????C.?35°???????????????????????????????????????D.?65°
3.如图,直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACB交AB于E,EF⊥AB交CB于F.
(1)求证:CD∥EF;
(2)若∠FEC=25°,求∠A的度数.
二、直角三角形斜边上的中线
4.如图,O为线段AB的中点,AB=4cm,P1、P2、P3、P4到点O的距离分别是1cm、2cm、2.8cm、1.7cm,下列四点中能与A、B构成直角三角形的顶点是(?? ) 21世纪教育网版权所有
A.?P1?????????????????????????????????????????B.?P2?????????????????????????????????????????C.?P3?????????????????????????????????????????D.?P4
5.如图,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,点E是BD的中点,连接AE.若BD=13,则AC=________. 2·1·c·n·j·y
6.如图,在△ABC中,BC=9,AD是BC边上的高,M、N分别是AB、AC边的中点,DM=5,DN=3,则△ABC的周长是________. 21·世纪*教育网
7.已知:如图,四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,点E为AC中点,点F为BD中点.求证:EF⊥BD
8.小明在学完北师大数学八年级(下)第一章后,看到这样一道题目:“已知,如图,∠ABC=∠ADC=90°,M、N分别是AC、BD的中点,求证:MN⊥BD”.小明思考片刻,找到了解决方法,他做了辅助线。聪明的你知道他做的辅助线是什么吗?怎么证明的?小明又突然想到,在边AD上能找一点P,使得PB=PD,请你写出证明过程。 2-1-c-n-j-y
9.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90o,点D是AB的中点,点E是CD的中点,过C作CF∥AB交AE的延长线于点F,连BF. 【来源:21cnj*y.co*m】
(1)求证:△ADE≌△FCE;
(2)若∠DCF=120o,DE=2,求BC的长.
三、含30度角的直角三角形
10.若等腰三角形的底角为15°,则一腰上的高是腰长的( ??)
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?1倍????????????????????????????????????????D.?2倍
11.如图由于台风的影响,一棵树在离地面 处折断,折断后树干上部分与地面成30度的夹角,折断前长度是? (????????? )
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?.
12.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2,则AB的长是(???? )
A.?2???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?16
13.如图所示, 中, , , 的垂直平分线 交 于点 ,交 于点 .求证: .
14.已知:在一个直角三角形中30°角所对的直角边为3cm,则斜边长为________.
15.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PD=3cm,则PC的长为________cm.
四、直角三角形的判定
16.已知△ABC中,∠A=20°,∠B=70°,那么△ABC是(?? )
A.?直角三角形????????????????????????B.?锐角三角形????????????????????????C.?钝角三角形????????????????????????D.?正三角形
17.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,△ABD和△AFD关于直线AD对称,∠FAC的平分线交BC于点G,连接FG.
(1)求∠DFG的度数;
(2)设∠BAD=θ,
①当θ为何值时,△DFG为等腰三角形;
②△DFG有可能是直角三角形吗?若有,请求出相应的θ值;若没有,请说明理由.
五、中考演练
18.如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为(?? )
A.?4??????????????????????????????????????????B.?6??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?8
19.如图,在四边形 中, .若将 沿 折叠,点 与边 的中点 恰好重合,则四边形 的周长为________.
20.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,则AD的取值范围是________?.
21.著名画家达芬奇不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规如图所示,有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计),一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动,将笔插入位于木棒中点P处的小孔中,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20cm,则画出的圆的半径为________cm.
答案解析部分
一、直角三角形两个锐角互余
1. B
解析:由图可得,∠AOC、∠BOD都是∠BOC的余角,则∠BOD=∠AOC=20°.故答案为:B
【分析】在直角三角形AOB中,∠AOC+∠COB=90°;在直角三角形COD中,∠COD+∠BOD=90°。根据同角的余角相等,即可得到∠AOC=∠BOD。
2. B
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∠B=65°
∴∠D=∠B=65°,
∵AE⊥CD,
∴∠DAE=90°-65°=25°,
故答案为:B. 【分析】根据平行四边形的对角相等得出∠D=∠B=65°,然后根据直角三角形的两锐角互余即可算出 ∠DAE 的度数。
3. (1)证明:
∵CD⊥AB,EF⊥AB,
∴CD∥EF;(2)解:
∵CD∥EF,∠FEC=25°
∴∠FEC=∠DCE=25°
∵∠ACB=90°,CE平分∠ACB,
∴∠ACE=45°,
∴∠ACD=45°-25°=20°,
∵CD⊥AB,
∴∠A=90°-∠ACD=70°
【分析】(1)根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出 CD∥EF; (2)根据二直线平行,内错角相等得出 ∠FEC=∠DCE=25° ,根据角平分线的定义得出 ∠ACE=45°, 进而根据角的和差得出∠ACD的度数,最后根据直角三角形的两锐角互补即可算出∠A的度数。
二、直角三角形斜边上的中线
4. B
解析:∵OA=OB= , OP2=2, ∴OA=OB=OP2 , ∴∠AP2B=90°。 故答案为:B 【分析】如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形,据此即可判断。
5. 6.5
解析:∵AD⊥AB,点E是BD的中点,
∴AE=BE=ED= DB=6.5,
∴∠B=∠BAE,
∴∠AED=2∠B,
∵∠C=2∠B,
∴∠AEC=∠C,
∴AC=AE=6.5.
故答案为:6.5.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得AE=BE=ED= DB=6.5,由等边对等角,可得∠B=∠BAE.根据三角形的外角的性质,可得∠AED=2∠B,结合已知可得∠AEC=∠C,利用等角对等边,求出AC=AE=6.5.www.21-cn-jy.com
6. 25
解析:∵在△ABC中,AD是BC边上的高,M、N分别是AB、AC边的中点,
∴AB=2DM=10,AC=2DN=6,
又BC=9,
∴△ABC的周长是:AB+AC+BC=10+6+9=25.
故答案是:25. 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB=2DM=10,AC=2DN=6,从而根据三角形周长的计算方法即可算出答案。【出处:21教育名师】
7. 证明:如图,连接BE、DE,
∵∠ABC=90°,∠ADC=90°,点E是AC的中点,
∴BE=DE= AC,
∵点F是BD的中点,
∴EF⊥BD
【分析】 连接BE、DE, 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 BE=DE= AC,由等腰三角形的三线合一可得 EF⊥BD 。【版权所有:21教育】
8. 解:连接BM、CM,
?,M是AC的中点,
?,
?又N是BD的中点
所以
作线段BD的垂直平分线交AD与点P
根据线段的垂直平分线的性质可得PB=PD
【分析】连接BM、CM,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=AC,DM=AC,进而求出BM=DM,再根据等腰三角形的三线合一即可求解. ?
9. (1)证明:∵点E是CD的中点,
∴DE=CE,
∵CF∥AB,
∴∠DAE=∠F,
在△ADE和△CFE中,
∵ ,
∴△ADE≌△CFE(AAS)(2)解:由(1)得,CD=2DE,∵DE=2,∴CD=4。∵点D为AB的中点,∠ACB=90°,∴AB=2CD=8,AD=CD=AB。∵AB∥CF,∴∠BDC=180°-∠DCF=180°-120°=60°,∴∠DAC=∠ACD=∠BDC=×60°=30°,∴BC=AB=×8=4.
【分析】(1)根据线段的中点,可得DE=CE,根据两直线平行内错角相等可得∠DAE=∠F,利用“AAS”可证△ADE≌△CFE. (2)由(1)知CD=2DE=4,根据两直线平行同旁内角互补,可得出∠BDC=60°,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=CD,从而可得△BDC是等边三角形,?利用等边三角形的三边相等,可得BC=DC=4.
三、含30度角的直角三角形
10. B
解析:过点C作BA延长线的垂线,根据题意可知,∠DAC=∠B+∠ACB=30° ∴在直角三角形ADC中,CD=AC,故答案为:B。 【分析】根据题意作出等腰三角形的一个腰上的高,由三角形的外角定理得到∠DAC的度数,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到答案。
11. C
解析:如图,
∵∠BAC=30°,∠BCA=90°,
∴AB=2CB,
而BC=3米,
∴AB=6米,
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=9米.
故答案为:C.
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB=2CB=6,进而根据这棵大树在折断前的高度=AB+BC即可算出答案。【来源:21·世纪·教育·网】
12. C
解析:在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,可以得到∠B+∠A=∠DCA+∠A=90°,由此可以推出∠DCA=∠B=30°,然后利用30°所对的直角边等于斜边的一半分别求出AC,AB.
在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高
∴∠B+∠A=∠DCA+∠A=90°
∴∠DCA=∠B=30°(同角的余角相等),
∵AD=2cm,
在Rt△ACD中,AC=2AD=4cm,
在Rt△ABC中,AB=2AC=8cm.
∴AB的长度是8cm
故答案为:C. 【分析】根据同角的余角相等,可得∠DCA=∠B=30°,利用30°角所对的直角边等于斜边的一半,先求出AC=2AD=4cm,从而求出AB=2AC=8cm.21·cn·jy·com
13. 解:连接AF,
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C= =30°,
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F,
∴CF=AF(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等),
∴∠FAC=∠C=30°(等边对等角),
∴∠BAF=∠BAC﹣∠FAC=120°﹣30°=90°,
在Rt△ABF中,∠B=30°,
∴BF=2AF(在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半),
∴BF=2CF(等量代换).
【分析】 连接AF, 根据等边对等角及三角形的内角和定理可得 ∠B=∠C=30°, 由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CF=AF ,根据等边对等角求出∠FAC=∠C=30° ,进而可得 ∠BAF =90°, 在Rt△ABF中 ,利用30°角所对的直角边等于斜边的一半 及等量代换即可证出.
14. 6cm
解析:∵直角三角形中30°角所对的直角边为3cm, ∴斜边长为6cm.故答案为:6cm
【分析】根据含30°直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可算出答案。
15. 6
解析:如图,作PH⊥OB于H.
∵∠POA=∠POB,PH⊥OB,PD⊥OA,
∴PH=PD=3cm,
∵PC∥OA,
∴∠POA=∠CPO=15°,
∴∠PCH=∠COP+∠CPO=30°,
∵∠PHC=90°,
∴PC=2PH=6cm。
故答案为:6。
【分析】如图,作PH⊥OB于H,根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PH=PD=3cm,根据二直线平行,内错角相等及三角形的外角定理得出∠PCH=∠COP+∠CPO=30°,从而根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出PC的长。21教育网
四、直角三角形的判定
16. A
解析:∵△ABC中,∠A=20°,∠B=70°,
∴∠C=180°-20°-70°=90°,
∴△ABC是直角三角形.
故答案为:A.
【分析】根据三角形的内角和定理可知,第三个角的度数为90°,即可判断三角形为直角三角形。
17. (1)解:∵AB=AC,∠BAC=100°,
∴∠B=∠C=40°.
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称,
∴△ADB≌△ADF,
∴∠B=∠AFD=40°,AB=AF∠BAD=∠FAD=θ,
∴AF=AC.
∵AG平分∠FAC,
∴∠FAG=∠CAG.
在△AGF和△AGC中,
,
∴△AGF≌△AGC(SAS),
∴∠AFG=∠C.
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG,
∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°.(2)解:①当GD=GF时,
∴∠GDF=∠GFD=80°.
∵∠ADG=40°+θ,
∴40°+80°+40°+θ+θ=180°,
∴θ=10°.
当DF=GF时,
∴∠FDG=∠FGD.
∵∠DFG=80°,
∴∠FDG=∠FGD=50°.
∴40°+50°+40°+2θ=180°,
∴θ=25°.
当DF=DG时,
∴∠DFG=∠DGF=80°,
∴∠GDF=20°,
∴40°+20°+40°+2θ=180°,
∴θ=40°.
∴当θ=10°,25°或40°时,△DFG为等腰三角形;
②当∠GDF=90°时,
∵∠DFG=80°,
∴40°+90°+40°+2θ=180°,
∴θ=5°.
当∠DGF=90°时,
∵∠DFG=80°,
∴∠GDF=10°,
∴40°+10°+40°+2θ=180°,
∴θ=45°,
综上所述,当θ=5°或45°时,△DFG为直角三角形
【分析】(1)根据题目条件,证明△ABD≌AFD,根据三角形全等的性质即可判断△AFG≌△ACG,得出∠DFG的度数即可。 (2)①根据题意可知,利用等腰三角形的性质即可得到以下几种情况,GD=GF,DF=GF,DF=DG进行求解即可。 ②若三角形为直角三角形,根据题意则∠GDF或者∠DGF等于90°,根据所设的角的情况,求出角的数值即可。www-2-1-cnjy-com
五、中考演练
18. B
解析:∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,21*cnjy*com
∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,
∴∠ACB=2∠B,NM=NC,
∴∠B=30°,
∵AN=1,
∴MN=2,
∴AC=AN+NC=3,
∴BC=6,
故答案为:B.
【分析】根据角平分线的定义平行线的性质得出∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,根据等量代换及等角对等边得出∠ACB=2∠B,NM=NC,根据直角三角形的两锐角互余得出∠B=30°,根据含30o角的直角三角形的边之间的关系得出MN=2,进而得出BC=6,21cnjy.com
19. 20
解析:∵BD⊥AD,点E是AB的中点,
∴DE=BE= AB=5,
由折叠可得,CB=BE,CD=ED,
∴四边形BCDE的周长为5×4=20,
故答案为:20. 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可得到DE和BE的长度,即可得到四边形BCDE的周长。21教育名师原创作品
20.2<AD<8
解析:如图,延长BC交AD的延长线于E,作BF⊥AD于F. 在Rt△ABE中,∵∠E=30°,AB=4,∴AE=2AB=8,在Rt△ABF中,AF= AB=2,∴AD的取值范围为2<AD<8,故答案为2<AD<8.【分析】延长BC交AD的延长线于E,作BF⊥AD于F.构造直角三角形,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,就可求出AE的长及AF的长,从而可求出AD的取值范围。21*cnjy*com
21.10
解析:连接OP, ∵△AOB是直角三角形,P为斜边AB的中点,∴OP= AB,∵AB=20cm,∴OP=10cm,【分析】将实际问题转化为数学问题,利用直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,就可求出OP的长。