2.8 直角三角形全等的判定 同步训练（解析版）

初中数学浙教版八年级上册2.8 直角三角形全等的判定 同步训练
一、基础夯实
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，判定△ABD≌△ACD最简单的方法是________．21教育网
2.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“________”. 21cnjy.com
3.如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌________，全等的根据是________．
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4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，E为△ABC外一点，连接DE，AE和BE，AD=DE，BE∥AC.求证：∠BED=∠DAB. www.21-cn-jy.com
5.如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF＝BE，CE＝DF，求证：∠C＝∠D．

6.已知DC=EC，AB∥DC，∠D=90°， AE⊥BC于点E．求证：∠ACB=∠BAC．

7.判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边对应相等（2）两边对应相等（3）两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是________. 21·世纪*教育网
8.如图，∠C＝∠D＝90o，添加一个条件：________ (写出一个条件即可)，可使 Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．
二、综合演练
9.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(?? )
A.?两个锐角对应相等??????????????????????????????????????????????B.?一条直角边和一个锐角对应相等C.?两条直角边对应相等???????????????????????????????????????????D.?一条直角边和斜边对应相等
10.如图6所示，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，要利用“HL”判定△ABC≌△ABD成立，还需要添加的条件是(?? )21*cnjy*com
A.?∠BAC＝∠BAD???????????????B.?BC＝BD或AC＝AD???????????????C.?∠ABC＝∠ABD???????????????D.?AB为公共边
11.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是(? ??)2·1·c·n·j·y
A.?①②④?????????????????????????????????B.?①②③?????????????????????????????????C.?②③④?????????????????????????????????D.?①③
12.如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，平行四边形 的顶点 在反比例函数 上，顶点 在反比例函数 上，点 在 轴的正半轴上，则平行四边形 的面积是（?? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
13.如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=________时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等．
14.如图，C，D是∠AOB内两点，求作一点P，使P到OA、OB的距离相等，并且PC=PD。
15.如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，试证明BD平分EF．
16.如图所示∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在BC上且BE=CF．

（1）求证：AF=DE．
（2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，过点C作CF∥BD交ED的延长线于点F。

（1）求证：△BED≌△BCD；
（2）若∠A=36°，求∠CFD的度数。
18.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.
答案解析部分
一、基础夯实
1.HL
解析：HL，理由是：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴在Rt△ADB和Rt△ADC中?∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），故答案为：HL【分析】根据垂直可以得出∠ADB=∠ADC=90°，然后根据AB＝AC，AD=AD,由HL判断出Rt△ADB≌Rt△ADC.
2.斜边；直角边；HL
解析：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”【分析】根据直角三角形全等的判定定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”即可得出答案。
3.△DFE；HL
解析：EB＋BF＝FC＋BF，即EF＝BC，斜边相等【分析】根据等式的性质由EB＝FC得出EF＝BC，这两个直角三角形中有一条直角边对应相等，斜边也对应相等，故可以利用HL判断出ΔABC≌△DFE。
4. 证明：如图，作DN⊥AB，DM⊥BE，垂足分别为N，M，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C∵BE∥AC，∴∠C=∠DBM∴∠NBD=∠MBD即BD平分∠ABM∵DN⊥AB，DM⊥BE，∴DM=DN在△AND和△EMD中 ∴Rt△AND≌Rt△EMD(HL)，∠DAB=∠BED【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】作DN⊥AB，DM⊥BE，垂足分别为N，M， 利用等边对等角，可证得∠ABC=∠C，利用平行线的性质，易证∠C=∠DBM，就可证得BD平分∠ABM，再利用角平分线的性质，可证得DN=DM，然后利用HL证明△AND≌△EMD，利用全等三角形的对应角相等，可证得结论。
5. 证明：∵AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AF＝BE，
∴AE＝BF，
∵CE＝DF，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），
∴∠C＝∠D．
【分析】先根据等量加等量和相等得出 AE＝BF， 然后利用“HL”判断Rt△ACE≌Rt△BDF，由全等三角形的对应角相等可得 ∠C＝∠D．
6. 证明：∵AB∥DC
∴∠ACD＝∠BAC
∵AE⊥BC
∴∠AEC＝90°
在Rt△ACE和Rt△ACD中

∴Rt△ACE≌Rt△ACD（HL)
∴∠ACB＝∠ACD.
∴∠ACB＝∠BAC.
【分析】根据直角三角形的判定定理（HL）可判断出三角形全等，根据全等三角形的性质可得出对应角相等。
7. （1）和（2）
解析：∵（1）一锐角与一边对应相等，
可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，（2）两边对应相等，可利用HL或ASA判定两直角三角形全等；（3）两锐角对应相等，缺少对应边相等这一条件，21世纪教育网版权所有
所以不能判定两直角三角形全等。
故答案为：（1）和（2）。
【分析】利用三角形全等的判定方法：AAS,SAS,SSS,ASA，及直角三角形特殊的判定方法;HL即可一一判断得出答案。【来源：21cnj*y.co*m】
8.AC＝AD等(答案不唯一)
解析：已知条件有：∠C=∠D=90°，AB=AB，所以添加条件AC＝AD可以根据HL判定Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．故答案为AC＝AD【分析】开分性的命题，答案不唯一，由于题中已经具有一对直角对应相等，一组公共边对应相等，如再添加AC＝AD，或BC=BD可以利用HL判断出Rt△ABC 与Rt△ABD 全等，若再添加∠CAB=∠DAB,或∠ABC=∠ABD,可以利用AAS判断出Rt△ABC 与Rt△ABD 全等。
二、综合演练
9. A
解析：A、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；
B、正确，符合判定AAS；
C、正确，符合判定SAS；
D、正确，符合判定HL．
故答案为：A
【分析】两直角三角形中，已经具有一对直角对应相等，如果添加两个锐角对应相等，则这两个三角形是三个角对应相等，三个角对应相等的三角形只是相似，不一定全等；如果添加一条直角边和一个锐角对应相等，可以利用ASA判定这两个直角三角形全等；如果添加两条直角边对应相等，可以利用SAS判定这两个直角三角形全等，如果添加一条直角边和斜边对应相等，可以利用HL判定这两个直角三角形全等.
10. B
解析：需要添加的条件为BC=BD或AC=AD,理由为:
若添加的条件为BC=BD,
在Rt△ABC与Rt△ABD中,
∵ ,
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）,
若添加的条件为AC=AD,
在Rt△ABC与Rt△ABD中,
∵ ,
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）,
故答案为：B
【分析】题中的两个直角三角形中已经具有斜边对应相等，要想利用HL判定出它们全等，只需要添加一条直角边对应相等即可。
11.A
解析：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴EB=EF,又∵AE=AE
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°，所以①正确．
故答案为：A
【分析】过E作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出EB=EF,然后利用HL判断出Rt△AEF≌Rt△AEB，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出AB=AF，∠AEF=∠AEB；根据中点的定义从而得出EC=EF=BE；然后利用HL判断出Rt△EFD≌Rt△ECD，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出DC=DF，∠FDE=∠CDE，然后根据线段的和差及等量代换，由AD=AF+FD=AB+DC得出AD＝AB＋CD，根据平角的定义及角的和差得出∠AED=∠AEF+∠FED=?∠BEC=90°。
12. C
解析：如图作 轴于 ，延长 交 轴于 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
轴，
，
，
根据系数 的几何意义， ， ，
四边形 的面积 ，
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的判定定理（HL）可利用面积关系解出四边形的面积。
13.3或6
解析：AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵ ，AQ⊥AC，
∴ ?
①当AP=3=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL)；
②当AP=6=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中 ?
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL)，
故答案为：3或6
【分析】根据直角三角形的判定方法HL，当AP=BC时，得到Rt△ACB≌Rt△QAP，当AP=AC时，得到Rt△ACB≌Rt△PAQ.www-2-1-cnjy-com
14.解：作法：①作∠AOB的平分线OE；②连CD，作CD的垂直平分线MN，与OE交于点P；点P 即为所求的点，如图：2-1-c-n-j-y
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，故P点应该是∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线的交点，从而即可得出答案。
15.证明∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°．∵AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF．?即AF＝CE．??在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,AF=CF，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．在△BFG和△DEG中∠BFG=∠DEG,∠BGF=∠DGE，BF=DE∴△BFG≌△DEG（AAS），∴FG＝EG，即BD平分EF 21*cnjy*com
【分析】根据等式的性质，由AE＝CF，得出AF＝CE．然后利用HL判断出Rt△ABF≌Rt△CDE，根据全等三角形对应边相等得出BF＝DE．然后再利用AAS判断出△BFG≌△DEG，根据全等三角形对应边相等得出FG＝EG，即BD平分EF。【出处：21教育名师】
16. （1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°
∴△ABF与ADCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，

∴Rt△ABF=Rt△DCE（HL），
∴AF=DE（2）证明：∵Rt△ABF=Rt△DCE（已证），
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∵OP⊥FE
∴OP平分∠EOF
【分析】（1）由BE=CF，可得到BF=CE，在Rt △ABF与Rt△ADC中，利用“HL”定理即可证得Rt△ABF=Rt△DCE，可得AF=DE； 【版权所有：21教育】
（2）由（1）中结论可判断∠AFB=∠DEC，△OEF是等腰三角形，根据“三线合一”即可判断OP平分∠EOF。
17. （1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴ED=DC，在Rt△BED 与R t△BCD中， ，∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL）.（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，∠A=36°，∴∠ABD=∠DBC=27°，∴∠BDC=∠BDE=63°，∵CF∥BD，∴∠CFD=∠BDE=63°
【分析】（1）对于两个直角三角形，根据HL定理易证；
（2）由角平分线，直角三角形以及平行线的性质可得。
18. （1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；（2）证明：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中， ，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可证CE=CF，利再用HL可证得结论。 （2）利用HL证明Rt△FAC≌Rt△EAC，可得到AE=AF，再由（1） 的结论，可证得BE=DF，然后再根据AB=AE+BE，AD=AF-DF，代入整理就可证得结论。21·cn·jy·com