第1章 三角形的初步知识单元培优测试卷（原卷+解析卷）

浙教版八上数学第1章《三角形的初步知识》培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9-2a|- 的结果是（ ??）
A.?12-4a?????????????????????????????????????B.?4a-12?????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????D.?-12
2.下列命题中的假命题是（ ??）
A.?同旁内角互补?????????????????????????????????????????????????B.?三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和C.?三角形的中线，平分这个三角形的面积???????????D.?全等三角形对应角相等
3.如图,在△ABC中,点D、E分别是边AC,AB的中点,BD,CE相交于点O,连接AO,在AO上取一点F,使得OF= AF若S△ABC =12,则四边形OCDF的面积为（?? ）
A.?2??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
4.如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ??）
A.?24?????????????????????????????????????????B.?30?????????????????????????????????????????C.?36?????????????????????????????????????????D.?42
5.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，Ac=8 cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是(??? )
A.?4 cm???????????????????????????????????B.?6 cm???????????????????????????????????C.?8 cm???????????????????????????????????D.?9 cm
6.将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则 的度数是（?? ）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
7.如图，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1BlC1的面积是（? ?）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
8.画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（?? ）
A.???????B.???????C.??????D.?
9.如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为(?? )
A.?16厘米???????????????????????????????B.?18厘米???????????????????????????????C.?26厘米???????????????????????????????D.?28厘米
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
10.小李把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于（ ??）
A.?150°????????????????????????????????????B.?180°????????????????????????????????????C.?210°????????????????????????????????????D.?270°
11.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：
①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE? ③DE=BE? ④AD=AB+CD，
四个结论中成立的是（?? ）
A.?①②④?????????????????????????????????B.?①②③?????????????????????????????????C.?②③④?????????????????????????????????D.?①③
12.如图， ， 、 、 分别平分 、 和 。以下结论:① ;② ;③ ;④ .? 其中正确的结论是（ ??）
A.?①②③????????????????????????????????B.?②③④????????????????????????????????C.?①③④????????????????????????????????D.?①②④
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13.AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，∠B=50°, ∠C=70°, 则∠EAD=________
（第13题） （第15题） （第16题） （第17题） （第18题）
14.把命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么………”的形式是__ ____；
15.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中： ①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S= AC?BD．正确的是________（填写所有正确结论的序号）
16.如图，线段AE，BD交于点C，AB=DE，请你添加一个条件________，使得△ABC≌△DEC．
17.如图，在△ABC中，OB，OC分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且∠A＝70°，则∠BOC＝________.
18.如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=8，CF=5，则BD=________．
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
19.（6分）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG垂直AE，垂足分别为F,G.求证：BF-DG=FG.
20.（8分）如图，CD是∠ACB的平分线，EF⊥CD于H，交AC于F，交BC于G.
求证：①∠CFG=∠CGF；② .
21.（10分）（1）如图，在四边形ABCD中，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB.若∠A+∠B=140°，求∠DEC的度数;
（2）如图，四边形ABCD沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABCD内的点C′、D′处，探索∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图，将四边形ABCD沿着直线MN翻折，使得点D落在四边形ABCD外部的D′处，点C落在四边形ABCD内部的C′处，写出∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B之间的关系.
22.（10分）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，显然有：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
23.（10分）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补.
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在(2)的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由.
24.（12分）在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B.C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC.设∠BAC=α，∠BCE=β.
（1）如图1,如果∠BAC=90°，∠BCE=________度；
（2）如图2，你认为α、β之间有怎样的数量关系?并说明理由。
（3）当点D在线段BC的延长线上移动时，α、β之间又有怎样的数量关系?请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论。
25.（10分）如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．


浙教版八上数学第1章《三角形的初步知识》培优测试卷
参考答案
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. C
7. D 8. C 9. B 10. C 11.A 12. D
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13. 10°
14. 如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等
15. ①④
16. ∠A=∠E（或∠B=∠D）
17. 125°
18. 3
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
19. 证明：∵正方形ABCD∴∠DAB=90°，AD=AB∵ BF⊥AE，DG⊥AE∴∠AGD-=∠AFB=90°∵∠DAG+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°∴∠DAG=∠ABF在△ADG和△BAF中 ∴△ADG≌△BAF（AAS）∴AF=DG，BF=AG∵BF-DG=AG-AF=FG
20. 证明：①∵CD是∠ACB的平分线，EF⊥CD于H，
∴∠FCH=∠GCH，
∵在△CFH和△CGH中，

∴△CFH≌△CGH(ASA)，
∴∠CFG=∠CGF；
②∵∠E+∠BGE=∠ABC,
∴∠BAC+∠ABC=∠BAC+∠E+∠BGE，
∵∠CGF=∠BGE，
∴∠BAC+∠ABC=∠BAC+∠E+∠CGF，
∵∠BAC+∠E=∠CFG，
∴∠BAC+∠ABC=∠CFG+∠CGF，
∵∠CFG=∠CGF，
∴
21.解 （1）∠A+∠B=140°，∴∠ADC+∠ABC=360°-(∠A+∠B)=220°，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB.
∴∠EDC+∠ECD= (∠ADC+∠ABC)=110°，
∴∠DEC=180°-(∠EDC+∠ECD)=70°，
（2）∵∠AMD′=180°-2∠DMN,
∠BNC′=180°-2∠CMN，
又∠A+∠B=∠DMN+ CMN
∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2（∠A+∠B）
（3）∵2∠DMN-∠AMD′=180°则2∠DMN=∠AMD′+180°
∠BNC′=180°-2∠CMN，则2∠CMN=180°-∠BNC′
又∠A+∠B=∠DMN+ CMN
∴∠AMD′-∠BNC′=2（∠A+∠B）-360°
22. （1）解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC与△CEB中，
∠ADC=∠CEB，∠ACD=∠CBE，AC=CB，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB (AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD
（2）解：∵∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=∠CBE+∠ECB=90°，
∴∠ACD=∠CBE
在△ADC与△CEB中，
∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD=∠CBE，AC=CB，
∴△ADC≌△CEB (AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE
（3）解：DE=BE-AD.
理由：同（1）（2）证法可得△ADC≌△CEB ，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．
23. （1）解：如图1，∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°.
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD
（2）证明：如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF.
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH
（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：
如图3，∵∠1=∠2，
∴∠3=2∠2.
又∵GH⊥EG，
∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2.
∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2.
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠2.
∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°，
∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°.
24. （1）90（2）解：由(1)中可知β=180°?α，
∴α、β存在的数量关系为α+β=180°
（3）解：连接AD，作AE使得∠DAE=∠BAC，AE=AD，连接DE、CE，可得下图：
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE；
在△ABD和△ACE中，
?
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
∴∠B=∠ACE；
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°?∠BAC.
∴α、β存在的数量关系为α+β=180°
25. （1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°- ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
浙教版八上数学第1章《三角形的初步知识》培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9-2a|- 的结果是（ ??）
A.?12-4a?????????????????????????????????????B.?4a-12?????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????D.?-12
答案： A
考点：三角形三边关系，绝对值的非负性
解析：根据三角形的三边长为 a、1、3， 可得知a＜1+3=4，a＞3-1=2，∴2＜a＜4 ∴ |9-2a|- =9-2a- =9-2a+（3-2a） =12-4a.
故答案为：A.
分析：根据三角形的三边的关系，可利用算数平方根的和绝对值的非负性，计算结果。
2.下列命题中的假命题是（ ??）
A.?同旁内角互补?????????????????????????????????????????????????B.?三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和C.?三角形的中线，平分这个三角形的面积???????????D.?全等三角形对应角相等
答案： A
考点：同位角、内错角、同旁内角，三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质，全等三角形的性质，命题与定理
解析：解:A. 在两条直线相互平行的情况下，同旁内角互补，所以A符合题意;
B. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以B不符合题意;
C. 三角形的中线，平分这个三角形的面积，所以C不符合题意;
D. 全等三角形对应角相等，所以D不符合题意。
故答案为：A。 分析：A、只有在二直线平行的情况下，同旁内角才会互补，所以A符合题意; B、根据三角形的外角定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以B不符合题意; C、根据句等底同高的三角形的面积相等得出：三角形的中线，平分这个三角形的面积，所以C不符合题意; D、全等三角形的对应边相等，对应角也相等，所以D不符合题意。
3.如图,在△ABC中,点D、E分别是边AC,AB的中点,BD,CE相交于点O,连接AO,在AO上取一点F,使得OF= AF若S△ABC =12,则四边形OCDF的面积为（?? ）
A.?2??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?
答案： B
考点：三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积
解析：解：∵点D、E分别是边AC,AB的中点，
∴O为△ABC的重心，
∴ =4,
∴ =2,
∵OF= AF，
∴ = ,
∴S阴= + = .
故答案为：B.
分析：三角形两边中线的交点就是三角形的重心，根据三角形重心的性质即可得出 =4,根据等底同高三角形的面积相等得出 =2,根据等高三角形的面积之间的关系就是底之间的关系得出 = ,从而由S阴= + 即可算出答案。
4.如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ??）
A.?24?????????????????????????????????????????B.?30?????????????????????????????????????????C.?36?????????????????????????????????????????D.?42
答案： B
考点：三角形的面积，角平分线的性质
解析：解：延长BA,过点D作DE⊥BA交其延长线于点E，如图，
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DE⊥BE，CD=4，
∴DE=DC=4,
又∵AB=6，BC=9，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD ，
= ·AB·DE+ ·BC·CD，
= ×6×4+ ×9×4，
=12+18，
=30.
故答案为：B.
分析：延长BA,过点D作DE⊥BA交其延长线于点E，根据角平分线性质得DE=DC=4,由S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD ， 代入数据计算即可得出答案.
5.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，Ac=8 cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是(??? )
A.?4 cm???????????????????????????????????B.?6 cm???????????????????????????????????C.?8 cm???????????????????????????????????D.?9 cm
答案： C
考点：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形
解析：解：∵F是高AD和BE的交点， ∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°， ∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°， ∵∠AFE=∠BFD， ∴∠CAD=∠FBD， ∵∠ADB=90°，∠ABC=45°， ∴∠BAD=45°=∠ABD， ∴AD=BD， 在△DBF和△DAC中 ∴△DBF≌△DAC（ASA）， ∴BF=AC=8cm， 故答案为：C
分析：利用三角形高的定义，易证∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，利用等角的余角相等，可证得∠CAD=∠FBD，再利用等腰直角三角形的性质，可证得AD=BD，然后利用ASA证明△DBF≌△DAC，利用全等三角形的性质，就可求出BF的长。
6.将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则 的度数是（?? ）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
答案： C
考点：三角形内角和定理，三角形的外角性质
解析：解：由题意得，∠2=45°，∠4=90°-30°=60°， ∴∠3=∠2=45°， 由三角形的外角性质可知，∠1=∠3+∠4=105°。 故答案为：C 分析：三角形的外角等于不相邻的两个内角之和。 ?
7.如图，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1BlC1的面积是（? ?）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
答案： D
考点：三角形的面积
解析：如图，连接AB1 ， BC1 ， CA1 ，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△ABB1=S△ABC=1，
S△A1AB1=S△ABB1=1，
∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，
同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，
∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．
故答案为：D．
分析：连接AB1 ， BC1 ， CA1 ， 首先依据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1 ， △A1AB1的面积，然后可求得△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，最后相加即可得解.
8.画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（?? ）
A.?????????B.?????????C.?????????D.?
答案： C
考点：三角形的角平分线、中线和高
解析：A选项根据图形可知做的BC边上的高，不符合题意；
B选项做三角形的高必须过其中一个顶点向对边引垂线，不符合题意；
C选项，钝角三角形，延长CA，过点B向CA的延长线引垂线即为高，符合题意；
D选项根据图形可知做的AB边上的高，不符合题意。
故答案为：C
分析：根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线；要作△ABC中AC边上的高，就是过点B作AC边的垂线段，可得出正确的选项。
9.如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为(?? )
A.?16厘米???????????????????????????????B.?18厘米???????????????????????????????C.?26厘米???????????????????????????????D.?28厘米
答案： B
考点：线段垂直平分线的性质
解析：解：DE是△ABC中AC边的垂直平分线， ∴AE=CE △EBC的周长为：BE+EC+BC=AE+EC+BC=AB+BC=10+8=18 故答案为：B
分析：利用线段垂直平分线的性质，可证得AE=CE，再证明△EBC的周长为AB+BC，代入计算可求出△EBC的周长。
10.小李把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于（ ??）
A.?150°????????????????????????????????????B.?180°????????????????????????????????????C.?210°????????????????????????????????????D.?270°
答案： C
考点：三角形内角和定理，多边形内角与外角
解析：解：如图，AC和DF相交于点G，EF和CB相交于点H， ∵△ABC和△DEF是直角三角形，∠C=90°，∠D=30°，∴∠F=90°-∠30°=60°，在四边形CGFH中，∠CGF+∠CHF+∠F+∠C=360°，∴∠CGF+∠CHF+60°+90°=360°，∴∠CGF+∠CHF=210°∵∠1=∠CGF，∠2=∠CHF∴∠1+∠2=210°故答案为：C分析：由题意可知∠C=90°，∠D=30°，求出∠F的度数，再根据四边形的内角和等于360°，求出∠CGF+∠CHF的值，然后根据对顶角相等，就可求出∠1+∠2的值。
11.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：
①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE? ③DE=BE? ④AD=AB+CD，
四个结论中成立的是（?? ）
A.?①②④?????????????????????????????????B.?①②③?????????????????????????????????C.?②③④?????????????????????????????????D.?①③
答案：A
考点：全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
解析：解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°，所以①正确．
故答案为：A．
分析：当出现角平分线时，可想到角平分线所谓性质定理，通过作一边的垂线构造出另一个距离，恰可转化BE到EF，EF又转到CE，可判定角平分线.
12.如图， ， 、 、 分别平分 、 和 。以下结论:① ;② ;③ ;④ .? 其中正确的结论是（ ??）
A.?①②③????????????????????????????????B.?②③④????????????????????????????????C.?①③④????????????????????????????????D.?①②④
答案： D
考点：角的平分线，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质
解析：解：①∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
故①正确.
②由（1）可知AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，
故②正确.
③∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，
∴ ∠BAC+ ∠ABC= ∠ACF，
∵∠BDC+∠DBC= ∠ACF，
∴ ∠BAC+ ∠ABC=∠BDC+∠DBC，
∵∠DBC= ∠ABC，
∴ ∠BAC=∠BDC，即∠BDC= ∠BAC.
故③错误.
④在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°-∠ABD，
故④正确。
故答案为：D。
分析：根据角平分线的定义得出∠EAD=∠DAC，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出∠EAC=∠ACB+∠ABC，又∠ABC=∠ACB，故∠EAD=∠ABC，根据同位角相等两直线平行得出AD∥BC，故①正确；②根据二直线平行内错角相等得出∠ADB=∠DBC，根据角平分线的定义得出∠ABC=2∠DBC=2∠ADB，又∠ABC=∠ACB，所以∠ACB=2∠ADB，故②正确；③根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出∠BAC+∠ABC=∠ACF，故 ∠BAC+ ∠ABC= ∠ACF，又根据三角形的外角定理得出∠BDC+∠DBC= ∠ACF，根据等式的传递性得出 ∠BAC+ ∠ABC=∠BDC+∠DBC，又∠DBC= ∠ABC，所以∠BDC= ∠BAC，故③错误；④根据三角形的内角和得出∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，根据二直线平行，内错角相等得出∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB，故∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，从而利用等量代换及等式的性质得出∠ADC+∠ABD=90°，即∠ADC=90°-∠ABD，故④正确。
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13.AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，∠B=50°, ∠C=70°, 则∠EAD=________
答案： 10°
考点：三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，三角形的外角性质
解析：解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C ∴∠BAC=180°-50°-70°=60° ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠BAC=×60°=30° ∴∠ADE=∠B+∠BAD=50°+30°=80° ∵AE是高 ∴∠AED=90° ∴∠DAE=90°-∠ADE=90°-80°=10° 故答案为：10°
分析：利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，利用角平分线的定义求出∠BAD，再利用三角形外角的性质求出∠ADE，然后利用三角形高的定义及三角形内角和定理就可求出∠EAD的度数。
14.把命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么………”的形式是________；
答案： 如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等
考点：命题与定理
解析：解：题设为：两个角相等，结论为：这两个角的补角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等.
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等.
分析：一个命题分为题设和结论两部分，由“如果”领起的部分就是题设，用“那么”领起的部分就是结论，故找出这个命题的题设和结论，即可正确的改写，不过在改写的时候，可以填上适当的文字，让语句更加通畅。
15.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中： ①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S= AC?BD．正确的是________（填写所有正确结论的序号）
答案：①④
考点：全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质
解析：解：①在△ABC和△ADC中， ∵ ，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠ABC=∠ADC，故①结论正确；②∵△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴OB=OD，AC⊥BD，而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，故②结论不正确；③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；故③结论不正确；④∵AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD= BD?AO+ BD?CO= BD?（AO+CO）= AC?BD．故④结论正确；所以正确的有：①④；故答案为：①④．分析：①证明△ABC≌△ADC，可作判断；②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；④根据面积和求四边形的面积即可．
16.如图，线段AE，BD交于点C，AB=DE，请你添加一个条件________，使得△ABC≌△DEC．
答案： ∠A=∠E（或∠B=∠D）
考点：三角形全等的判定
解析：解：∵AB=DE，∠ACB=∠ECD，
∴当∠A=∠E（或∠B=∠D）时，依据AAS可得，△ABC≌△DEC．
故答案为：∠A=∠E（或∠B=∠D）．
分析：由已知AB=DE，图中隐含条件：∠ACB=∠DCE，再添加任意一组对应角相等，利用AAS可证△ABC≌△DEC。
17.如图，在△ABC中，OB，OC分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且∠A＝70°，则∠BOC＝________.
答案： 125°
考点：三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理
解析：解：∵∠A＝70°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠ABC+∠ACB＝110°
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝55°
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°
∴∠BPC＝125°
故答案为：125°
分析：利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的值，再利用角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的值，然后利用三角形内角和定理，在△BOC中求出∠BOC的度数。
18.如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=8，CF=5，则BD=________．
答案： 3
考点：全等三角形的判定与性质
解析：∵AB//CF，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，又∵DE=FE，∴△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=5，
∵AB=8，∴BD=AB-AD=8-5=3，
故答案为：3.
分析：根据两直线平行可得内错角∠A=∠FCE，在根据对顶角及中点的定义利用“AAS”可判断△ADE≌△CFE，由全等三角形的对应边相等即可求出BD.
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
19.如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG垂直AE，垂足分别为F,G.求证：BF-DG=FG.
答案： 证明：∵正方形ABCD∴∠DAB=90°，AD=AB∵ BF⊥AE，DG⊥AE∴∠AGD-=∠AFB=90°∵∠DAG+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°∴∠DAG=∠ABF在△ADG和△BAF中 ∴△ADG≌△BAF（AAS）∴AF=DG，BF=AG∵BF-DG=AG-AF=FG
考点：全等三角形的判定与性质，正方形的性质
解析：利用正方形的性质及垂直的定义，易证∠DAB=90°，AD=AB，∠AGD-=∠AFB=90°，再利用同角的余角相等，可证得∠DAG=∠ABF，利用AAS证明△ADG≌△BAF，利用全等三角形的性质，可证AF=DG，BF=AG，然后由AG-AF=FG，代入即可证得结论。
20.如图，CD是∠ACB的平分线，EF⊥CD于H，交AC于F，交BC于G.
求证：①∠CFG=∠CGF；② .
答案： 证明：①∵CD是∠ACB的平分线，EF⊥CD于H，
∴∠FCH=∠GCH，
∵在△CFH和△CGH中，

∴△CFH≌△CGH(ASA)，
∴∠CFG=∠CGF；
②∵∠E+∠BGE=∠ABC,
∴∠BAC+∠ABC=∠BAC+∠E+∠BGE，
∵∠CGF=∠BGE，
∴∠BAC+∠ABC=∠BAC+∠E+∠CGF，
∵∠BAC+∠E=∠CFG，
∴∠BAC+∠ABC=∠CFG+∠CGF，
∵∠CFG=∠CGF，
∴
考点：角的平分线，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质
解析：①根据角平分线的定义，可得∠FCH=∠GCH，根据“ASA”可证△CFH≌△CGH，利用全等三角形的对应角相等，可得∠CFG=∠CGF； ②?根据三角形外角的性质，∠E+∠BGE=∠ABC,利用等式性质及三角形外角的性质， ∠BAC+∠ABC=∠CFG+∠CGF?，由∠CFG=∠CGF，可得∠BAC+∠ABC=2∠CFG，从而可求出结论.
21.
（1）如图，在四边形ABCD中，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB.若∠A+∠B=140°，求∠DEC的度数;
（2）如图，四边形ABCD沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABCD内的点C′、D′处，探索∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图，将四边形ABCD沿着直线MN翻折，使得点D落在四边形ABCD外部的D′处，点C落在四边形ABCD内部的C′处，写出∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B之间的关系.
答案： （1）∠A+∠B=140°，∴∠ADC+∠ABC=360°-(∠A+∠B)=220°，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB.
∴∠EDC+∠ECD= (∠ADC+∠ABC)=110°，
∴∠DEC=180°-(∠EDC+∠ECD)=70°，
（2）∵∠AMD′=180°-2∠DMN,
∠BNC′=180°-2∠CMN，
又∠A+∠B=∠DMN+ CMN
∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2（∠A+∠B）
（3）∵2∠DMN-∠AMD′=180°则2∠DMN=∠AMD′+180°
∠BNC′=180°-2∠CMN，则2∠CMN=180°-∠BNC′
又∠A+∠B=∠DMN+ CMN
∴∠AMD′-∠BNC′=2（∠A+∠B）-360°
考点：三角形内角和定理，多边形内角与外角，翻折变换（折叠问题）
解析：（1）根据四边形的内角和得出 ∠ADC+∠ABC=360°-(∠A+∠B)=220°， 根据角平分线的定义及角的和差得出 ∠EDC+∠ECD= (∠ADC+∠ABC)=110°， 进而即可利用三角形的内角和由 ∠DEC=180°-(∠EDC+∠ECD) 算出答案； （2） ∠AMD′+∠BNC′=360°-2（∠A+∠B） ，理由如下：根据翻折的性质及平角的定义得出 ∠AMD′=180°-2∠DMN,①∠BNC′=180°-2∠CMN ②，根据四边形的内角和得出 ∠A+∠B=∠DMN+ CMN? ③，由①+②，并将③代入即可得出结论： ∠AMD′+∠BNC′=360°-2（∠A+∠B）； （3）∠AMD′-∠BNC′=2（∠A+∠B）-360° ，理由如下：根据平角的定义及翻折的性质得出 2∠DMN-∠AMD′=180°则2∠DMN=∠AMD′+180°? ①，∠BNC′=180°-2∠CMN，则2∠CMN=180°-∠BNC′ ②，根据四边形的内角和得出∠A+∠B=∠DMN+ CMN? ③，由①+②，并将③代入即可得出结论：∠AMD′-∠BNC′=2（∠A+∠B）-360°。 ?
22.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，显然有：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
答案： （1）解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC与△CEB中，
∠ADC=∠CEB，∠ACD=∠CBE，AC=CB，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB (AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD
（2）解：∵∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=∠CBE+∠ECB=90°，
∴∠ACD=∠CBE
在△ADC与△CEB中，
∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD=∠CBE，AC=CB，
∴△ADC≌△CEB (AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE
（3）解：DE=BE-AD.
理由：同（1）（2）证法可得△ADC≌△CEB ，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．
考点：三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质
解析：（1）根据题意可知，∠D=∠E=90°，AC=BC； 在直角三角形ADC和直角三角形CEB中，其余两个锐角的和为90°，即可证明∠DCA=∠CEB； 当两个三角形的两个角及其一角的对边对应相等时，即可证明两个三角形全等，即 Rt△ADC≌Rt△CEB? ； 所以根据全等三角形的性质，对应边相等，即可得到 DE=DC+CE=BE+AD 。 （2）根据（1）的证明思路，即可得到 △ADC≌△CEB ，所以全等三角形的对应边相同，即可同样证明 DE=CE-CD=AD-BE 。 （3）同意根据（1）的证明思路，即可得到 △ADC≌△CEB ，所以全等三角形的对应边相同， DE=CD-CE=BE-AD 。
23.如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补.
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在(2)的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由.
答案： （1）解：如图1，∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°.
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD
（2）证明：如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF.
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH
（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：
如图3，∵∠1=∠2，
∴∠3=2∠2.
又∵GH⊥EG，
∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2.
∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2.
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠2.
∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°，
∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°.
考点：角的平分线，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质
解析：（1）根据对顶角相等，可得∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，根据同旁内角互补两直线平行，可得 AB∥CD . （2）根据平行线的性质、角平分线的定义及三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG⊥PF. ?根据垂直于同一直线的两直线互相平行，可得PF∥GH. （3）利用三角形外角的性质及三角形内角和定理可得∠4=90°-∠3=90°-2∠2.?然后根据邻补角的定义角平分线的定义可得出∠QPK=??∠EPK=45°+∠2，利用角的和差关系可得∠HPQ=∠QPK-∠2=45°，?从而得出结论.
24.在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B.C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC.设∠BAC=α，∠BCE=β.
（1）如图1,如果∠BAC=90°，∠BCE=________度；
（2）如图2，你认为α、β之间有怎样的数量关系?并说明理由。
（3）当点D在线段BC的延长线上移动时，α、β之间又有怎样的数量关系?请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论。
答案： （1）90（2）解：由(1)中可知β=180°?α，
∴α、β存在的数量关系为α+β=180°
（3）解：连接AD，作AE使得∠DAE=∠BAC，AE=AD，连接DE、CE，可得下图：
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE；
在△ABD和△ACE中，
?
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
∴∠B=∠ACE；
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°?∠BAC.
∴α、β存在的数量关系为α+β=180°
考点：三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质
解析：（1）∵∠DAE=∠BAC，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠EAC+∠DAC；
∴∠CAE=∠BAD；
在△ABD和△ACE中，
?，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
∴∠B=∠ACE；
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°?∠BAC=90°；
（1）根据同角的余角相等得出∠CAE=∠BAD；从而利用SAS判断出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠ACE；根据角的和差及等量代换、三角形的内角和即可算出 ∠BCE= 90°； （2） 由(1)中可知β=180°?α ，故 α、β存在的数量关系为α+β=180° ； （3） 连接AD，作AE使得∠DAE=∠BAC，AE=AD，连接DE、CE，可得下图：根据等量+等量和相等得出 ∠BAD=∠CAE，然后利用SAS判断出 △ABD≌△ACE ，根据全等三角形的对应角相等得出 ∠B=∠ACE； 从而根据根据角的和差及等量代换、三角形的内角和即可算出 ∠BCE= 180°?∠BAC，即 α、β存在的数量关系为α+β=180° 。
25.如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．

（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
答案： （1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°- ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
考点：三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
解析：（1）由角平分线的性质可知 ∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA ，利用三角形内角和定理可得∠FAC+∠FCA =90°- ∠B，利用三角形的外角可得∠EFA=∠FAC+∠FCA，即得证。 （2）求证线段相等，很容易想到构造全等三角形进行证明，利用角平分线的性质能找出FG=FH=FM，结合（1）中已证易得∠EFH=∠DFG，再利用AAS定理即可证明。