第1章 三角形的初步知识 单元提升测试卷（含答案）

浙教版八上数学第1章《三角形的初步知识》单元提升测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名
选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
1.已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有( ??)
A.?4个???????????????????????????????????????B.?5个???????????????????????????????????????C.?6个???????????????????????????????????????D.?7个
2.己知钝角△ABC中，∠A=30°，则下列结论正确的是（ ??）
A.?0°<∠B<60°???????????B.?90°<∠B<150°???????????C.?0°<∠B<60°或90°<∠B<150°???????????D.?以上都不对
3.如图，点 在 的延长线上， 于点 ，交 于点 ．若 ，则 的度数为（??? ）．
A.?65°???????????????????????????????????????B.?70°???????????????????????????????????????C.?75°???????????????????????????????????????D.?85°
（第3题） （第4题） （第6题） （第7题）
4.如图△ABC中，D为BC边上一点，且△ABD与△ADC面积相等，则线段AD一定是（?? ）
A.?△ABC的高?????????????????B.?△ABC的中线?????????????????C.?△ABC的角平分线?????????????????D.?以上选项都不对
5.用尺规作已知角的平分线的理论依据是（　　）
A.?SAS．????????????????????????????????????B.?AAS????????????????????????????????????C.?SSS????????????????????????????????????D.?ASA
6.如图，点P在BC上， 于点B， 于点C， ≌ ，其中BP=CD，则下列结论中错误是（?? ）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
7.将一副三角板如图放置，其中∠BAC=∠ADE=90°，∠E=30°，∠B=45°，其中点D落在线段BC上，且AE∥BC，则∠DAC的度数为(??? )
A.?30°???????????????????????????????????????B.?25°???????????????????????????????????????C.?20°???????????????????????????????????????D.?15°
8.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（??? ）
?8?????????????????????????????????????????B.?11?????????????????????????????????????????C.?16?????????????????????????????????????????D.?17

（第8题） （第9题） （第10题） （第12题）
9.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，若S△BCE=10，BC=5，则DE等于（ ??）
A.?10???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?4
10.如图，直线a、b、c表示互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的站址有（?? ）
A.?一处?????????????????????????????????????B.?二处?????????????????????????????????????C.?三处?????????????????????????????????????D.?四处
11.已知下列四个命题：
①已知三条线段的长为 、 、 ，且 ，则以这三条线段为三边可以组成三角形；②有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；③顶角相等的两个等腰三角形全等；④有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中真命题是（??? ）．
A.?①②③?????????????????????????????????????B.?①③?????????????????????????????????????C.?②④?????????????????????????????????????D.?④
12.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（??? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
13.把命题“在平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成一般形式________.
14.如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角，且点E、A、B三点共线，若AB＝2，则阴影部分的面积是________．

（第14题） （第15题） （第16题）
15.如图，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B处，DB、EB分别交边AC于点F、G．若∠ADF=86°，则∠EGC=________度。
16.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8.若S△ABC=28，则DE=________
17.如图，△ABC中，点E是BC上的一点，CE＝2BE，点D是AC中点，若S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝________．

（第17题） （第18题）
18.如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．则△MON 的周长是________；

三、解答题（本大题有7小题，共66分）
19.（8分）如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A＝60°，则∠P＝________°；
（2）若∠A＝40°，则∠P＝________°；
（3）若∠A＝100°，则∠P＝________°；
（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系___ _____．
20.（8分）如图,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BE.求证:BD=2CE.
21.（10分）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．

（1）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．
已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形
求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D
（2）性质应用：
①如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD两角的角平分线交于点E，
若∠ADC=140°，∠AEC=100°，求∠B的度数．
②如图4，已知∠BOC=58°，x=∠A+∠B，y=∠C+∠D+∠E+∠F，求（x+y）的度数．
22.（10分）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，显然有：DE=AD+BE（不必证明）；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
23.（10分）如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）∠P的度数；
（2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论．
24.（10分）如图（1）如图①，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图③，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
25.（10分）如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．

（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．

浙教版八上数学第1章《三角形的初步知识》单元提升测试卷
（参考答案）
选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
1. D 2. C 3. B 4. B 5. C 6. B
7. D 8. B 9. D 10. D 11. D 12.B
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
13. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
14. 2
15. 86
16. 4
17. 2
18. 11

三、解答题（本大题有7小题，共66分）
19. 解:（1）65（2）45（3）40（4）∠P=90°- ∠A
20. 证明:延长CE交BA的延长线于点F,如图所示. ∵CE⊥BE,∴∠BEC=∠BEF=90°.又∵∠1=∠2,∴∠F=∠BCE，∴BC=BF，∴CE=FE= CF,即CF=2CE.∵∠F+∠2=90°,∠F+∠ACF=90°,∴∠2=∠ACF.又∵AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴△BDA≌△CFA(ASA).∴BD=CF.∴BD=2CE 。
21. （1）解：延长BC交AD于点M

∵∠BCD是△CDM的外角，
∴∠BCD=∠CMD+∠D，
同理∠CMD是△ABM的外角，
∴∠CMD=∠A+∠B，
∴∠BCD=∠A+∠B+∠D
（2）解：①如图3，

由凹四边形的性质，得∠CDA=∠E+∠EAD+∠ECD，
∵∠ADC=140°，∠AEC=100°，
∴∠EAD+∠ECD=40°．
∵∠BAD与∠BCD两角的角平分线交于点E，
∴∠BCA+∠BAC=80°，
由凹四边形的性质，得∠CDA=∠B+∠BCA+∠BAC，
∴∠B=140°﹣80°=60°．
②如图4，∵∠BOC=58°，
∴∠COE=∠BOF=122°，
由凹四边形的性质，得∠A+∠C+∠E=∠COE=122°，
∠B+∠D+∠F=∠BOF=122°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=122°+122°=244°．
故答案为：244°．
22. （1）解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC与△CEB中，
∠ADC=∠CEB，∠ACD=∠CBE，AC=CB，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB (AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD
（2）解：∵∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=∠CBE+∠ECB=90°，
∴∠ACD=∠CBE
在△ADC与△CEB中，
∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD=∠CBE，AC=CB，
∴△ADC≌△CEB (AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE
（3）解：DE=BE-AD.
理由：同（1）（2）证法可得△ADC≌△CEB ，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．
23. （1）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵AP、CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠DAO=2∠DAP，∠BCO=2∠DCP，
∴∠DAO-∠BCO=2（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=2（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+∠D），
∵∠D=38°，∠B=28°，
∴∠P= （38°+28°）=33°
（2）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，
∴∠DAO-∠BCO=3（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=3（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+2∠D），
∵∠D=α，∠B=β，
∴∠P= （β+2α）
24. （1）解： 证明：∵∠MAN=90°，即∠MAE+∠EAN=90°，又∵BD⊥AE，CF⊥AE，∴∠BDA+∠CFA=90°，∠MAE+∠ABD=90°，∴∠EAN=∠ABD，在△ABD和△CAF中，∵,∴△ABD≌△CAF（AAS）.
（2）解： 证明：∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，又∵∠BAC=∠2，∠BAC=∠BAE+∠FAC，∠2=∠FAC+∠ACF，∴∠BAE=∠ACF，在△ABE和△CAF中，∵,∴△ABE≌△CAF（AAS）.
（3）解：由（2）知△ABE≌△CAF，∵CB=2BD，∴BC=3BD，∵S△ABC=15，∴S△ACF+S△BDE=S△ABE+S△BDE=S△ABD=S△ABC ， =×15，=5.
25. （1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°- ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
浙教版八上数学第1章《三角形的初步知识》单元提升测试卷
（解析版）
选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
1.已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有( ??)
A.?4个???????????????????????????????????????B.?5个???????????????????????????????????????C.?6个???????????????????????????????????????D.?7个
答案:D
考点:三角形三边关系
解析:方法一：∵n是正整数
∴n=1时，三边为3,9,3构不成三角形，不符合
n=2时，三边为4,10,6构不成三角形，不符合
n=3时，三边为5,11,9可以构成三角形，符合
n=4时，三边为6,12,12可以构成三角形，符合
n=5时，三边为7,13,15可以构成三角形，符合
n=6时，三边为8,14,18可以构成三角形，符合
n=7时，三边为9,15,21可以构成三角形，符合
n=8时，三边为10,16,24可以构成三角形，符合
n=9时，三边为11,17,27可以构成三角形，符合
n=10时，三边为12,18,30不可以构成三角形，不符合
∴总共7个
方法二：当n+8最大时 ∴n=3
当3n最大时 ∴n=4，5，6，7，8，9
综上：n总共有7个故答案为：D
分析:方法一：分别根据n=1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的时候，由有理数的加法及乘法运算算出三条线段的长度，再根据三角形三边关系判断这三条线段能否围成三角形，即可得出结论；方法二：分别根据n+8最大与3n最大两种情况，由三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式组，求解得出其整数解即可。
2.己知钝角△ABC中，∠A=30°，则下列结论正确的是（ ??）
A.?0°<∠B<60°???????????B.?90°<∠B<150°???????????C.?0°<∠B<60°或90°<∠B<150°???????????D.?以上都不对
答案:C
考点:三角形内角和定理
解析:∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=30° ∴∠B+∠C=150° ∵△ABC是钝角三角形 ∴ 0°<∠B<60°或90°<∠B<150° ， 故答案为：C 分析:根据三角形内角和定理，就可求出∠B+∠C的值，再根据钝角三角形的定义，就可求出∠B的度数的取值范围。
3.如图，点 在 的延长线上， 于点 ，交 于点 ．若 ，则 的度数为（??? ）．
A.?65°???????????????????????????????????????B.?70°???????????????????????????????????????C.?75°???????????????????????????????????????D.?85°
答案:B
考点:三角形内角和定理
解析:∵
∴ ，
∴ ．
故答案为：B ． 分析:在直角三角形AEF中，根据三角形的内角和得到∠AFE的度数继而得到∠ACB的度数。
4.如图△ABC中，D为BC边上一点，且△ABD与△ADC面积相等，则线段AD一定是（?? ）
A.?△ABC的高?????????????????B.?△ABC的中线?????????????????C.?△ABC的角平分线?????????????????D.?以上选项都不对
答案:B
考点:三角形的角平分线、中线和高，全等三角形的性质
解析:∵ = ?，
∴BD=CD，
∴点D为BC的中点，
∴AD为中线。
故答案为：B．
分析:根据全等三角形的性质可得出BD=CD，所以线段AD为△ABC的中线。
5.用尺规作已知角的平分线的理论依据是（　　）
A.?SAS．????????????????????????????????????B.?AAS????????????????????????????????????C.?SSS????????????????????????????????????D.?ASA
答案:C
考点:作图—基本作图
解析:连接NC ， MC ，
在△ONC和△OMC中，
∵ON＝OM ， NC＝MC ， OC＝OC
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC ，
故选：C ．
选C
分析:连接NC ， MC ， 根据SSS证△ONC≌△OMC ， 即可推出答案
6.如图，点P在BC上， 于点B， 于点C， ≌ ，其中BP=CD，则下列结论中错误是（?? ）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
答案:B
考点:全等三角形的性质
解析: ≌ ，
， ， ， ，
是错误的，
故答案为：B．
分析:根据全等三角形的性质可得∠APB=∠D，AP=PD，AB=PC，∠A=∠CPD，据此判断A、C、D；由∠CPD+∠D=90°，可得∠CPD+∠APB=90°，据此判断B.
7.将一副三角板如图放置，其中∠BAC=∠ADE=90°，∠E=30°，∠B=45°，其中点D落在线段BC上，且AE∥BC，则∠DAC的度数为(??? )
A.?30°???????????????????????????????????????B.?25°???????????????????????????????????????C.?20°???????????????????????????????????????D.?15°
答案:D
考点:三角形内角和定理，三角形的外角性质
解析: 解：∵ ∠BAC=90°， ∠B=45°， ∴∠C=45°， ∵ ∠ADE=90°， ∠E=30°， ∴∠DAE=60°， 又∵ AE∥BC， ∴∠DAE=∠ADB=60°， ∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°， ∴∠DAC=60°-45°=15°. 故答案为：D. 分析:由三角形内角和定理得∠C=45°，∠DAE=60°，根据平行线性质得∠DAE=∠ADB=60°，由三角形外交和性质即可求得答案.
8.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（??? ）
A.?8?????????????????????????????????????????B.?11?????????????????????????????????????????C.?16?????????????????????????????????????????D.?17
答案:B
考点:线段垂直平分线的性质
解析:
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴△ACE的周长=AC+CE+AE
=AC+CE+BE
=AC+BC
=5+6
=11．
故答案为：B． 分析:根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，则△ACE的周长=EC+AE+AC=BC+AC，因而得解。
9.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，若S△BCE=10，BC=5，则DE等于（ ??）

A.?10???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?4
答案:D
考点:三角形的面积，角平分线的性质
解析:如图，作EF⊥BC于F，
S △BCE=BC×EF==10?， 解得：EF=4； ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， ∴DE=EF=4； 故答案为：D. 分析:由面积公式求出BC边上的高，再根据角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角的两端距离相等，得到DE=EF，即可求出DE。
10.如图，直线a、b、c表示互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的站址有（?? ）
A.?一处?????????????????????????????????????B.?二处?????????????????????????????????????C.?三处?????????????????????????????????????D.?四处
答案:D
考点:角平分线的性质
解析:∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故答案为：D． 分析:根据到角两边距离相等的点在这个角的平分线上可知三个内角的平分线交点、任意两外角的平分线交点均可，共四处。
11.已知下列四个命题：
①已知三条线段的长为 、 、 ，且 ，则以这三条线段为三边可以组成三角形；②有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；③顶角相等的两个等腰三角形全等；④有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中真命题是（??? ）．
A.?①②③?????????????????????????????????????B.?①③?????????????????????????????????????C.?②④?????????????????????????????????????D.?④
答案:D
考点:三角形三边关系，三角形全等的判定
解析:说法①只考虑了两边之和大于第三边，未考虑两边之差小于第三边，所以错误；说法②错误；说法③顶角相等的两个等腰三角形不一定全等，错误；说法④正确.
故答案为：D.
分析:三角形两边之和大于第三边，同时两边之差小于第三边，对于答案①只考虑了两边之和大于第三边，未考虑两边之差小于第三边；②有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形，当其中一个的高线在三角形内部，一个在三角形的外部的时候，它们是不全等的；③顶角相等的两个等腰三角形只能保证三个角对应相等，即只能保证两个三角形的形同，不能保证两个三角形的大小一致；④有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形利用SAS可以判断出它们全等。
12.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（??? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
答案:B
考点:全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
解析:如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，
∴S△PEM=S△PNF ，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，
MN的长度是变化的，故（4）错误，
故选B．
分析:如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
13.把命题“在平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成一般形式________.
答案:在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
考点:命题与定理
解析:“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果---，那么---”的形式为：“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行”.
故答案为在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行. 分析:命题是由题设和结论两部分组成，“如果...“部分是命题的题设，“那么---”部分是命题的结论，据此填空即可.
14.如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角，且点E、A、B三点共线，若AB＝2，则阴影部分的面积是________．
答案:2
考点:三角形的面积，全等三角形的判定与性质，正方形的性质
解析:∵四边形ACDF是正方形
∴AC＝AF，∠CAF＝90°
∴∠CAE+∠FAB＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°
∴∠ACE＝∠FAB，且∠E＝∠ABF，AC＝AF
∴△ACE≌△FAB（AAS）
∴CE＝AB＝2
∴S阴影＝ ×AB×CE＝2
故答案为：2
分析:根据正方形的性质可得AC＝AF，∠CAF＝90°，利用同角的余角相等可得∠ACE＝∠FAB，根据“AAS”可证△ACE≌△FAB，利用全等三角形的性质可得CE＝AB＝2，利用三角形的面积公式计算即可.
15.如图，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B处，DB、EB分别交边AC于点F、G．若∠ADF=86°，则∠EGC=________度。
答案:86
考点:三角形内角和定理，等边三角形的性质，翻折变换（折叠问题）
解析:在三角形ADF中，∵∠A=60°，∠ADF=86° ∴∠AFD=∠BFG=34°，∵∠B=60° ∴∠EGC=∠FGB=86° 分析:根据等边三角形的性质以及折叠的性质，即可在三角形中根据三角形的内角和为180°即可得到答案。
16.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8.若S△ABC=28，则DE=________
答案:4
考点:三角形的面积，角平分线的性质
解析:∵ BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F ∴DE=DF ∵ S△ABC=S△ABD+S△ADC=28 ∴， 即 解之：DE=4 故答案为：4
分析:利用角平分线的性质，易证DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ADC=28 ，建立关于DE的方程，解方程求出DE的长。
17.如图，△ABC中，点E是BC上的一点，CE＝2BE，点D是AC中点，若S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝________．

答案:2
考点:三角形的面积
解析:∵点D是AC的中点，
∴AD＝ AC，
∵S△ABC＝12，
∴S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6．
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，
∴S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4，
∵S△ABD﹣S△ABE＝（S△ADF+S△ABF）﹣（S△ABF+S△BEF）＝S△ADF﹣S△BEF ，
即S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE＝6﹣4＝2．
故答案为：2．
分析:D点为AC的中点，根据三角形中线的性质可推S△ABD=S△BCD=S△ABC ， 同理根据BE与CE之比推出S△ABE=S△ABC ， 在△ABD与△ABE中△ABF为公共部分，将两者面积相减即可算出S△ADF-S△BEF。
18.如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．则△MON 的周长是________；

答案:11
考点:全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
解析:如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP， ∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM， ∴PF=PG=PE， ∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2， ∴PF=PG=PE=2， 由题易得： △GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP， ∴GM=GF，FN=NE，OG=OE， ∴S△OPG=S△OPE=×（2+2+7）=， 即S△OPG=·OG·PG=， ∴OG=， ∴C△MON=OM+ON+MN， =OM+ON+MF+FN， =OM+ON+MG+NE， =OG+OE， =2OG， =2×， =11. 故答案为：11.
分析:作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由三角形面积公式得PF=PG=PE=2，据条件易得：△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，由全等三角形性质得GM=GF，FN=NE，OG=OE，S△OPG=·OG·PG=得OG=， 由三角形周长和等量代换可得答案.
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
19.如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A＝60°，则∠P＝________°；
（2）若∠A＝40°，则∠P＝________°；
（3）若∠A＝100°，则∠P＝________°；
（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系________．
答案:（1）65（2）45（3）40（4）∠P=90°- ∠A
考点:角的平分线，三角形内角和定理
解析:（1）若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数；（2）、（3）和（1）的解题步骤类似；（4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP= （∠A+∠ABC），∠CBP= （∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理即可求出∠A与∠P的关系． 分析:（1）（2）（3）由∠A，可得与∠A不相邻的两个外角和是180°+∠A，根据角平分线的定义可以求∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数； （4）根据前面三问的计算过程可得∠P= 180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠DBC+∠BCE）=180°-（180°+∠A）= 90°-??∠A ???????。
20.如图,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BE.求证:BD=2CE.
答案:证明:延长CE交BA的延长线于点F,如图所示. ∵CE⊥BE,∴∠BEC=∠BEF=90°.又∵∠1=∠2,∴∠F=∠BCE，∴BC=BF，∴CE=FE= CF,即CF=2CE.∵∠F+∠2=90°,∠F+∠ACF=90°,∴∠2=∠ACF.又∵AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴△BDA≌△CFA(ASA).∴BD=CF.∴BD=2CE 。
考点:三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质
解析:延长CE交BA的延长线于点F,如图所示.根据垂直的定义得出∠BEC=∠BEF=90° ，根据三角形的内角和得出∠F=∠BCE，根据等角对等边得出BC=BF，从而根据等腰三角形的三线合一得出CE=FE=?CF,? 即CF=2CE ，根据同角的余角相等得出∠2=∠ACF，然后利用ASA判断出BD=CF，根据等量代换得出BD=2CE? 。
21.定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．

（1）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．
已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形
求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D
（2）性质应用：
①如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD两角的角平分线交于点E，
若∠ADC=140°，∠AEC=100°，求∠B的度数．
②如图4，已知∠BOC=58°，x=∠A+∠B，y=∠C+∠D+∠E+∠F，求（x+y）的度数．
答案:（1）解：延长BC交AD于点M

∵∠BCD是△CDM的外角，
∴∠BCD=∠CMD+∠D，
同理∠CMD是△ABM的外角，
∴∠CMD=∠A+∠B，
∴∠BCD=∠A+∠B+∠D
（2）解：①如图3，

由凹四边形的性质，得∠CDA=∠E+∠EAD+∠ECD，
∵∠ADC=140°，∠AEC=100°，
∴∠EAD+∠ECD=40°．
∵∠BAD与∠BCD两角的角平分线交于点E，
∴∠BCA+∠BAC=80°，
由凹四边形的性质，得∠CDA=∠B+∠BCA+∠BAC，
∴∠B=140°﹣80°=60°．
②如图4，∵∠BOC=58°，
∴∠COE=∠BOF=122°，
由凹四边形的性质，得∠A+∠C+∠E=∠COE=122°，
∠B+∠D+∠F=∠BOF=122°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=122°+122°=244°．
故答案为：244°．
考点:三角形的外角性质，多边形内角与外角
解析:（1） 延长BC交AD于点M ，根据三角形外角定理得出 ∠BCD=∠CMD+∠D①， ∠CMD=∠A+∠B②， 将②代入①即可得出结论： ∠BCD=∠B+∠A+∠D ； （2） ①如图3， 由凹四边形的性质，得∠CDA=∠E+∠EAD+∠ECD， 从而得出 ∠EAD+∠ECD=40°，根据角平分线的定义得出 ∠BCA+∠BAC=2（∠EAD+∠ECD）=80°①； 由凹四边形的性质，得∠CDA=∠B+∠BCA+∠BAC②， 将①代入②即可算出 ∠B 的度数； ②如图4 ，根据邻补角的定义得出 ∠COE=∠BOF=122°， 由凹四边形的性质，得∠A+∠C+∠E=∠COE=122°①， ∠B+∠D+∠F=∠BOF=122°②， 将①+②即可得出答案。
22.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，显然有：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
答案:（1）解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC与△CEB中，
∠ADC=∠CEB，∠ACD=∠CBE，AC=CB，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB (AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD
（2）解：∵∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=∠CBE+∠ECB=90°，
∴∠ACD=∠CBE
在△ADC与△CEB中，
∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD=∠CBE，AC=CB，
∴△ADC≌△CEB (AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE
（3）解：DE=BE-AD.
理由：同（1）（2）证法可得△ADC≌△CEB ，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．
考点:三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质
解析:（1）根据题意可知，∠D=∠E=90°，AC=BC； 在直角三角形ADC和直角三角形CEB中，其余两个锐角的和为90°，即可证明∠DCA=∠CEB； 当两个三角形的两个角及其一角的对边对应相等时，即可证明两个三角形全等，即 Rt△ADC≌Rt△CEB? ； 所以根据全等三角形的性质，对应边相等，即可得到 DE=DC+CE=BE+AD 。 （2）根据（1）的证明思路，即可得到 △ADC≌△CEB ，所以全等三角形的对应边相同，即可同样证明 DE=CE-CD=AD-BE 。 （3）同意根据（1）的证明思路，即可得到 △ADC≌△CEB ，所以全等三角形的对应边相同， DE=CD-CE=BE-AD 。
23.如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）∠P的度数；
（2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论．
答案:（1）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵AP、CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠DAO=2∠DAP，∠BCO=2∠DCP，
∴∠DAO-∠BCO=2（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=2（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+∠D），
∵∠D=38°，∠B=28°，
∴∠P= （38°+28°）=33°
（2）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，
∴∠DAO-∠BCO=3（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=3（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+2∠D），
∵∠D=α，∠B=β，
∴∠P= （β+2α）
考点:三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理
解析:（1）先根据三角形的内角和可得∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，从而推导得出∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，然后根据角的关系进行整理可得∠P的度数；（2）由（1）可得∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，利用已知角的关系整理可得∠P与α、β的关系.
24.如图
（1）如图①，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图③，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
答案:（1）解： 证明：∵∠MAN=90°，即∠MAE+∠EAN=90°，又∵BD⊥AE，CF⊥AE，∴∠BDA+∠CFA=90°，∠MAE+∠ABD=90°，∴∠EAN=∠ABD，在△ABD和△CAF中，∵,∴△ABD≌△CAF（AAS）.
（2）解： 证明：∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，又∵∠BAC=∠2，∠BAC=∠BAE+∠FAC，∠2=∠FAC+∠ACF，∴∠BAE=∠ACF，在△ABE和△CAF中，∵,∴△ABE≌△CAF（AAS）.
（3）解：由（2）知△ABE≌△CAF，∵CB=2BD，∴BC=3BD，∵S△ABC=15，∴S△ACF+S△BDE=S△ABE+S△BDE=S△ABD=S△ABC ， =×15，=5.
考点:全等三角形的判定与性质
解析:（1）根据垂直的定义和同角的余角相等得∠EAN=∠ABD，再由全等三角形判定AAS可得△ABD≌△CAF.（2）根据等角的补角相等得∠BEA=∠AFC，由同角的余角相等得∠BAE=∠ACF，再由全等三角形判定AAS可得△ABE≌△CAF.（3）由（2）知△ABE≌△CAF，可得S△ACF=S△ABE ， 根据CB=2BD可得S△ABD=S△ABC ， 由S△ACF+S△BDE=S△ABE+S△BDE=S△ABD=S△ABC ， 从而得出答案.
25.如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．

（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
答案:（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°- ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
考点:三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
解析:（1）由角平分线的性质可知 ∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA ，利用三角形内角和定理可得∠FAC+∠FCA =90°- ∠B，利用三角形的外角可得∠EFA=∠FAC+∠FCA，即得证。 （2）求证线段相等，很容易想到构造全等三角形进行证明，利用角平分线的性质能找出FG=FH=FM，结合（1）中已证易得∠EFH=∠DFG，再利用AAS定理即可证明。