1.3 证明（第1课时）
课堂笔记
证明：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的____________出发，根据已知的____________、____________、____________，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做____________．
分层训练
A组 基础训练
1． 如图，下列条件中，不能证明l1∥l2的是（ ）
A． ∠1＝∠2 B． ∠3＝∠2 C． ∠1＝∠3 D． ∠3＋∠4＝180°
2． 如图，下面的推理正确的是（ ）
A． ∵∠1＝∠2，∴AB∥CD
B． ∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AD∥BC
C． ∵AD∥BC，∴∠3＝∠4
D． ∵∠ABC＋∠DAB＝180°，∴AD∥BC
3． （聊城中考）直线a、b、c、d的位置如图所示，∠1＝58°，∠2＝58°，∠3＝70°，那么∠4的度数为（ ）
A． 58° B． 70° C． 110° D． 116°
4． 如图所示，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝110°，则∠ECD＝（ ）
A． 110° B． 70° C． 55° D． 35°
5． 如图，若a∥b，则∠1的度数为（ ）
A． 90° B． 80° C． 70° D． 60°
6． 有一条直的宽纸带，按如图所示的方式折叠，则∠α的度数等于（ ）
A. 50° B. 60° C. 75° D. 85°
7． 已知∠A＝（x－20）°，∠B＝（80－3x）°，若∠A、∠B的两边分别平行且方向相同，则x＝____________.
8． 请在括号或横线上，填写下列命题的证明过程和推理的依据．
如图，已知∠1与∠2互补，∠A＝∠D.求证AB∥CD.
证明：∵∠1＋∠2＝180°（ ），
∠2＋∠3＝180°（ ），
∴∠1＝____________（ ）．
∴____________∥____________（ ）．
∴____________＝____________（ ）．
∵∠A＝∠D（ ），
∴____________＝____________（等量代换）．
∴AB∥CD（ ）．
9. 如图，已知直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠β＝55°，求∠α的度数．
10． 已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB=∠EDO，证明：CF∥DO．
B组 自主提高
11． 将一直角三角尺与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，有下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝180°.其中正确的结论有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
12． 如图，已知AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1，求证：AD平分∠BAC.
13． 命题“若a是自然数，则代数式（5a＋2）（5a＋1）＋3的值是5的倍数”是真命题还是假命题？如果认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，请给出证明．
14． 阅读：如图1，∵CE∥AB，∴∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴∠ACD＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B. 这是一个有用的事实，请用这个事实，在图2中的四边形ABCD内引一条和边平行的直线，求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数．
C组 综合运用
15． 如图，∠EOF＝90°，点A，B分别在射线OE，OF上移动，连结AB并延长至点D，∠DBO的平分线与∠OAB的平分线交于点C，试问：∠ACB的大小是否随点A，B的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而发生变化，请给出变化的范围．
参考答案
【课堂笔记】
条件 定义 基本事实 定理 证明
【分层训练】
1—5. ADCDC 6. C
7. 25
8. 已知 平角定义 ∠3 等量代换 AE FD
同位角相等，两直线平行 ∠CEA ∠D 两直线平行，同位角相等 已知 ∠A ∠CEA 内错角相等，两直线平行
9. 过点C作CE∥a. ∵a∥b，∴CE∥a∥b，∴∠BCE＝∠α，∠ACE＝∠β＝55°. ∵∠ACB＝90°，∴∠α＝∠BCE＝∠ACB－∠ACE＝35°.
10. ∵DE⊥AO，BO⊥AO，∴∠AED=∠AOB=90°，∴DE∥BO，∴∠EDO=∠BOD，∵∠EDO=∠CFB，∴∠BOD=∠CFB，∴CF∥DO．
11. D
12. 先证∠E＝∠BAD，∠CAD＝∠1，由∠E＝∠1，得∠BAD＝∠CAD，即得AD平分∠BAC.
13. 是真命题，证明如下：原式＝5（5a2＋3a＋1）．∵a是自然数，则代数式5a2＋3a＋1是自然数． ∴代数式（5a＋2）（5a＋1）＋3的值是5的倍数．
14. 如图，过点D作DE∥AB交BC于点E，则∠A＋∠ADE＝180°，∠B＋∠BED＝180°.
由题意，得∠BED＝180°-∠CED=180°-（180°-∠C-∠CDE）=∠C＋∠CDE，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠CDA＝（∠A＋∠ADE）＋（∠CDE＋∠C）＋∠B＝180°＋∠BED＋∠B＝180°＋180°＝360°.
15. ∠ACB不随点A，B的移动发生变化．理由如下：∵BC，AC分别平分∠DBO，∠BAO，∴∠DBC＝∠DBO，∠BAC=∠BAO. ∵∠DBO＋∠OBA
＝180°，∠OBA＋∠BAO＋∠AOB＝180°，∴∠DBO
＝∠BAO＋∠AOB，∴∠DBO－∠BAO＝∠AOB＝90°. ∵∠DBC＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∴∠DBC＝∠BAC＋∠ACB，∴∠DBO＝
∠BAO＋∠ACB，∴∠ACB＝（∠DBO－∠BAO）＝∠AOB＝45°.
1.3 证明（第2课时）
课堂笔记
1． 三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的____________．
2． 外角的性质：三角形的外角等于与它____________的两个内角的____________．
3． 证明几何命题时，表述格式一般是：（1）按题意画出____________．
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“____________”中写出条件，在“____________”中写出结论．
（3）在“证明”中写出____________．
4． 注意：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线．添辅助线的过程要____________证明中，辅助线通常画成____________．
分层训练
A组 基础训练
1． 如图，∠1＝100°，∠C＝70°，则∠A的大小是（ ）
A． 10° B． 20°
C． 30° D． 80°
2． 已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于（ ）
A． 40° B． 60° C． 80° D． 90°
3． （东营中考）如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝20°，∠2＝40°，则∠3等于（ ）
A． 50° B． 30° C． 20° D． 15°
4． （宁夏中考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处． 若∠A＝22°，则∠BDC等于（ ）
A． 44° B． 60° C． 67° D． 77°
5． 如图，l1∥l2，则下列式子成立的是（ ）
A． ∠α＋∠β＋∠γ＝180° B． ∠α＋∠β－∠γ＝180°
C． ∠β＋∠γ－∠α＝180° D． ∠α－∠β＋∠γ＝180°
6． 在△ABC中，∠B＋∠C＝100°，AD是角平分线，则∠BAD＝____________．
7． 如图，点D，B，C在同一直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝____________．
8． 在△ABC中，∠C＝90°，外角∠ABD＝3∠A，则∠A＝____________.
9． 如图所示，已知∠BDC＝142°，∠B＝34°，∠C＝28°，则∠A＝____________．
10． 如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高线，则∠DBC＝____________．
11． 如图，点D在AB上，直线DG交AF于点E．请从①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③∠DAE=∠DEA中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并说明理由．
解：已知：____________，求证：____________． （只须填写序号）
12． 如图，已知∠ADC＝∠ACD，求证：∠α＝∠β＋2∠γ.
B组 自主提高
13． 如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，试求∠DAC，∠ADC的度数．
14． 证明命题：“两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．”
C组 综合运用
15． （1）如图，将△ABC纸片沿DE折叠成图1，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1，∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系，并说明理由；
（2）若折成图2或图3，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠DAE与∠2，∠DAE与∠1之间的关系式，并说明理由；
（3）若折成图4，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式，并说明理由；
（4）若折成图5，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式，并说明理由．
参考答案
【课堂笔记】
1. 外角
2. 不相邻 和
3. （1）图形 （2）已知 求证 （3）推理过程
4. 写入 虚线
【分层训练】
1—5. CACCB
6. 40°
7. 45°
8. 45°
9. 80°
10. 18°
11. 答案不唯一 ①② ③ ∵DG∥AC，∴∠DEA
=∠EAC，∵AF平分∠BAC，∴∠DAE=∠EAC，
∴∠DAE=∠DEA．
12. 由∠ADC＝∠γ＋∠β，∠ADC＝∠ACD，则∠ACD＝∠γ＋∠β，则∠α＝∠ACD＋∠B＝∠γ＋∠β＋∠γ＝∠β＋2∠γ.
13. ∠DAC＝24°，∠ADC＝78°.
14. 注意画图，写已知，求证．证明过程略．
15. （1）∠1＋∠2＝2∠A. 理由如下：如图1，延长BE，
CD交于点P，连结AP. 由折叠的性质知：∠DAE
＝∠DPE. 由三角形的外角性质知：∠1＝∠EAP＋
∠EPA，∠2＝∠DAP＋∠DPA，∴∠1＋∠2＝∠DAE＋∠DPE＝2∠DAE，即∠1＋∠2＝2∠EAD.
（2）图2中∠2＝2∠DAE. 理由如下：如图2，延长BE，CD交于点P. 由三角形的外角性质知：∠2＝∠DPE＋∠DAE＝2∠DAE，即∠2＝2∠DAE.
图3中∠1＝2∠DAE.理由如下：如图3，延长BE，CD交于点P. 由三角形的外角性质知：∠1＝∠EAP＋∠P＝2∠EAP，即∠1＝2∠DAE.
（3）∠2－∠1＝2∠A.理由如下：如图4，延长BE，CD交于点P. 由三角形的外角性质知：∠2＝∠3＋∠P，∠3＝∠1＋∠A，即∠2＝∠P＋∠1＋∠A＝2∠A＋∠1，∴∠2－∠1＝2∠A.
（4）∠1－∠2＝2∠A.理由如下：如图5，延长BE，CD交于点P. 由三角形的外角性质知：∠3＝∠A＋∠2，∠1＝∠3＋∠P，即∠1＝∠A＋∠2＋∠P＝2∠A＋∠2，∴∠1－∠2＝2∠A.
