1.5 三角形全等的判定（第1课时）
课堂笔记
1. 三角形全等的判定：三边____________的两个三角形全等（简写成“____________”或“____________”）．
2． 三角形的稳定性：当三角形的三条边长确定时，三角形的____________、____________完全被确定，这个性质叫做三角形的____________．
分层训练
A组 基础训练
1． 如图，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则根据“SSS”能直接判定（ ）
A． △ABD≌△ACD B． △ABE≌△ACE C． △BDE≌△CDE D． 以上均不对
2． 如图，AC＝AD，BC＝BD，∠1＝25°，∠2＝60°，则∠C的度数为（ ）
A． 65° B． 75° C． 85° D． 95°
3． 在△ABC中，已知AB＝AC，D是BC的中点，则∠ADB是（ ）
A． 锐角 B． 钝角 C． 直角 D． 无法确定
4． 如图为作一个角的角平分线的示意图，该作法的依据是全等三角形判定的基本事实，可简写为（ ）
A． SSS B． SAS C． ASA D． AAS
5． 如图，AC＝AD，BC＝BD，OC＝OD.那么图中全等三角形有（ ）
A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对
6． 建筑工人在做门框时，往往在门框的上方斜着钉一根木条，从而起到固定门框的作用，这是利用了三角形的____________．
7． 如图，AB＝AD，BC＝DC，若∠B＝38°，则∠D＝____________．
8． 如图，在△ABC中，AD＝DE，AB＝BE，∠A＝80°，则∠CED的度数为____________．
9． 如图，已知线段a，b，c.用直尺和圆规画△ABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c.并画出△ABC的角平分线BD.
10． 已知：如图，BC＝DE，BE＝DC.求证∠CBE＝∠EDC.小明是这样想的，请你给小明的每个想法填上依据（填在括号中）．
在△BCD和△DEB中，
∵BC=DE（ ），DC=BE（ ），BD=BD（ ），
∴△BCD≌△DEB（ ）．
∴∠CBD＝∠EDB，∠CDB＝∠EBD
（ ）．
∴∠CBE＝∠EDC.
11． 如图，AD＝CB，E、F是AC上两点，且有DE＝BF，AF＝CE.
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：AD∥BC.
B组 自主提高
12． 如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点；再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H.若∠C＝140°，则∠AHC的度数是（ ）
A． 20° B． 25° C． 30° D． 40°
13． 如图，已知∠EBF，用下面的方法可把它两等分：
（1）分别在BE，BF上各取一点A，C，使AB＝BC；
（2）连结AC；
（3）量出AC的长度，取中点D；
（4）过点B，D作射线．
则BD平分∠EBF，请说明理由．
14． 如图所示，已知△ABE≌△ACD.求证：∠1＝∠2.
C组 综合运用
15． 如图，C，F是线段BE上的两点，△ABF≌△DEC，且AC＝DF.
（1）你在图中还能找到几对全等的三角形？选择其中一对全等三角形进行证明；
（2）∠ACE＝∠BFD吗？试说明你的理由．
参考答案
【课堂笔记】
1. 对应相等 边边边 SSS
2. 形状 大小 稳定性
【分层训练】
1—5. BDCAC
6. 稳定性
7. 38°
8. 100°
9. 略
10. 已知 已知 公共边 SSS 全等三角形对应角相等
11. （1）∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，∴AE＝CF. 在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（SSS）．
（2）∵△ADE≌△CBF（已证），∴∠A＝∠C，∴AD∥CB（内错角相等，两直线平行）．
12. A
13. AB＝BC，AD＝DC，DB＝DB可证△ABD≌△CBD，则∠ABD＝∠CBD，即BD平分∠EBF.
14. ∵△ABE≌△ACD，∴AE＝AD，AB＝AC，DC＝BE，∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝EC，∵在△BDE和△CED中，∴△BDE≌△CED，∴∠1＝∠2.
15. （1）还能找到2对全等三角形，分别是△ACF≌△DFC，△ABC≌△DEF. 理由如下：∵△ABF≌△DEC，∴AB＝DE，BF＝EC，AF＝DC（全等三角形的对应边相等），∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF. 在△ACF和△DFC中，∵∴△ACF
≌△DFC（SSS）． 在△ABC和△DEF中，
∵∴△ABC≌△DEF（SSS）．
（2）∠ACE＝∠BFD.理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE（全等三角形的对应角相等）． ∵∠ACB＋∠ACE＝180°，∠DFE＋∠BFD＝180°，∴∠ACE＝∠BFD（等角的补角相等）．
1.5 三角形全等的判定（第2课时）
课堂笔记
1． 三角形全等的判定：两边及其____________对应相等的两个三角形全等（简写成“____________”或“____________”）．
2． 垂直平分线的概念、性质：____________于一条线段，并且____________这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称____________． 线段垂直平分线上的点到____________的距离相等．
分层训练
A组 基础训练
1． 如图，下列三角形中全等的是（ ）
A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④
2．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠C等于（ ）
A． 15° B． 35° C． 50° D． 85°
3． （随州中考）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A． 8 B． 9 C． 10 D． 11
4． 如图所示，AB，CD交于点O，且互相平分，则图中全等的三角形有（ ）
A． 2对 B． 3对
C． 4对 D． 5对
5． 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，EA＝AB＝2BC，D为AB的中点，那么下列式子不能成立的是（ ）
A． ED＝AC B． DE⊥AC
C． AF＝BC D． ∠EAF＝∠ADF
6． 如图，在△ABC中，BD+DC=10cm，DE是AB的中垂线，则AC的长为____________cm．
7． 如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，需添加一个条件是________________________． （只需添加一个条件即可）
8．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连结BF，CE.有下列说法：①CE＝BF；②AE＝DF；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE；⑤△ABD和△ACD面积相等．其中正确的说法有____________个．
9． 如图所示，已知AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC，请将下列说明△ACD≌△AEB的理由的过程补充完整．
证明：∵∠DAB＝∠EAC（已知），
∴∠DAB＋____________＝∠EAC＋____________，即____________＝____________在△ACD和△AEB中，
∵
∴△ACD≌△AEB（SAS）．
10． （重庆中考）如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC＝DE，
AB∥EF，AB＝EF.
求证：BC＝FD.
B组 自主提高
11． 如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连结BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连结BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连结BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依此规律，第n个图形中有全等三角形的对数是（ ）
A． n B． 2n-1 C． D． 3（n+1）
12． 如图，在△ABC中，E为边AB的中点，ED⊥AB，交BC于点D，且∠CAD＝6°，∠B＝48°，则∠BAC＝____________．
13． 在新建的花园小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，如图所示，其中∠B＝∠C，在AB，BC，CD三条绿色长廊上各修建一座小凉亭E，M，F，且BE＝CF，M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一水池，不能直接到达，但要想知道M与F之间的距离，应该怎么办？说说你的做法及理由．
14． 如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一条直线上，连结BD.
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD，CE有何特殊位置关系，并证明．
C组 综合运用
15． 如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t（s），当t为何值时，△ABP和△DCE全等？
参考答案
【课堂笔记】
1. 夹角 边角边 SAS
2. 垂直 平分 中垂线 线段两端
【分层训练】
1—5. ABCCC
6. 10
7. ∠D=∠B（答案不唯一）
8. 4
9. ∠BAC ∠BAC ∠DAC ∠EAB ∠DAC
∠BAE AC AE
10. 证明：∵AB∥EF，∴∠A＝∠E. 在△ABC和△EFD中，∴△ABC≌△EFD. ∴BC＝FD.
11. C
12. 54°
13. 测出ME的长度，就是M与F之间的距离． 理由略
14. （1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE. 又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD⊥CE.证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠E. ∵∠DAE＝90°，∴∠E＋∠ADE＝90°，∴∠ADB＋∠ADE＝90°，即∠BDE＝90°. ∴BD⊥CE.
15. ∵AB＝CD，∠A＝∠B＝∠DCE＝90°，∴△ABP≌△DCE或△BAP≌△DCE. 当△ABP≌△DCE时，BP＝CE＝2，此时2t＝2，解得t＝1. 当△BAP≌△DCE时，AP＝CE＝2，此时BC＋CD＋DP＝BC＋CD＋（DA－AP）＝6＋4＋（6－2）＝14，即2t＝14，解得t＝7. ∴当t＝1或7时，△ABP和△DCE全等．
1.5 三角形全等的判定（第3课时）
课堂笔记
全等三角形的判定：____________及其____________对应相等的两个三角形全等（简写“____________”或“____________”）．
分层训练
A组 基础训练
1． 如图，给出下列条件，其中能运用“ASA”证明△AOB≌△DOC的是（ ）
A． AO＝DO，∠A＝∠D B． AO＝DO，∠B＝∠C
C． AO＝DO，BO＝CO D． AO＝DO，AB＝CD
2． 在△ABC与△A1B1C1中，下列不能判断△ABC≌△A1B1C1的是（ ）
A． AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠B＝∠B1
B． AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠C＝∠C1
C． AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1
D． ∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，BC＝B1C1
3． 如图，已知BC∥EF，AC∥DF，AB＝DE＝4，BC＝6，AC＝5，则EF的长为（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 不能确定
4． 如图，在△AEB与△AFC中，BE与AC交于点M，与CF交于点D，AB与CF交于点N，∠E＝∠F＝90°，∠EAC＝∠FAB，AE＝AF.给出下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③BE＝CF；④△CAN≌△BAM.其中正确的结论是（ ）
A． ①③④ B． ②③④ C． ①②③ D． ①②④
5． 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带____________去玻璃店．
6． 在△ABC和△DEF中，AB＝4，∠A＝35°，∠B＝70°，ED＝4，∠E＝70°，则当∠D＝____________时，可根据____________判断△ABC≌△DEF.
7． 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，DE＝CE，AE＝4，则BE＝____________．
8． 完成下列解题过程：
已知：如图所示，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵AB∥DE（已知），
∴____________＝____________（两直线平行，同位角相等）．
又∵BE＝CF（已知），
∴BE＋____________＝CF＋____________，即BC＝EF.
在△ABC和____________中，
∴____________≌△DEF（ASA）．
9． 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4． 求证：BD=BC．
10． 如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE.求证：BC＝AE.
B组 自主提高
11． 如图，E是BC上一点，AB⊥CB于B，CD⊥CB于C，AB＝CB，∠A＝∠CBD，AE与BD相交于O，则下列结论中，正确的有（ ）
①AE＝BD；②AE⊥BD；③EB＝CD；④△ABO的面积等于四边形CDOE的面积．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
12． （湛江中考）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC＝DF.
13． 如图，点D在BC上，DE与AC相交于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE.
C组 综合运用
14. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E. 试猜想CE与BD的数量关系，并说明理由．
参考答案
【课堂笔记】
两个角 夹边 角边角 ASA
【分层训练】
1—4. ABCA
5. ③
6. 35° ASA
7. 4
8. ∠B ∠DEF EC EC △DEF ∠B ∠DEF BC EF ∠ACB ∠F △ABC
9. ∵∠ABD+∠3=180°，∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC. 在△ADB和△ACB中，∴△ADB≌△ACB（ASA），∴BD=BC．
10. ∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠DAB，在△BAC和△ADE中，∵∴△BAC≌△ADE（ASA），∴BC＝AE.
11. D
12. ∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，∵BF＝CE，∴BF＋CF＝CE＋CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∵∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AC＝DF.
13. ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∵∠3＋∠DFC＋∠C＝∠2＋∠AFE＋∠E，又∵∠3＝∠2，∠DFC＝∠AFE，∴∠C＝∠E，在△ABC和△ADE中，∵∴△ABC
≌△ADE（ASA）．
14. CE＝BD. 理由如下：延长CE交BA的延长线于点F，如图．
∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2. ∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEF＝90°. 又∵BE＝BE，∴△BEC≌△BEF（ASA）． ∴CE＝FE＝CF. ∵∠1＋∠4＝∠3＋∠5＝90°，∠4＝∠5，∴∠1＝∠3. 又∵∠BAD＝∠CAF＝90°，AB＝AC，∴△BAD≌△CAF（ASA）． ∴BD＝CF. ∴CE＝CF＝BD.
1.5 三角形全等的判定（第4课时）
课堂笔记
1． 全等三角形的判定：____________及其中一个角的____________对应相等的两个三角形全等（简写成“____________”或“____________”）．
2． 角平分线的性质：角平分线上的点到____________的距离相等．
分层训练
A组 基础训练
1． （安顺中考）如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A． ∠A＝∠C B． AD＝CB
C． BE＝DF D． AD∥BC
2． （绍兴中考）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE. 则说明这两个三角形全等的依据是（ ）
A． SAS B． ASA C． AAS D． SSS
3． （湖州中考）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A． 10 B． 7 C． 5 D． 4
4． 如图所示，已知∠1＝∠2，AD＝BC，AC，BD相交于点O，MN经过点O，则图中全等三角形的对数为（ ）
A． 4对 B． 5对 C． 6对 D． 7对
5． 如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF.
（1）若以“ASA”为依据，则还缺一个条件：____________；
（2）若以“AAS”为依据，则还缺一个条件：____________.
6． 已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是____________．
7． 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为A，交CD于D，若AD=8，则点P到BC的距离是____________．
8． （邵阳中考）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.
（1）从图中任找两组全等三角形；
（2）从（1）中任选一组进行证明．
9． 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2.试说明BD＝CE成立的理由．
B组 自主提高
10． △ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点），则图中能够作出与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是____________个．
11． 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝6，AC＝4.若△ABD的面积等于9，则△ACD的面积为____________.
12． 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，过点A作AE⊥l3于点E，求BE的长．
C组 综合运用
13． 问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；
特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；
归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为____________．
参考答案
【课堂笔记】
1. 两角 对边 角角边 AAS
2. 角两边
【分层训练】
1—4. BDCC
5. （1）∠A＝∠D （2）∠ACB＝∠F
6. 乙、丙
7. 4
8. （1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB（答案不唯一）；
（2）∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝FC，在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
9. ∵CD⊥AB，BE⊥AC，∠1＝∠2，∴DO＝EO（角平分线性质），∠BDO＝∠CEO＝90°，在△BDO和△CEO中，∵∴△BDO≌△CEO（ASA），∴BD＝CE.
10. 4
11. 6
12. 过点C作CF⊥l3于点F. ∵l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，AE⊥l3，CF⊥l3，∴CF＝3，∠AEB＝∠BFC＝90°. ∴∠EAB＋∠ABE＝90°. ∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝90°. ∴∠EAB＝∠FBC.
在△AEB和△BFC中，∵∴△AEB≌△BFC（AAS）． ∴BE＝CF＝3.
13. 特例探究：∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，∴∠BDA=∠AFC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAF=90°，∴∠ABD=∠CAF，在△ABD和△CAF中，∵∴△ABD≌△CAF（AAS）；
归纳证明：∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，在△ABE和△CAF中，∵∴△ABE≌△CAF（ASA）；
拓展应用：∵△ABC的面积为15，CD=2BD，∴△ABD的面积是：×15=5，由上题易得△ABE≌△CAF，∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积是5．
