2.3 等腰三角形的性质定理（第1课时）
课堂笔记
1． 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个____________相等．这个定理也可以说成：在同一个三角形中，____________．
2． 等边三角形的性质：等边三角形的各个内角都等于____________．
分层训练
A组 基础训练
1． （盐城中考）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 70°
2． （吉林中考）如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A． 20° B． 35°
C． 40° D． 70°
3． 如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝FE，则∠DEF等于（ ）
A． 90° B． 75° C． 60° D． 45°
4． （宜昌中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC长为半径的圆弧，交AC于点D，连结BD，则∠ABD＝（ ）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
5． 如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，则AE____________CD（填“＞”、“＜”或“＝”）．
6． 如图，△ABC中，点D是AC上一点，且AD＝BD＝BC，∠DBC＝24°，则∠A＝____________，∠C＝____________，∠ABC＝____________．
7． （1）在△ABC中，AB＝BC，∠A＝80°，则∠B＝____________；（2）若等腰三角形的一个外角为140°，则它的顶角的度数为____________.
8． 如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC的度数为____________．
9． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，在AC上取点D，使AD＝BD，连结BD，若∠DBC＝20°，求∠A的度数．
10． （宿迁中考）如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.
11． 如图，在四边形ABCD中，已知AB＝AD，CB＝CD.求证：∠ABC＝∠ADC.
B组 自主提高
12． 已知等腰三角形有一个角为40°，则一腰上的高线与另一腰的夹角为（ ）
A． 40° B． 50°
C． 10° D． 50°或10°
13． 已知△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，连结AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数为____________.
14． “三等分角器”是利用阿基米德原理做出来的．如图，∠AOB为要三等分的任意角，图中AC，OB两滑块可在角的两边内滑动，始终保持有OA=OC=PC．
求证：∠APB=∠AOB．
15． 如图，在△ABC中，已知BC＝AC，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D. 若∠ADC＝∠CAD，求∠ABC的度数．
C组 综合运用
16． 已知：如图，在△ABC中，点D，E是边BC上的两点，且AB＝BE，AC＝CD．
（1）若∠BAC＝90°，求∠DAE的度数；
（2）若∠BAC＝120°，直接写出∠DAE的度数；
（3）设∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）．
参考答案
【课堂笔记】
1. 底角 等边对等角
2. 60°
【分层训练】
1—4. DCCB
5. ＝
6. 39° 78° 63°
7. （1）20° （2）40°或100°
8. 30°
9. ∠A＝35°
10. ∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D.
∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. ∴∠C＝2∠D.
11. 连结BD，∵AB＝AD（已知），∴∠ABD＝∠ADB，又∵CB＝CD（已知），∴∠CBD＝∠CDB，∴∠ABD＋∠CBD＝∠ADB＋∠CDB，即∠ABC＝∠ADC.
12. D
13. 36°或45°
14. ∵OC=PC，∴∠P=∠COP，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∵∠ACO是△PCO的一个外角，∴∠ACO
=∠P+∠COP=2∠P，∴∠CAO=∠ACO=2∠P，
∵∠AOB是△PAO的一个外角，∴∠AOB=∠CAO+∠P=3∠P，∴∠APB=∠AOB．
15. 如图，设∠ABC＝x，∠CAD＝y，则∠ACD＝2x，∠ADC＝∠CAD＝y，∴解得x=36°，y=72°，∴∠ABC＝36°.
16. （1）∵BE＝BA，∴∠BAE＝∠BEA，∴∠B＝180°-
2∠BAE①，∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∴∠C＝180°-2∠CAD②，①+②得：∠B+∠C＝360°-
2（∠BAE+∠CAD），∴180°-∠BAC＝360°-
2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，∴-∠BAC
＝180°-2[（∠BAD+∠DAE+∠CAE）+∠DAE]，∴-∠BAC＝180°-2（∠BAC+∠DAE），∴2∠DAE
＝180°-∠BAC． ∵∠BAC＝90°，∴2∠DAE＝180°-90°＝90°，∴∠DAE＝45°.
（2）由（1）知，∠DAE＝（180°-∠BAC）＝（180°
-120°）＝30°.
（3）由（1）知，β＝（180°-α），∴α+2β＝180°．
2.3 等腰三角形的性质定理（第2课时）
课堂笔记
等腰三角形性质定理2：等腰三角形的____________平分线、____________上的____________和____________互相重合，简称等腰三角形____________．
分层训练
A组 基础训练
1． （苏州中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（ ）
A． 35° B． 45° C． 55° D． 60°
2． 等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是角平分线．有下列结论：①AD⊥BC；②BD＝DC；③∠B＝∠C；④∠BAD＝∠CAD.其中正确的结论有（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
3． 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线． 若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（ ）
A． 20° B． 35° C． 40° D． 70°
4．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE也是等边三角形，连结BE，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确的有（ ）
A． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个
5． （丽水、衢州中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是____________．
6． 如图，△ABC中，AB＝AC.
（1）若AD⊥BC，则∠BAD＝____________，BD＝____________；
（2）若BD＝CD，则AD____________BC，∠BAD＝____________；
（3）若∠BAD＝∠CAD，则BD＝____________，AD____________BC.
7． 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.有以下几个结论：①AD上任意一点到C，B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的是____________．
8． 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，E是AB的中点，若CE＝6，则AD＝____________．
9． 等腰三角形的底角为30°，则该三角形底边上的中线与腰的夹角为____________．
10． 作一个等腰三角形，使它的底边长为2.1cm，顶角的平分线长为2.4cm.
11． 如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，BC上，且DA＝DE，DE∥AB.求证：E是BC的中点．
B组 自主提高
12． 如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2cm，则BF＝____________cm．
13． 如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝ED，AM⊥CD于M，求证：CM＝MD.
14． （南充中考）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.
求证：（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF＝2CD.
C组 综合运用
15． 如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连结ED交AB于点F. 求证：
（1）BC＝AB；
（2）EF＝DF.
参考答案
【课堂笔记】
顶角 底边 中线 高线 三线合一
【分层训练】
1—4. CABA
5. 20
6. （1）∠CAD DC （2）⊥ ∠CAD （3）DC ⊥
7. ①②③④
8. 6
9. 60°
10. 如图．
（1）作线段BC＝2.1cm.
（2）作线段BC的垂直平分线DE交BC于D.
（3）在射线DE上截取DA＝2.4cm.
（4）连结AB，AC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．
11. ∵DA＝DE，∴∠AED＝∠DAE，∵DE∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠BAE，∵AB＝AC，∴E是BC的中点．
12. 4
13. 连结AC，AD，先根据SAS证明△ABC≌△AED，得AC＝AD，再根据三线合一得M为CD中点，所以CM＝MD.
14. （1）∵AD⊥BC，∴∠B＋∠BAD＝90°. ∵CE⊥AB，∴∠B＋∠BCE＝90°. ∴∠EAF＝∠ECB. 在△AEF和△CEB中，∴△AEF≌△CEB.
（2）∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC. ∵AB＝AC，AD⊥BC. ∴CD＝BD，BC＝2CD，∴AF＝2CD.
15. （1）过点E作EG⊥AB于点G.
∵△ABE为等边三角形，
∴BG＝AB，∠BEG＝
∠AEB＝30°，BA＝BE.
∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠BCA＝∠BGE，∠BAC＝∠BEG.
又∵BA＝BE，∴△BCA≌
△BGE（AAS），∴BC＝BG，∴BC＝AB.
（2）∵△BCA≌△BGE，∴AC＝EG. ∵△ACD为等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD.∴EG＝DA.
∵∠BAC＝30°，∴∠DAF＝∠CAD＋∠BAC＝90°，
∴∠EGF＝∠DAF. 在△EGF和△DAF中，
∵∴△EGF≌△DAF（AAS），∴EF＝DF.
