浙教版八年级数学上册同步练习：2.4 等腰三角形的判定定理（含答案）

2.4 等腰三角形的判定定理
课堂笔记
1． 等腰三角形的判定：如果一个三角形有____________相等，那么这个三角形是等腰三角形．简单地说，在同一个三角形中，____________．
2． 等边三角形的判定：____________都相等的三角形是等边三角形，有一个角是____________的____________三角形是等边三角形．
分层训练
A组 基础训练
1． 下列条件中，不能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A． ∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3
B． AB∶BC∶CA＝2∶2∶3
C． ∠B＝50°，∠C＝80°
D． 2∠A＝∠B＋∠C
2． （铜仁中考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为（ ）
A． 6 B． 7
C． 8 D． 9
3． 下列说法：①有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高线也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
4． 如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A． ①②③ B． ①②④
C． ②③④ D． ①③④
5． （绍兴中考）由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm.若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时AB＝____________cm.
6． 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向上的M处，它以40海里/时的速度向正北方向航行，2h后到达位于灯塔P的北偏东40°方向上的N处，则N处与灯塔P的距离为____________海里．
7． 如图，△ABC为等边三角形，DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为E，F，D，则△DEF是____________三角形．
8． 如图，在△ABC中，AB＝AC，DB，CE分别平分
∠ABC和∠ACB，且DE∥BC，若DE＝10，则AB的长为____________．
9． 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，DE⊥BC于E，延长ED交CA的延长线于点F，则AD＝AF.请说明理由．
10． （襄阳中考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
B组 自主提高
11． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
12． 在△ABC中，∠A＝30°，当∠B＝____________时，△ABC是等腰三角形．
13． 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE，
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
C组 综合运用
14． 如图，△ABC和△ADC都是等边三角形，点E，F同时分别从点B，A出发，以相同的速度各自沿BA，AD的方向运动到点A，D停止，连结EC，FC.
（1）在点E，F运动的过程中，∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；
（2）在点E，F运动的过程中，以A，E，C，F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由；
（3）连结EF，在图中找出所有和∠ACE相等的角，并说明理由；
（4）若点E，F在射线BA，射线AD上继续运动下去，（1）中的结论还成立吗？直接写出结论，不必说明理由．
参考答案
【课堂笔记】
1. 两个角 等角对等边
2. 三个角 60° 等腰
【分层训练】
1—4. DDBD
5. 18
6. 80
7. 等边
8. 5
9. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根据等角的余角相等得∠F＝∠BDE＝∠FDA，∴AD＝AF.
10. （1）①②；①③.
（2）选①③证明如下，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠EBO＝∠DCO，又∵∠ABC＝∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
11. C
12. 30°或75°或120°
13. （1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF
＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝
CF，∴AB＝AC．
（2）易证∠B＝∠BAD，
∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC.
14. （1）没有变化． 理由如下：∵点E，F的速度相同，且同时运动，∴BE＝AF. ∵△ABC和△ADC都是等边三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠ACB＝∠CAF＝60°. 在△BCE和△ACF中，∵∴△BCE≌△ACF（SAS）． ∴∠BCE＝∠ACF. ∴∠ECF＝∠ACF＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝60°.
（2）没有变化． 理由如下：由（1）知，△BCE与△ACF的面积相等，∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝
S△BCE＋S△ACE＝S△ABC. ∴四边形AECF的面积没有变化．
（3）∠AFE＝∠DCF＝∠ACE. 理由如下：∵△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠EAC＝∠FDC＝60°，AB＝AC＝DC＝AD. ∵BE＝AF，∴AB－BE＝AD－AF，即AE＝DF. ∴△ACE≌△DCF（SAS）． ∴∠ACE＝∠DCF，EC＝FC. 又∵∠ECF＝60°，∴△ECF是等边三角形，∴∠EFC＝60°. ∴∠AFE＋∠DFC＝120°. ∵∠D＝60°，∴∠DCF＋∠DFC＝120°. ∴∠AFE＝∠DCF＝∠ACE.
（4）（1）中的结论仍成立．