浙教版八年级数学上册同步练习：2.5 逆命题和逆定理（含答案）

2.5 逆命题和逆定理
课堂笔记
1． 命题与逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的____________是第二个命题的____________，而第一个命题的____________是第二个命题的____________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．
2． 定理与逆定理：如果一个定理的____________能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的____________，这两个定理叫做____________．
3． 垂直平分线的性质：到线段____________相等的点在线段的____________上．
分层训练
A组 基础训练
1． 下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等
B. 对顶角相等
C. 全等三角形的对应边相等
D. 两直线平行，同旁内角互补
2． 下列说法中，正确的有（ ）
①每个命题都有逆命题；②每个定理都有逆定
理；③假命题的逆命题一定是假命题；④假命题没有逆命题．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
3． 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A． 等边三角形是锐角三角形
B． 两个图形关于某直线对称，则这两个图形全等
C． 两直线平行，同位角相等
D． 两个全等三角形的面积相等
4． 能证明命题“若a>0，b>0，则a＋b>0”的逆命题是假命题的反例是（ ）
A． a＝1，b＝1 B． a＝3，b＝4
C． a＝－3，b＝4 D． a＝－5，b＝2
5． （无锡中考）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是____________命题．（填“真”或“假”）
6． 写出一个存在逆定理的定理：____________________________________．
7． 写出下列命题的逆命题，并证明逆命题是假命题．
（1）若b＝c，则ab＝ac；
（2）若一个整数的个位数字是5，则这个数能被5整除．
8． 利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．
已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC.
9． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：线段AB的垂直平分线经过点D.
10． 写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．
B组 自主提高
11． 如图，已知在△ABC中，∠1＝∠2．
（1）请你添加一个与直线AC有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线；
（2）请你添加一个与∠1有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线；
（3）如果“已知在△ABC中，∠1＝∠2不变”，请你把（1）中添加的条件与所得结论互换，所得的命题是否是真命题，理由是什么？
12． 写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．
13． 如图所示，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.
（1）求证：PA＝PB＝PC；
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
C组 综合运用
14． （1）如图，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点．若AD＝BE＝CF，求证：△DEF是等边三角形；
（2）请问（1）的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不成立，请用反例说明．
参考答案
【课堂笔记】
1. 条件 结论 结论 条件 逆命题
2. 逆命题 逆定理 互逆定理
3. 两端距离 垂直平分线
【分层训练】
1—4. BACC
5. 假
6. 两直线平行，同位角相等（答案不唯一）
7. （1）若ab＝ac，则b＝c，假命题，若a＝0，则b，c可以不等； （2）若一个整数能被5整除，则这个数的个位数字是5. 假命题，个位数字是0也可以被5整除．
8. 连结BC，∵AB＝AC，DB＝DC，∴点A和点D在线段BC的中垂线上，∴AD是线段BC的中垂线，∴EB＝EC.
9. ∠C＝90°，∠A＝30°，可得∠CBA＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBA＝∠A＝30°，∴AD＝BD，即线段AB的垂直平分线经过点D.
10. 逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．
原命题是假命题.
反例：如图1，∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直，但∠CAD＝45°，∠EBF＝135°，即∠CAD
≠∠EBF. 逆命题是假命题．
反例：如图2，∠CAD＝∠EBF，但显然AC，AD与BE，BF都不垂直．
11. （1）AC∥BE；
（2）∠1＝∠ABE或∠1＝∠DBE；
（3）是真命题，理由如下：∵BE是△ABC的外角平分线，∴∠ABE＝∠DBE，又∵∠ABD是三角形ABC的外角，∴∠ABD＝∠1+∠2，即∠ABE+∠DBE＝∠1+∠2，又∵∠ABE＝∠DBE，∠1＝∠2，∴∠ABE＝∠1，∴AC∥BE．
12. 逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形． 是真命题.
已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE
＝DF.
求证：△ABC为等腰三角形．
证明：连结AD. ∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴S△ABD＝AB·DE，S△ACD＝AC·DF. 又∵DE＝DF，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．
13. （1）证明：∵点P在AB的垂直平分线上，∴PA＝PB，同理点P在BC的垂直平分线上，∴PC＝PB，∴PA＝PB＝PC.
（2）由（1）得PA＝PC，根据线段垂直平分线的逆定理，得点P在边AC的垂直平分线上． 结论：三角形三边的垂直平分线相交于同一点，这个点与三顶点的距离相等．
14. （1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AC＝AB＝BC. 又∵AD＝BE＝CF，∴BD＝CE=AF. 在△ADF，△BED，△CFE中，
∵∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等边三角形．
（2）（1）的逆命题成立．
已知：如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且△DEF是等边三角形．
求证：AD＝BE＝CF.
证明：∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝FE＝ED. ∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠ADF＋∠AFD＝120°，∠ADF＋∠BDE＝120°，∠BDE＋∠BED＝120°，∠AFD＋∠CFE＝120°，∴∠ADF＝∠BED＝∠CFE.
在△ADF，△BED，△CFE中，
∵∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），∴AD＝BE＝CF.