2.6 直角三角形（第1课时）
课堂笔记
1． 直角三角形：有一个角是____________的三角形叫做直角三角形．
2． 直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角____________．
（2）直角三角形斜边上的中线等于____________．
分层训练
A组 基础训练
1． （枣庄中考）如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为（ ）
A． 17° B． 34° C． 56° D． 124°
2．如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，若∠A＝35°，则∠BCD的度数为（ ）
A． 35° B． 55° C． 75° D． 65°
3． 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（ ）
A. 0.5km B. 0.6 km C. 0.9km D. 1.2km
4． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，给出下列结论：①AD＝DC＝DB；②∠A＝∠1，∠B＝∠2；③CD＝BD＝CB；④∠CDB＝2∠1.其中正确的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
5． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠A＝30°，则AD等于（ ）
A． 4BD B． 3BD
C． 2BD D． BD
6． 在直角三角形中，如果斜边及其中线长之和为3，那么该三角形的斜边长为____________．
7． 在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，∠A∶∠B＝1∶2，则∠ACD的度数为____________，∠BCD的度数为____________．
8． 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高线，DE⊥AC于E，∠B＝40°，则图中度数为50°的角有____________个．
9． （扬州中考）如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若长方形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1，∠2，则∠2－∠1＝____________．
10. （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，求∠AED的度数；
（3）如图3，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？
11． 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC中点，连结DE，求△CDE的周长．
B组 自主提高
12． 已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于
13． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，E为AB的中点，AD，CE交于点F，且AD＝BD.若∠B＝20°，则∠DFE的度数为____________．
14． 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，连结DE，M是AB的中点，N是DE的中点，求证：MN是DE的垂直平分线．
C组 综合运用
15． 如图1，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O.
（1）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转90°，在图2中作出旋转后的△OAB（保留作图痕迹，不写作法，不证明）；
（2）在图1中，你发现线段AC，BD的数量关系是____________，直线AC，BD相交成____________角（填“锐”、“钝”或“直”）；
（3）①将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转
一个锐角，得到图3，这时（2）中的两个结论是否仍成立？作出判断并说明理由；
②若将△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．
参考答案
【课堂笔记】
1. 直角
2. （1）互余 （2）斜边的一半
【分层训练】
1—5. CBDCB
6. 2
7. 60° 30°
8. 3
9. 90°
10. （1）∠ACD＝∠B，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B.
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，∠A为公共角，∴∠AED＝∠ACB＝90°，
（3）∠A+∠D＝90°． ∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，∴∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，∴∠A+∠D＝90°．
11. ∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14.
12. 15°或75°
13. 60°
14. 连结ME，MD.∵AD⊥BC，∴△ADB是直角三角形．又∵M是斜边AB的中点，∴MD＝AB. 同理，ME＝AB，∴MD＝ME.又∵N是DE的中点，∴MN⊥DE，DN＝NE，∴MN是DE的垂直平分线．
15. （1）作图如图1．
（2）AC=BD 直
（3）①仍成立． 理由如下：∵∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠COA＋∠AOD＝∠AOD＋∠DOB，即∠COA＝∠DOB. 又∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝BD. 延长CA交OD于点E，交BD于点F. ∵△COA≌△DOB，∴∠ACO＝∠BDO. 又∵∠CEO＝∠DEF，∴∠EFD＝∠COE＝90°，∴AC⊥BD.
②旋转更大的角时，结论仍然成立．
2.6 直角三角形（第2课时）
课堂笔记
直角三角形的判定定理：有两个角____________的三角形是直角三角形．
分层训练
A组 基础训练
1． 如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则图中共有直角三角形（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 无法确定
2．若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（ ）
A． 等腰三角形 B． 等边三角形C． 等腰直角三角形 D． 直角三角形
3． 下列条件能判定△ABC是直角三角形的有（ ）
①在△ABC中，已知∠A－∠B＝90°，②在△ABC中，已知∠A－∠B＝∠C，③在△ABC中，∠A＝2∠B＝3∠C，④在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5.
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
4． 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）
A． 25° B． 30° C． 45° D． 60°
5． 已知三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶1，那么这是一个____________三角形．
6． 如图，在△ABC中，已知BD＝CD＝AD，∠B＝50°，则∠C＝____________．
7． 如图，已知△ABC是等腰直角三角形，CD是斜边AB上的中线，DE⊥BC于点E，则图中等腰直角三角形的个数是____________．
8． 如图，已知AB∥CD，MG平分∠BGH，MH平分∠DHG.求证：△MGH是直角三角形．
9． 在△ABC中，∠A＋∠C＝2∠B，∠C-∠A＝∠B. 说明△ABC是直角三角形．
10． 如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD上一点，且CD＝ED，AD＝BD.求证：△BCF是直角三角形．
B组 自主提高
11. 如图，已知AO＝10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON＝60°．
（1）OP＝____________时，△AOP为直角三角形；
（2）设OP＝x，则x满足____________时，△AOP为钝角三角形．
12． 如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，求的值．
13． 四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是AB上一点，且AD＝BE，AE＝BC.求证：△DEC是等腰直角三角形．
C组 综合运用
14． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，连结DF.求证：AB垂直平分DF.
参考答案
【课堂笔记】
互余
【分层训练】
1—4. CDBB
5. 等腰直角
6. 40°
7. 5个
8. ∵AB∥CD，∴∠BGH＋∠DHG＝180°，∵MG平分∠BGH，MH平分∠DHG，∴∠MGH＋∠MHG＝90°，∴△MGH是直角三角形．
9. ∵∠A＋∠C＝2∠B，∠A＋∠C＝180°－∠B，∴180°－∠B＝2∠B，即∠B＝60°，∴∠A＋∠C＝120°，∠C-∠A＝60°，∴∠A＝30°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．
10. 根据SAS可证△ADC≌△BDE，得∠CAD＝∠FBD，∵∠CAD＋∠C＝90°，∴∠FBD＋∠C＝90°，则得到△BCF是直角三角形．
11. （1）5或20 （2）0＜x＜5或x＞20
12. ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠ACB＝60°. ∵AD＝BE，∴CE＝BD. 在△ACE和△CBD中，∵∴△ACE≌△CBD（SAS）． ∴∠CAE＝∠BCD. ∴∠AFG＝∠CAF＋∠ACF＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°. ∵AG⊥CD，∴∠FAG＝30°.∴.
13. 根据SAS可证△ADE≌△BEC，得DE＝EC，∠AED＝∠ECB，而∠ECB＋∠CEB＝90°，则∠AED＋∠CEB＝90°，即∠DEC＝90°，所以△DEC是等腰直角三角形．
14. ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CAD＋∠CDE＝90°. ∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°. ∴∠CDE＋∠DCE＝90°. ∴∠CAD＝∠DCE，即∠CAD＝∠BCF. ∵BF∥AC，∴∠CBF＋∠ACB＝180°，∴∠CBF＝180°－∠ACB＝90°.∴∠CBF＝∠ACD. 在△ACD和△CBF中，∵
∴△ACD≌△CBF（ASA）. ∴CD＝BF. ∵D为BC的中点，∴CD＝BD，∴BD＝BF. ∵BF∥AC，∴∠ABF
＝∠CAB＝∠DBA＝45°. ∴AB垂直平分DF.
