2.7 探索勾股定理（第1课时）
课堂笔记
勾股定理：直角三角形两条直角边的____________等于斜边的____________．即：若a，b为直角三角形的两条直角边，c为斜边，则____________．
分层训练
A组 基础训练
1． 若直角三角形的斜边长为10，其中一条直角边为6，则另一条直角边长为（ ）
A． 6 B． 8 C． 9 D． 10
2． 如图，正方形ABCD中，AE垂直于BE，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是（ ）
A． 16 B． 18 C． 19 D． 21
3． 已知等腰三角形的腰长为17cm，底边上的中线长为15cm，则它的周长为（ ）
A． 42cm B． 50cm C． 49cm D． 47cm
4． 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形． 若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（ ）
A． 13 B． 26 C． 47 D． 94
5． 直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为____________．
6．若直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，则斜边上的中线长为____________cm，斜边上的高为____________cm．
7． 如图，两棵树的高分别为AB＝5m，CD＝10m，它们相距12m（即BD＝12m）． 一只鸟从树顶A飞到另一树顶C至少要飞____________m.
8． （枣庄中考）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于____________．
9． 已知△ABC是等边三角形，AB＝6cm，则S△ABC＝____________cm2.
10． 在△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝c，BC＝a，AC＝b.
（1）已知a＝5，b＝12，求c；
（2）已知b＝15，c＝17，求a；
（3）已知a＝8，b∶c＝3∶5，求b，c.
11． （1）如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，且AB＝13，BC＝12.
①求AC的长；
②求CD的长．
（2）如图2，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1． 请在网格内绘制一个三角形，三边长分别为并求此三角形的面积．
B组 自主提高
12． 如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高长度为____________．
13． 如图，等边△ABC的边长为12，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE＝4，EM＋CM的最小值为____________.
14． 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC＝6，DE是AB的垂直平分线，求CE，BE的长．
C组 综合运用
15. 阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是____________命题；（填“真”或“假”）
（2）在Rt△ABC中，两边长分别是a=5，c=10，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
参考答案
【课堂笔记】
平方和 平方 a2＋b2＝c2
【分层训练】
1—4. BCBC
5. 4或5
6. 5 4.8
7. 13
8. 8
9. 9
10. （1）13； （2）8； （3）b＝6，c＝10.
11. （1）①AC＝5； ②CD＝；
（2）如图，三角形的面积为3.5．
12.
13. 4
14. CE＝3.2，BE＝6.8.
15. （1）真
（2）①当c为斜边时，b=，∴a=b，∴a2+c2≠2b2（或b2+c2≠2a2），∴Rt△ABC不是奇异三角形．
②当b为斜边时，b==5，∵a2+b2=200，∴2c2=200，∴a2+b2=2c2，∴Rt△ABC是奇异三角形．
2.7 探索勾股定理（第2课时）
课堂笔记
勾股定理的逆定理：如果三角形中____________等于第三边的____________，那么这个三角形是直角三角形，且最大边所对的角是____________．
分层训练
A组 基础训练
1． （滨州中考）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A． 4，5，6 B． 1.5，2，2.5 C． 2，3，4 D． 1，，3
2． 如果三条线段首尾相连组成直角三角形，那么这三条线段的长之比不可能是（ ）
A． 4∶3∶5 B. C． 9∶16∶25 D． 9∶41∶40
3． 若三角形的三边长分别为6，8，10，则最大边上的高线和中线的长分别为（ ）
A． 6，8 B． 4.8，5 C． 4.8，10 D． 6，5
4． 如果△ABC的三边长分别为m2－1，m2＋1，2m（m>1），那么（ ）
A． △ABC为直角三角形，且斜边长为m2＋1
B． △ABC为直角三角形，且斜边长为2m
C． △ABC为直角三角形，且斜边长需由m的大小确定
D． △ABC不是直角三角形
5． 以，2，为边的三角形的形状是____________．
6． 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AC＝____________．
7． 如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6． 则∠ACD＝____________度．
8． 如图是某中学一块四边形ABCD的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m．若每平方米草皮需要200元，则学校买草皮需投入资金____________元.
9． 如图，以三角形的三边长为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆的面积之和等于较大的半圆的面积，则这个三角形是____________三角形．
10． 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1.
（1）求△ABC的周长；
（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？
B组 自主提高
11． 阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判定△ABC的形状．
∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①
∴c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2），②
∴c2＝a2＋b2， ③
∴△ABC是直角三角形．
问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？
请写出该步的序号：____________；错误的原因为____________________________________；本题正确的结论是____________________________________．
12． 两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A，B. 接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O（如图所示）向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇同时以12海里/时的速度在北偏西一定角度的航向上行驶，已知它们离开港口一个半小时后分别到达A点，B点，且AB相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？
13． 如图，四边形ABCD为正方形，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC＝BC，那么AF和EF有怎样的位置关系，并说明理由．
C组 综合运用
14. 定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=24，AM=6，求BN的长．
参考答案
【课堂笔记】
两边的平方和 平方 直角
【分层训练】
1—4. BCBA
5. 等腰直角三角形
6. 2
7. 45
8. 4800
9. 直角
10. （1）由勾股定理可得，AC＝；BC＝；AB＝＝2；故△ABC的周长是；
（2）∵（）2＋（2）2＝（）2，∴AC2＋AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．
11. ③ a2－b2可以为零 △ABC为直角三角形或等腰三角形
12. 北偏西50°
13. 连结AE，设EC＝x，则FC＝DF＝2x，AD＝AB＝4x，BE＝3x，根据勾股定理可求出AF＝x，FE＝x，AE＝5x，再根据（x）2＋（x）2＝（5x）2得△AEF为直角三角形，所以AF⊥EF.
14. （1）是． 理由：∵AM2+BN2=1.52+22=6.25，MN2=2.52
=6.25，∴AM2+NB2=MN2，∴以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN=x，则MN=24-AM-BN=18-x，①当MN为最大线段时，依题意MN2=AM2+NB2，即（18-x）2=x2+36，解得x=8；
②当BN为最大线段时，依题意BN2=AM2+MN2．即x2=36+（18-x）2，解得x=10，综上所述，BN=8或10．
