复习课一（1.1—1.3）
例题选讲
知识点1 三角形的三边关系
例1 （1）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ）
A． 1，2，4 B． 4，5，9 C． 4，6，8 D． 5，5，11
（2）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则三角形的周长为 12或14 ．
知识点2 三角形的中线、高线和角平分线
例2 （1）如图，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC＝∠CAD，下列说法正确的是（ ）
A． 直线AD是△ABC的边BC上的高
B． 线段BD是△ABD的边AD上的高
C． 射线AC是△ABD的角平分线
D． △ABC与△ACD的面积相等
（2）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=____________．
（3）如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．若△ABC的面积S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝____________.
知识点3 三角形的内角和及外角的性质
例3 （1）如图，则△ABC的形状是（ ）
A． 锐角三角形
B． 钝角三角形
C． 直角三角形
D． 等腰三角形
（2）如图，已知AD是△ABC中∠BAC的平分线，∠ACE是△ABC的外角，若∠DAC＝35°，∠ACE＝106°，则∠B的度数为____________．
（3）如图，BP、CP均为角平分线，设∠A的度数为α，用α的代数式表示∠P.
知识点4 命题的概念、结构与证明
例4 （1）下列命题是真命题的是（ ）
A． 如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
B． 两互补的角一定是邻补角
C． 如果a2＝b2，那么a＝b
D． 如果两角是同位角，那么这两角一定相等
（2）把命题“相等的角是对顶角”改写成“如果…，那么…”的形式是________________________．
（3）如图，从①∠1=∠2；②∠C=∠D；③∠A=∠F，三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题有____________个．
（4）如图，已知BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，连结FG、FC，FC与BD相交于点H，如果∠GFH与∠BHC互补．
①求证：∠1=∠2；
②若∠A=80°，FG⊥AC，求∠ACB的度数．
课后练习
1．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）
2. 已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简a+b-c-c-a-b的结果为（ ）
A． 2a+2b-2c B． 2a+2b
C． 2c D． 0
3. 请将“同一个角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：____________________________________.
4． 如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D是BC延长线上一点，∠ACD＝150°，则∠B＝____________.
5. 在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为____________.
6. 如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板拼成如图图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是____________.
7. 如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=____________.
8． 如图，△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADC的度数为____________．
9. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．则第二局的输者是____________．
10． 已知：如图，AC⊥CB，CD⊥AB，求证：∠ACD＝∠B.
11. 在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E.
（1）∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大小；
（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C－∠B是否相等？若相等，请说明理由．
参考答案
【例题选讲】
例1 （1）C （2）12或14
例2 （1）B （2）85° （3）2
例3 （1）C （2）36° （3）图1：∠P＝90°＋α；图2：∠P＝α；图3：∠P＝90°－α.
例4 （1）A （2）如果两个角相等，那么它们是对顶角 （3）3 （4）①∵∠BHC=∠FHD，∠GFH+∠BHC=180°，∴∠GFH+∠FHD=180°，∴FG∥BD，∴∠1=∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠2=∠ABD，∴∠1=∠2.
②∵∠A=80°，FG⊥AC，∴∠1=90°-80°=10°，∴∠2=∠1=10°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=20°，∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=80°．
【课后练习】
1—2. CD
3. 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
4. 70°
5. 75°
6. 15°
7. 270°
8. 110°
9. 丙
10. ∵AC⊥CB，CD⊥AB（已知），∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°（垂直的定义）． ∴∠ACD＝∠B（同角的余角相等）．
11. （1）20°；
（2）相等，理由：由（1）知，∠EAD＝∠EAC－∠DAC
＝∠BAC－（90°－∠C）①，把∠BAC＝180°－∠B－∠C代入①，整理得，∠EAD＝∠C－∠B，∴2∠EAD＝∠C－∠B.
复习课七（5.1—5.3）
例题选讲
知识点1 函数、一次函数概念
例１ （１）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
（２）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（ ）
（３）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（ ）
A． 乙先出发的时间为0.5小时
B． 甲的速度是80千米/小时
C． 甲出发0.5小时后两车相遇
D． 甲到B地比乙到A地早小时
例２ 已知函数y=（m+1）+n+4．
（1）当m，n为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
知识点2 求一次函数解析式
例３ 某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路． 如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在30≤x≤120时具有一次函数的关系，如下表所示.
x
50
60
90
120
y
40
38
32
26
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修2千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了15天，求原计划每天的修建费．
例4 已知z=m+y，m是常数，y是x的正比例函数．当x=2时，z=1；当x=3时，z=-1，求z与x的函数关系式．
课后练习
1． 自由下落时物体下落的高度h与下落时间t之间的关系为h＝gt2（g＝9.8m/s2），其中变量为（ ）
A． h，t B． h，g C． t，g D． t
2． 若y＝（m－2）x＋（m2－4）是正比例函数，则m的取值是（ ）
A． 2 B． －2
C． ±2 D． 任意实数
3． 对于函数y＝2x－1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（ ）
A． 2m B． 2m－1 C． m D． 2m＋1
4． 某商店售货时，在进货价的基础上加一定的利润，其数量x与售价y如下表所示，根据表中所提供的信息，售价y与售货数量x的函数解析式为（ ）
数量x（千克）
1
2
3
4
…
售价y（元）
8＋0.4
16＋0.8
24＋1.2
32＋1.6
…
A. y＝8.4x B． y＝8x＋0.4
C． y＝0.4x＋8 D． y＝8x
5． 下表是某水库水位h随时间t的变化情况表.
t（h）
0
2
4
6
8
10
12
…
h（cm）
100
105
107
108
112
110
106
…
此表中水位h____________（填“是”或“不是”）时间t的函数．
６. “龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场，图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程），有下列说法：
①兔子和乌龟同时从起点出发；②“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子比乌龟早10分钟到达终点． 其中正确的说法是____________（把你认为正确说法的序号都填上）.
7． 一个长为120m，宽为100m的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加x米，宽增加y米，则y与x的函数关系式是____________，自变量x的取值范围是____________，且y是x的____________函数．
8． 观察图形．
上图中每个小正方形都是由四根火柴杆组成的，那么火柴杆的数量y（根）与小正方形的个数n的关系为____________．
9． 等腰三角形的周长为30cm.
（1）若底边长为xcm，腰长为ycm，写出y与x的函数关系式；
（2）若腰长为xcm，底边长为ycm，写出y与x的函数关系式．
10． 小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用玻璃杯和体积相同的小球进行如下操作：
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球，玻璃杯中的水面升高____________cm；
（2）求放入小球后玻璃杯中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）玻璃杯中至少放入几个小球时有水溢出？
11． 某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获得利润100元，每生产一个乙种产品可获得利润180元． 在这10名工人中，车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．
（1）请写出此车间每天获取利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；
（2）若要使此车间每天获取利润为14400元，要派多少名工人去生产甲种产品？
12． 某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2元/m3计算；月用水量超过20m3时，超过部分按2.6元/m3计费． 设每户家庭用水量为xm3时，应交水费y元．
（1）分别求出0≤x≤20和x>20时，y与x的关系式；
（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：
月份
四月份
五月份
六月份
交费金额
30元
34元
42.6元
小明家这个季度共用水多少立方米？
参考答案
【例题选讲】
例1 （1）C （2）D （3）D
例2 （1）∵2-|m=|1，得：m=±1． 又∵m+1≠0，即m≠-1，∴当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
（2）∵2-|m|=1，n+4=0，得：m=±1，n=-4，又∵m+1≠0，即m≠-1，∴当m=1，n=-4时，这个函数是正比例函数．
例3 （1）设y＝kx＋b，得得：∴y与x之间的函数关系式为：y＝－x＋50（30≤x≤120）．
（2）设原计划要m天完成，则增加2km后用了（m＋15）天，由题意，得，解并检验得：m＝45. ∴y＝－×45＋50＝41.
答：原计划每天的修建费为41万元．
例4 设y=kx，则z=m+kx，得得所以z与x的函数关系式为z=-2x+5．
【课后练习】
1—4. ABAA
5. 是
6. ②③④
7. y＝x＋20 x≥0 一次
8. y＝3n＋1
9. （1）y＝－＋15 （2）y＝30－2x
10. （1）2 （2）y＝30＋2x （3）10个小球
11. （1）y＝12x×100＋10（10－x）×180＝－600x＋18000.
（2）当y＝14400时，有14400＝－600x＋18000，解得：x＝6.
12. （1）当0≤x≤20时，y与x的函数表达式是：y＝2x；当x＞20时，y与x的函数表达式是：y＝2×20＋2.6（x－20）＝2.6x－12；
（2）因为小明家四、五月份的水费都不超过40元，故0≤x≤20，此时y＝2x，六月份的水费超过40元，x＞20，此时y＝2.6x－12，所以把y＝30代入y＝2x中得，2x＝30，x＝15；把y＝34代入y＝2x中得，2x＝34，x＝17；把y＝42.6代入y＝2.6x－12中得，2．6x－12＝42.6，x＝21. 所以，15＋17＋21＝53m3.
答：小明家这个季度共用水53m3.
复习课三（2.1—2.5）
例题选讲
知识点1 轴对称图形与轴对称
例1 （1）下列图形对称轴最多的是（ ）
A． 正方形 B． 等边三角形
C． 等腰三角形 D． 线段
（2）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠BAD′的大小是____________.
（3）如图，点A、B在直线l的同侧，AB=4cm，点C是点B关于直线l的对称点，AC交直线l于点D，AC=5cm，则△ABD的周长为____________cm．
知识点2 逆命题和逆定理
例2 （1）请写出“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题：____________．
（2）①如图，∠1=∠2，∠3=∠B，FG⊥AB于G，猜想CD与AB的关系，并证明你的猜想；
②在①的证明过程中，你应用了哪两个互为逆命题的真命题？
知识点3 等腰三角形的性质与判定
例3 （1）等腰三角形的一个外角等于100°，则它的底角等于____________．
（2）一个等腰三角形两边的长分别为3和8，那么这个三角形的周长是____________．
（3）已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E.
①作出边AC的垂直平分线DE；
②当AE＝BC时，求∠A的度数．
例4 如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连结AE.求证：AE∥BC.
课后练习
1． 如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，则下列结论中，不正确的是（ ）
A． AD＝AE B． DB＝EC C． ∠ADE＝∠C D． AD＝EC
2． 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，DE垂直平分AC，∠A＝50°，则∠DCB的度数是（ ）
A． 15° B． 30° C． 50° D． 65°
3． 已知P是∠AOB内部的一点，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，若∠AOB＝30°，则△P1OP2是（ ）
A． 直角三角形 B． 钝角三角形C． 等腰三角形 D． 等边三角形
4． 如图，在△ABC中，AC＝BC，D在BC的延长线上，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点P，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A． ∠ACD＝2∠A B．∠A＝2∠P
C． BP⊥AC D． BC＝CP
5． 如图，直线m，n交于点B，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的C点有多少个？（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
6． 在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于____________度．
7． （淮安中考）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝____________°.
8． 等边三角形的两条中线相交所成的钝角的度数为____________．
9． （呼和浩特中考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为____________．
10． 如图，在等边△ABC和等边△DBE中，点A在DE的延长线上，如果∠ECB＝38°，那么∠DAB＝____________度．
11． 如图，在正方形网格上有一个△ABC.
（1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；
（2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
12． 如图1，已知三角形纸片ABC，AB＝AC，∠A＝50°，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，求∠DBC的大小．
13． 如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝AC，D是AC边上的中点，延长BC至E，使CE＝CD.
（1）已知CD＝3，求BE的长；
（2）求证：BD＝DE；
（3）若点F是BE的中点，试判断DF与BE的位置关系并简要说明理由．
14． 【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN；
【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．
参考答案
【例题选讲】
例1 （1）A （2）30° （3）9
例2 （1）等边三角形的三个角都相等
（2）①CD⊥AB；
证明：∵∠3=∠B，∴DE∥BC，∴∠1=∠DCB，∵∠1=∠2，∴∠DCB=∠2，∴GF∥CD，又FG⊥AB，∴CD⊥AB；
②在①的证明过程中，应用“两直线平行，同位角相等”和它的逆命题“同位角相等，两直线平行”．
例3 （1）80°或50° （2）19 （3）①略 ②连结EC，设∠A＝x，则∠ACE＝x，∠CEB＝2x，∠B＝2x.得x＋2x＋120°＝180°. 解得：x＝20°.
例4 ∵△ABC和△DEC是等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ABC＝∠BCA＝∠ECD＝60°，∴∠BCA
－∠DCA＝∠ECD－∠DCA，即∠BCD＝∠ACE，
∵在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC＝∠B＝60°＝∠ACB，∴AE∥BC.
【课后练习】
1—5. DADCD
6. 90
7. 35
8. 120°
9. 63°或27°
10. 38
11. （1）图略
（2）面积为
12. ∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°.由折叠可知：∠ABD＝∠A＝50°. ∴∠DBC＝65°－50°＝15°.
13. （1）∵AB＝BC＝AC，BD是中线，∴BC＝AC＝2CD，∵CD＝3，∴BC＝2CD＝6，CE＝CD＝3，∴BE＝BC＋CE＝6＋3＝9.
（2）∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC
＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一），又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED. 又∵∠BCD＝∠CDE＋∠CED，∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°. ∴∠DBC＝∠DEC，∴BD＝DE.
（3）∵点F是BE边的中点，∴DF是BE边的中线，∵BD＝DE，∴DF⊥BE.
14. （1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝
AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，在△BAM和△CAN中，
∵∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN；
（2）结论∠ABC＝∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，在△BAM和△CAN中，∵
∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN.
复习课二（1.4—1.6）
例题选讲
知识点1 全等三角形的概念与性质
例1 如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，
（1）当DE=8，BC=5时，线段AE的长为____________；
（2）已知∠D=35°，∠C=60°，
①求∠DBC的度数；②求∠AFD的度数．
知识点2 全等三角形的判定
例2 （1）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A． ∠A＝∠D B． BC＝EF
C． ∠ACB＝∠F D． AC＝DF
（2）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D. 求证：△BEC≌△CDA.
知识点3 线段垂直平分线与角平分线
例3 （1）如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，则△ADE的周长等于____________.
（2）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是____________.
（3）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE=2，BC=5，则△BCE的面积为____________．
知识点4 尺规作图
例4 （1）如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）
A． ∠DAE=∠B B． ∠EAC=∠C
C． AE∥BC D． ∠DAE=∠EAC
（2）如图，在△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧相交于点M，N，连结MN，与AC，BC分别交于点D，E，连结AE.
①求∠ADE（直接写出结果）；
②当AB＝3，BC＝4时，求△ABE的周长．
知识点5 全等三角形在探究问题中的运用
例5 （1）如果两个三角形的两条边和其中一条边上的中线分别对应相等，那么这两个三角形第三边所对的角的关系是（ ）
A． 相等 B． 互余 C． 互补 D． 以上答案都不正确
（2）如图，BE，CF是△ABC的两条高线，延长BE到点P，使BP＝CA，CF与BE交于点Q，连结AQ，且QC＝AB.
①猜想AQ与AP的大小关系，并说明理由；
②按三角形内角判断△APQ的类型，并说明理由．
课后练习
1． 如图，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连结BC，AC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD=BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（ ）
A． AAS B． SAS C． ASA D． SSS
2． 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处． 若∠B=25°，则∠BDE=____________度．
3． 已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①BD平分∠ADC； ②AO=CO=AC；③AC⊥BD；④S四边形ABCD=AC·BD．
（1）在以上结论中，正确的有____________（只填序号）；
（2）请选择一个你认为正确的结论进行证明．
4. 已知：∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，
（1）如图1，
①线段CD和BE的数量关系是____________；
②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明；
（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请直接写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．
参考答案
【例题选讲】
例1 （1）3 【点拨】∵△ABC≌△DEB，DE=8，BC=5，∴AB=DE=8，BE=BC=5，∴AE=AB-BE=8-5=3.
（2）①∵△ABC≌△DEB，∴∠A=∠D=35°，∠DBE
=∠C=60°，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠ABC=
180°-∠A-∠C=85°，∴∠DBC=∠ABC-∠DBE
=85°-60°=25°； ②∵∠AEF是△DBE的外角，∴∠AEF=∠D+∠DBE=35°+60°=95°，∵∠AFD是△AEF的外角，∴∠AFD=∠A+∠AEF=35°+95°=130°．
例2 （1）D （2）∵BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，∴∠BEC＝∠CDA＝90°.在Rt△BEC中，∠BCE＋∠CBE＝90°，在Rt△BCA中，∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠CBE＝∠ACD.在△BEC和△CDA中，
∵
∴△BEC≌△CDA.
例3 （1）8 【点拨】∵AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∴DA=DB，EA=EC，则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8.
（2）32° 【点拨】∵EF是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠DBC=∠ECB，∵∠BAC=60°，∠ACE=24°，∴∠ABD=∠DBC=∠ECB=（180°-60°-24°）=32°．
（3）作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=BC·EF=×5×2=5．
例4 （1）D （2）①90°； ②7.
例5 （1）A （2）①AQ=AP，∵∠BQF+∠ABQ=90°，∠ACQ+∠CQE=90°，∠BQF=∠CQE，∴∠ABQ=∠ACQ，在△ABP和△QCA中，
∴△ABP≌△QCA（SAS），∴AQ=AP.
②∵△ABP≌△QCA，∴AQ=AP，∠CAQ=∠P． ∵∠P＋∠PAE=90°，∴∠CAQ＋∠PAE=90°，∴∠QAP=90°，∴△QAP为等腰直角三角形．
【课后练习】
1. B
2. 40
3. （1）①②③④
（2）在△ABD与△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠BDA=∠BDC，故①正确，易证△AOD≌△COD，∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故②③正确；四边形ABCD的面积=
S△ADB+S△BCD=DB×OA+DB×OC=AC·BD，故④正确.
4. （1）①CD=BE． 理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB
=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠B，在△ACD和△CBE中，∴△ACD≌△CBE，∴CD=BE．
②结论：AD=BE+DE． 理由：∵△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∵CE=CD+DE=BE+DE，∴AD=BE+DE．
（2）②中的结论不成立．结论：DE=AD+BE． 理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠B，在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∵DE=CD+CE=BE+AD，∴DE=AD+BE．
复习课五（3.1—3.4）
例题选讲
知识点1 不等式的概念与性质
例1 （1）若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A． ac>bc B． ab>cb
C． a＋c>b＋c D． a＋b>c＋b
（2）已知关于x的不等式（1-a）x＞a-1的解集是x＞-1，则a的取值范围是____________．
知识点2 解一元一次不等式（组）
例2 （1）若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为____________.
（2）若不等式组的解集是-1＜x＜1，则（a+b）2019=____________．
例3 解不等式（组）：
（1）．
（2）把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．
知识点3 一元一次不等式的应用
例3 （1）用每分可抽30t水的抽水机来抽污水管道内的污水，估计积存的污水超过1200t而不足1500t，则将污水抽完所用时间x分的取值范围是____________.
（2）（宁波中考）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
①甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
②若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
课后练习
1． （丽水中考）如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是（ ）
A． x≥2 B． x＞2
C． x＞－1 D． －1＜x≤2
2． 关于x的方程＝－1的解是正数，则a的取值范围为（ ）
A． a>－1 B． a>－1且a≠0
C． a<－1 D． a<－1且a≠－2
3. 关于x的不等式组的整数解有4个，则a的取值范围是（ ）
A． 6＜a＜7 B． 6≤a＜7 C． 6≤a≤7 D． 6＜a≤7
4． 若x＜y，且（a-3）x＞（a-3）y，则a的取值范围是____________．
5． 小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶．已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买____________瓶甲饮料．
6． 五条长度均为整数的线段a1，a2，a3，a4，a5，满足a1
7． 已知三个一元一次不等式：2x＞4，2x≥x－1，x－3＜0.请从中选择你喜欢的两个不等式，组成一个不等式组，求出这个不等式组的解集，并将解集在数轴上表示出来．
（1）你组成的不等式组是 ；
（2）
8． 解下列不等式（组）.
（1）；
（2）并写出不等式组的整数解．
9． 关于x的不等式组的解集为1＜x＜3，求a的值．
10． 定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a（a－b）＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×（2－5）＋1＝2×（－3）＋1＝－6＋1＝－5.
（1）求（－2）⊕3的值；
（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图中的数轴上表示出来．
11． 已知关于x，y的方程组的解满足x>0，y>0，求实数a的取值范围．
12. （攀枝花中考）攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果，共花费450元；后又购买了1箱A品种芒果和2箱B品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．
（1）问A品种芒果和B品种芒果的售价分别
是每箱多少元？
（2）现要购买两种芒果共18箱，要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍，但不超过A品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．
参考答案
【例题选讲】
例1 （1）B （2）a＜1
例2 （1）m> （2）-1
例3 （1）x≥-7．
（2）由①得：x≥－1，由②得：x＜3，不等式组的解集为：－1≤x＜3.在数轴上表示为：
不等式组的非负整数解为x=2，1，0.
例4 （1）40＜x＜50
（2）①设甲种商品的销售单价为x元，乙种商品的销售单价为y元，依题意有解得
答：甲种商品的销售单价为900元，乙种商品的销售单价为600元；
②设销售甲种商品a万件，依题意有900a+600（8-a）≥5400，解得a≥2．
答：至少销售甲种商品2万件．
【课后练习】
1—3. ADD
4. a＜3
5. 3
6. 3
7. （1）（答案不唯一）
（2）解集x＞2，图略.
8. （1）-5≥■，2x-30≥4x+1-21，2x-4x≥1-21+30，-2x≥10，x≤-5.
（2）解不等式①得：x<4，解不等式②得：x≥-2，所以不等式组的解集为：-2≤x＜4，整数解为x=-2，-1，0，1，2，3．
9. 4
10. （1）（－2）⊕3＝－2×（－2－3）＋1＝－2×（－5）＋1＝10＋1＝11；
（2）∵3⊕x<13，∴3（3－x）＋1<13，9－3x＋1<13，－3x<3，x>－1，图略．
11. 得：∴－12. （1）设A品种芒果每箱x元，B品种芒果为每箱y元，根据题意得：解得：
答：A品种芒果售价为每箱75元，B品种芒果售价为每箱100元．
（2）设购买A品种芒果n箱，总费用为m元，则购买B品种芒果（18-n）箱，∴18-n≥2n且18-n≤4n，∴≤n≤6，∵n为非负整数，∴n=4，5，6，相应的18-n=14，13，12；∴购买方案有：A品种芒果4箱，B品种芒果14箱；A品种芒果5箱，B品种芒果13箱；A品种芒果6箱，B品种芒果12箱；∴所需费用m分别为：4×75+14×100=1700元；5×75+13×100=1675元；6×75+12×100=1650元，∴购进A品种芒果6箱，B品种芒果12箱总费用最少.
复习课八（5.4—5.5）
例题选讲
知识点1 一次函数的图象
例1 （１）下列图象中，能反映等腰三角形顶角y（度）与底角x（度）之间的函数关系的是（ ）
（2）已知A（6，0），点B（x，y）在第一象限内，且x+y=8，设△AOB的面积为S，写出S与x之间的函数关系式及x的取值范围____________.
知识点2 一次函数的图象与系数
例2 （1）请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，-1）． 此一次函数的解析式可以是____________．
（2）若bk＜0，则直线y=kx+b一定通过第____________象限.
（3）如果直线y=kx+b经过第一、三、四象限，那么直线y=-bx+k经过第_________象限．
（4）已知一次函数y=（6+3m）x+（n-4）． 求：
①m为何值时，y随x的增大而减小；
②m，n满足什么条件时，函数图象与y轴的交点在x轴下方；
③m，n分别取何值时，函数图象经过原点；
④m，n满足什么条件时，函数图象不经过第二象限．
知识点3 一次函数与增减性
例3 （1）一次函数y=（m-2）x+3，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是____________．
（2）已知一次函数y=-x+4.
①此函数图象与x轴的交点A的坐标为____________，与y轴的交点B的坐标为____________；
②画出此函数的图象；
③根据所画图象回答：当x____________时，y＞0；当1≤x≤2时，则y的取值范围是____________；当-2≤y≤4时，则x的取值范围是____________.
知识点4 一次函数与方程、不等式
例4 如图，直线AD∶y＝－x＋b与直线BC∶y＝x＋1相交于点B（2，a）．
（1）求a，b的值；
（2）求△ADC的面积；
（3）根据图象，写出关于x的不等式0＜－x＋b＜x＋1的解集．
知识点5 一次函数的图象信息问题
例5 小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O—A—B—C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
（1）小聪在天一阁查阅资料的时间为____________分钟，小聪返回学校的速度为____________千米/分；
（2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分）之间的函数关系；
（3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
知识点6 一次函数的最值问题
例6 （潍坊中考）某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹（tái）共100吨．第一批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元/吨．这两批蒜薹共用去16万元．
（1）求两批次购进蒜薹各多少吨？
（2）公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元． 要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？
课后练习
1． 函数y1＝ax＋b与y2＝bx＋a在同一直角坐标系中的图象可能是下列图中的（ ）
2． （荆州中考）若点M（k－1，k＋1）关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y＝（k－1）x＋k的图象不经过第____________象限．
3． 已知一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，对应的y的值为1≤y≤9，则这个一次函数的表达式是________________________．
4． 某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：
（1）出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式；
（2）若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，
求这位乘客乘车的里程．
5． 某玩具厂分别安排甲乙两个车间加工1000个同一型号的奥运会吉祥物，每名工人每天加工吉祥物的个数相等且保持不变，由于生产需要，其中一个车间推迟两天开始加工，刚开始加工时，甲车间有10名工人，乙车间有12名工人，图中线段OB和折线ACB分别表示两个车间的加工情况． 依据图中提供的信息，完成下列各题：
（1）线段OB反映的是____________车间的加工情况；
（2）开始加工后，甲车间加工多少天后，两车间加工吉祥物数量相同？
（3）根据折线段反映的加工情况，请你提出一个问题，并给出解答．
参考答案
【例题选讲】
例1 （1）C （2）S=-3x+24（0＜x＜8）
例2 （1）y=x-1（答案不唯一） （2）一、四
（3）一、二、三
（4）①∵y随x的增大而减小，∴6+3m＜0，∴m＜-2，∴当m＜-2时，y随x的增大而减小；
②∵一次函数y=（6+3m）x+（n-4）的图象与y轴的交点在x轴下方，∴6+3m≠0，n-4＜0，∴m≠-2，n＜4．∴当m≠-2、n＜4时，函数图象与y轴的交点在x轴下方；
③∵一次函数y=（6+3m）x+（n-4）的图象经过原点，∴6+3m≠0，n-4=0，∴m≠-2，n=4． ∴当m≠-2、n=4时，函数图象经过原点；
④∵一次函数y=（6+3m）x+（n-4）的图象不经过第二象限，∴6+3m＞0，n-4＜0，∴m＞-2，n＜4． ∴当m＞-2、n＜4时，函数图象不经过第二象限．
例3 （1）m＜2 （2）①（，0） ②（0，4）
③＜ 0≤x≤8
（2）②如图所示
例4 （1）a＝2，b＝4； （2）△ADC的面积为12；
（3）2＜x＜4.
例5 （1）15
（2）由图象可知，s是t的正比例函数．设所求函数的解析式为s＝kt（k≠0），代入（45，4），得4＝45k，解得k＝.∴s与t的函数关系式为s＝t（0≤t≤45）．
（3）由图象可知，小聪在30≤t≤45的时段内s是t的一次函数，设函数解析式为s＝mt＋n（m≠0），代入（30，4），（45，0），得解得∴s＝－t＋12（30≤t≤45）．令－t＋12＝t，解得t＝.当t＝时，s＝×＝3. 答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．
例6 （1）设第一批购进蒜薹x吨，第二批购进蒜薹y吨． 由题意解得
答：第一批购进蒜薹20吨，第二批购进蒜薹80吨．
（2）设精加工m吨，总利润为w元，则粗加工（100-m）吨． 由m≤3（100-m），解得m≤75，利润w=1000m+400（100-m）=600m+40000，∵600＞0，∴w随m的增大而增大，∴m=75时，w有最大值为85000元．
【课后练习】
1. A
2. 一
3. y＝2x＋7或y＝－2x＋3
4. （1）起步价是8元，设当x＞3时，y与x的函数关系式为y＝kx＋b，得解得：故y与x的函数关系式为：y＝2x＋2；
（2）当y＝32时，32＝2x＋2，x＝15.
答：这位乘客乘车的里程是15km.
5. （1）甲 （2）直线OB解析式：y＝50x，A（2，0）、
C（18，960），设直线AC解析式为：y＝kx+b，则
0=2k+b，960=18k+b，解得： 直线AC解析式：y＝60x-120，联立：解得：
答：甲车间加工12天后，两车间加工的吉祥物数量相同．
（3）问题：第19天时，甲、乙两车间加工吉祥物数量相差多少？
设BC的函数解析式为：y1＝kx+b，B（20，1000），C（18，960），解得：∴y1＝20x+600，当x=19时，y1=20×19+600=980，y=50×19=950，y1-y=980-950=30，相差30个.（答案不唯一）
复习课六（4.1—4.3）
例题选讲
知识点1 确定位置的方法
例1 （1）以下是甲、乙、丙三人看地图时对四个地标的描述：
甲：从学校向北直走500米，再向东直走100米可到图书馆；
乙：从学校向西直走300米，再向北直走200米可到博物馆；
丙：博物馆在体育馆正西方向200米处．
根据三人的描述，若从图书馆出发，其终点是体育馆，则下列描述正确的是（ ）
A． 向南直走300米，再向西直走200米
B． 向南直走300米，再向西直走600米
C． 向南直走700米，再向西直走200米
D． 向南直走700米，再向西直走600米
（2）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置．求椒江区B处的坐标.
知识点2 平面直角坐标系
例２ （１）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（－2，3），嘴唇C点的坐标为（－1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是____________．
（２）已知点P（2a+4，3a-6）.
①点P在y轴上，则a的值是____________；
②点P在第四象限，则a的取值范围是____________；
③点P在第二、四象限的角平分线上，则a的值是____________；
④点P到x轴的距离为2，则a的值是____________.
（３）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则点P的坐标为____________．
知识点3 平面直角坐标系中图形变换
例３ （１）在平面直角坐标系中．
①将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是____________；
②将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（-3，2）重合，则点A的坐标是____________．
（２）如图，把图1中的△ABC经过一定的变换得到图2中的△A′B′C′，如果图1中△ABC上点P的坐标为（a，b），那么这个点在图2中的对应点P′的坐标为____________．
（３）在网格中建立如图的直角坐标系，三点A，O，B的位置如图，它们分别是（-1，1），（0，0）和（1，0）.
①如图1，格点P使A，O，B，P四点成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；
②如图2，在除（1）中的其他格点位置添加一点P，使A，O，B，P四点成为一个轴对称图形，请画出所有符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标.
课后练习
1． 下列数据不能确定物体位置的是（ ）
A． 5楼6号 B． 北偏东30°
C． 大学路19号 D． 东经118°，北纬36°
2． （荆门中考）在平面直角坐标系中，若点A（a，－b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象限是（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
3． 已知点A（a，－3）与点B（4，b）关于y轴对称，则a－b的值为（ ）
A． 7 B． 1 C． －1 D． －7
4． 在平面直角坐标系中，将点P（－2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P′的坐标是（ ）
A． （2，4） B．（1，5） C． （1，－3） D． （－5，5）
5． 将如图所示的围棋盘放在平面直角坐标系内，黑棋A的坐标为（－1，2），黑棋C的坐标为（1，1），那么白棋B的坐标为____________．
6． 已知点A的坐标为（4，3），点B的坐标为（4，－2），O为坐标原点，则△AOB的面积为____________.
7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是由△ABC经过若干次的图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：____________．
8． 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，1），点T（t，0）是x轴上的一个动点，当△PTO是等腰三角形时，t值的个数有____________个．
９. 如图，边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给的直角坐标系中解答下列问题.
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；
（2）在格点上找一点D，使得以B、C、D三点为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为____________；
（3）若平面内有一点P（m，3.5）关于x轴对称的点为Q（2.5，-n），则m=____________，n=____________.
10． 在如图所示的方格纸中，把每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形，解决下面的问题：
（1）请描述图中的格点△A′B′C′是由格点
△ABC通过哪些变换方式得到的？
（2）若以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（－3，1），请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．
11． 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（－3，－1）、B（－4，－3）、C（－2，－5）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形；
（3）求△ABC的面积．
12． 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（－2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.
（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是____________个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是____________；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是____________度；
（2）连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
参考答案
【例题选讲】
例1 （1）A
（2）如图：连结AB，作BC⊥x轴于C点，由题意，得AB=16，
∠ABC=30°，AC=8，BC=8．
OC=OA+AC=10，B（10，8）．
例2 （1）（3，3） （2）①－２ ②-2＜a＜2 ③
④ （3）（4，0）或（，0）或（－，
0）或（，0）
例3 （1）①（1，2） ②（2，-1） （2）（a+3，b+2）
（3）①如图1，直线l就是所求的对称轴；
②点P的位置如图2所示，点P1（2，1），点P2（0，-1），点P3（-1，-1）.
【课后练习】
1—4. BDCB
5. （－3，－2）
6. 10
7. 将△ABC沿y轴翻折，再将得到的三角形向下平移3个单位长度（答案不唯一）
8. 4
9. （1）图略. （2）D1（4，0），D2（0，4），D3（0，0）
（3）2.5 3.5
10. （1）先将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，再向右平移5个单位得到△A′B′C′（或先平移再旋转也可）．
（2）D（0，－2），E（－4，－4），F（2，－3）．S△DEF＝6×2－×4×2－×2×1－×6×1＝4.
11. （1）如图所示，△ABC关于x轴对称的三角形的三个顶点坐标分别为（－3，1）、（－4，3）、（－2，5）；
（2）如图所示，△ABC关于y轴对称的三角形三个顶点的坐标分别为（3，－1）、（4，－3）、（2，－5）；
（3）S△ABC＝2×4－×1×2－×1×4-×2×2＝8－1－2－2＝3.
12. （1）2 y轴 120
（2）由旋转得OA＝OD，∠AOD＝120°，∵△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COD＝∠AOD－∠AOC＝60°，∴∠COD＝∠AOC，又OA＝OD，∴OC
⊥AD，∴∠AEO＝90°.
复习课四（2.6—2.8）
例题选讲
知识点1 直角三角形
例1 （1）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，D为线段AB的中点，则∠ACD=____________．
（2）直角△ABC中，∠A-∠B=20°，则∠C的度数是____________．
（3）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，BC=3cm，AB=____________cm．
（4）如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2，有下列结论：①AC∥DE；②∠A=∠3；③∠B=∠1；④∠B与∠2互余；⑤∠A=∠2．其中正确的有____________（填写所有正确的序号）．
（5）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将其折叠，使A落在边CB上的A′处，折痕为CD，若∠BDC=95°，则∠A′DB=____________．
知识点2 勾股定理及逆定理
例2 （1）若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为____________.
（2）已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则BC∶AC∶AB=____________.
（3）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=17，BD=15，DC=6，则AC的长为____________.
（4）定义：如图，点M，N把线段AB分割成三条线段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM=2，MN=3，求BN的长．
知识点3 直角三角形全等的判定
例3 （1）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是____________．（写一种即可）
（2）如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，
AD⊥CE于D，下面四个结论：
①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；
③AB=CE；④AD-BE=DE．
正确的是____________（将你认为正确的答案序号都写上）．
例4 （1）如图1，AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AC=DE，试说明BC⊥CE的理由；
（2）如图2，若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AD=DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
知识点4 直角三角形的综合运用
例5 如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连结AM.
（1）求证：EF＝AC；
（2）若∠BAC＝45°，求线段AM，DM，BC之间的数量关系．
课后练习
1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB＝10，AC＝6，则△ACD的周长为（ ）
A． 16 B． 14 C． 20 D． 18
2． 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别是5和11，则b的面积为（ ）
A． 4 B． 6 C． 16 D． 55
3． 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A． 90° B． 60° C． 45° D． 30°
4. 如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光． 则一个身高1.5m的学生要走到离墙____________m远的地方灯刚好发光.
5． 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6.若点P在边AC上移动，则BP的最小值是____________．
6． 有一长、宽、高分别为8、6、10的牛奶盒子，在盒子上插入一根吸管（吸管的粗细、形状忽略不计），则能插入盒子内的吸管最大长度是____________．
7． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°.按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D.则∠ADC的度数为____________．
8． 等腰△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，交BC于D，点E是AB的中点，连结DE.
（1）求∠BAD的度数；
（2）求∠BED的度数；
（3）求线段DE的长．
9． 印度数学家什迦逻（1141～1225）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲．
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边．
渔人观看忙向前，花离原位二尺远．
能算诸君请解题，湖水如何知深浅．”
如图所示，请用学过的数学知识回答这个问题．
10． 如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝8. 点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当△ABD是等腰三角形时，t＝____________；（请直接写出答案）
（2）求当t为何值时，△ABD是直角三角形？并说明理由．
参考答案
【例题选讲】
例1 （1）50° （2）20°或90° （3）6 （4）①②③
（5）10°
例2 （1）8 （2）1∶∶2 （3）10
（4）分两种情况：
①当MN为最长线段时，∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，∴BN==；
②当BN为最长线段时，∵点M、N是线段AB的勾股分割点，∴BN==.
综上所述：BN的长为．
例3 （1）AC=BD（答案不唯一） （2）①②④
例4 （1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°． 又∵AB=CD，AC=DE，∴△ABC≌△DCE． ∴∠B=∠DCE． ∵∠B+∠ACB=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°． ∴∠BCE=90°，即BC⊥CE；
（2）结论成立，∵AB⊥AD，ED⊥AD，∴∠A=∠CDE=90°． 又∵AB=CD，AD=DE，∴△ABD≌△DCE． ∴∠B=∠DCE． ∵∠B+∠ADB=90°，∴∠ADB+∠DCE=90°．∴BD⊥CE．
例5 （1）证明：∵CD＝CB，点E为BD的中点，∴CE⊥BD.∵点F为AC的中点，∴EF＝AC；
（2）∵∠BAC＝45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形．∵点F为AC的中点，∴EF垂直平分AC，∴AM＝CM，∵CD＝CM＋DM＝AM＋DM，CD＝CB，∴BC＝AM＋DM.
【分层训练】
1—3. BCC
4. 4
5. 4.8
6. 10
7. 65°
8. （1）50° （2）100° （3）4
9. 设湖水深为x尺，则红莲总长为（x＋0.5）尺，根据题意，得x2＋22＝（x＋0.5）2，解得x＝3.75，即湖水深3.75尺．
10. （1）3或秒 （2）t＝或4秒时，△ABD为直角三角形，理由略.
