第3章 圆的基本性质 基础测试卷（含答案）

浙教版九上数学第3章《圆的基本性质》基础测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ?）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
2.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD.若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是(?? )
A.?50°???????????????????????????????????????B.?60°???????????????????????????????????????C.?40°???????????????????????????????????????D.?30°
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
3.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径 ，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是 ??
A.?3dm????????????????????????????????????B.?4dm????????????????????????????????????C.?5dm????????????????????????????????????D.?6dm
4.如图，线段 是 的直径，弦 ， ，则 等于（?? ）
A.?160°????????????????????????????????????B.?150°????????????????????????????????????C.?140°????????????????????????????????????D.?120°
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（ ??）
A.?4 ????????????????????????????????????B.?6 ????????????????????????????????????C.?2 ????????????????????????????????????D.?8
6.如图，AD是⊙O的直径， ，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（?? ）
A.?40°???????????????????????????????????????B.?50°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?70°
（第6题） （第7题） （第8题） （第11题）
7.如图，四边形ABCD是 的内接四边形，若 ，则 的度数是 ??
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
8.如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC等于（?? ）
A.?22°???????????????????????????????????????B.?26°???????????????????????????????????????C.?32°???????????????????????????????????????D.?34°
9.已知圆内接正三角形的面积为 ，则该圆的内接正六边形的边心距是（?? ）
A.?2????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
10.在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则 的长等于（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
11.如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（??? ）A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?

12.如图，圆?半径为 ，弓形高为 ，则弓形的弦 的长为（?? ）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?

（第12题） （第13题） （第14题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13.如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为________
14.如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C＝2∠A，则BD＝________.
15.如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，AB=6，则BD=________．

（第15题） （第16题） （第17题） （第18题）
16.如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径为________.
17.如图，四边形ABCD中， ，若 ，则 ________度
18.如图， 是圆 的弦， ，垂足为点 ，将劣弧 沿弦 折叠交于 的中点 ，若 ，则圆 的半径为________.
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
19.（8分）如图，∠C=90°，以AC为半径的圆C与AB相交于点D．若AC=3，CB=4，求BD长．
20.（8分）如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C=60°． 求证：△ABD为等边三角形．
21.（8分）如图，AB是 的直径，点C、D是 两点，且AC=CD．求证：OC//BD.

22.（10分）已知在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC 于 D，BC 于E， 连接ED．

（1）求证：ED=EC；
（2）若 CD=3，EC=2 ，求 AB的长.
（10分）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，EF⊥AB于E，连接OE，AC∥OE，OD⊥AC于D，若BF=2，EF=4，求线段AC长．
24.（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
25.（12分）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆， = ，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．
（1）求证：AD=CE；
（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．

浙教版九上数学第3章《圆的基本性质》基础测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1. A 2. A 3. B 4. C 5. A 6. B
7. D 8. A 9. B 10. C 11. A 12. C
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13.
14. 4
15.
16.
17.
18.
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
19. 解：（1）∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB= = =5，点C作CE⊥AB于点E，则AD=2AE， ∵∠CAE=∠CAB，∠AEC=∠ACB=90°，∴△ACE∽△ABC，∴ = ，∴AC2=AE?AB，即32=AE×5∴AE=1.8，∴AD=2AE=2×1.8=3.6∴BD=AB﹣AD=5﹣3.6=1.4．
20. 证明：∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC， ∴AE=DE，∴BD=BA，∵∠D=∠C=60°，∴△ABD为等边三角形．
21. 证明：∵AC=CD，
∴ ，
∴∠ABC=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥BD．
22. （1）证明： 连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵AB=AC,∴BE=CE,∠BAE=∠CAE,
∴弧BE=弧DE,∴BE=ED,∴ED=EC
（2）解： 法一：∵四边形ABED是圆内接四边形∴∠B+∠ADE=180°，又∵∠ADE+∠EDC=180°，∴∠EDC=∠B，∴△CDE∽△CBA，∴， ∴∴AC=AB=8
法二：连接BD，BE=ED=EC，可得BC，进而推出BD，设AB=AC=x，则AD=x-3，由BD2+AD2=AB2推得AB长。
23. 解：设OE=x，则OF=x﹣2， 由勾股定理得，OE2=OF2+EF2 ， 即x2=（x﹣2）2+42 ， 解得，x=5，∴OF=3，∵AC∥OE，OD⊥AC，∴OD⊥OE，∵OA=OE，EF⊥AB，∴△ADO≌△OFE，∴AD=OF=3，∵OD⊥AC，∴AC=2AD=6．
24. （1）解：∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=（x﹣4）2+82 ，
解得：x=10，
∴⊙O的直径是20．
（2）解：∵∠M= ∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D= ∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=30°.
25. （1）证明：（1）在⊙O中，
∵ = ，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠B=∠EAC，
在△ABD和△CAE中， ，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD=CE
（2）解：连接AO并延长，交边BC于点H，
∵ = ，OA为半径，
∴AH⊥BC，
∴BH=CH，
∵AD=AG，
∴DH=HG，
∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，
∵BD=AE，
∴CG=AE，
∵CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
浙教版九上数学第3章《圆的基本性质》基础测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ?）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
答案： A
考点：点与圆的位置关系
解析：∵ ⊙O的半径为6 ， 点P在⊙O内 ， ∴OP＜6. 故答案为：A .
分析：要想判断点和圆的位置关系，主要确定点和圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆的距离为d，圆的半径为r，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内；据此判断即可.
2.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD.若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是(?? )
A.?50°???????????????????????????????????????B.?60°???????????????????????????????????????C.?40°???????????????????????????????????????D.?30°
答案： A
考点：三角形内角和定理，旋转的性质
解析：根据旋转的意义，图片按逆时针方向旋转80°，可得∠AOC=80°，∠C=∠A， ∵∠A＝2∠D＝100° ∴∠A=100°，∠D=50°， ∴∠DOC=180°-∠C-∠D=30°， ∴∠a=∠AOC-∠DOC=50°
故答案为：A.
分析：根据旋转的性质，可得∠AOC=80°，∠C=∠A，利用三角形内角和定理可求出∠DOC的度数，由∠a=∠AOC-∠DOC，即可求出∠α的度数.
3.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径 ，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是 ??
A.?3dm????????????????????????????????????B.?4dm????????????????????????????????????C.?5dm????????????????????????????????????D.?6dm
答案： B
考点：勾股定理，垂径定理
解析：由题意知OD⊥AB，交AB于点E，
∵AB＝16，
∴BC＝ AB＝ ×16＝8，
在Rt△OBC中，
∵OB＝10，BC＝8，
∴OC＝ ＝6，
∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4。
故答案为：B。
分析：根据垂径定理得出BC＝ AB＝ ×16＝8，在Rt△OBC中，利用勾股定理算出OC的长，进而根据CD＝OD﹣OC即可算出答案。
4.如图，线段 是 的直径，弦 ， ，则 等于（?? ）
A.?160°????????????????????????????????????B.?150°????????????????????????????????????C.?140°????????????????????????????????????D.?120°
答案： C
考点：垂径定理，圆周角定理
解析：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴ ，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°。
故答案为：C。
分析：根据垂径定理得出， 根据等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠BOD=40°，最后根据邻补角的定义即可得出答案。
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（ ??）

A.?4 ????????????????????????????????????B.?6 ????????????????????????????????????C.?2 ????????????????????????????????????D.?8
答案： A
考点：垂径定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心
解析：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD= ∠AOC，
∴∠COD=∠B=60°；
在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，
∴CD= OC=2 ，
∴AC=2CD=4 ．
故答案为：A． 分析：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，由圆周角定理和已知条件可得∠COD=∠B=60°；解直角三角形COD可求得CD的长再由垂径定理可得AC=2CD即可求解。
6.如图，AD是⊙O的直径， ，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（?? ）
A.?40°???????????????????????????????????????B.?50°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?70°
答案： B
考点：圆周角定理
解析：∵ ，∠AOB＝40°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，
∴∠BOC＝100°，
∴∠BPC＝ ∠BOC＝50°。
故答案为：B。
分析：根据等弧所对的圆心角相等得出∠COD＝∠AOB＝40°，根据平角的定义得出∠BOC的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半算出∠BPC的度数。
7.如图，四边形ABCD是 的内接四边形，若 ，则 的度数是 ??
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
答案： D
考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质
解析：∵ ， ∴∠A=72°, ∵ 四边形ABCD是 的内接四边形 , ∴∠C=180°－∠A=180°－72°=108°. 故答案为：D。 分析：根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠A=72°,根据圆内接四边形的对角互补即可算出∠C的度数。
8.如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC等于（?? ）
A.?22°???????????????????????????????????????B.?26°???????????????????????????????????????C.?32°???????????????????????????????????????D.?34°
答案： A
考点：等腰三角形的性质，圆周角定理
解析：连接OC， ∵ ∠A＝68° ， ∴∠BOC=2∠A=136°, ∵OB=OC, ∴ ∠OBC ==22°; 故答案为 ：A。 分析：根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOC，再根据三角形的内角和及等腰三角形的两底角相等即可算出答案。
9.已知圆内接正三角形的面积为 ，则该圆的内接正六边形的边心距是（?? ）
A.?2????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
答案： B
考点：正多边形和圆
解析：解: 因为圆内接正三角形的面积为 ，
所以圆的半径为 ，
所以该圆的内接正六边形的边心距 ×sin60°= ，
故答案为：B．
分析：因为正三角形的面积=边长的平方，所以根据圆内接正三角形的面积为 可求得圆的半径；而正三角形的半径即为圆内接正六边形的边长，解以圆的半径为边长的等边三角形即可求得该圆的内接正六边形的边心距。
10.在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则 的长等于（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
答案： C
考点：弧长的计算
解析：连接OA、OB，
∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴ 的长为： = ，
故答案为：C．
分析：连接OA、OB，根据三边相等的三角形是等边三角形得出：△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AOB=60°，然后利用弧长计算公式l=即可算出答案。
11.如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（??? ）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
答案： A
考点：正多边形和圆，扇形面积的计算，几何图形的面积计算-割补法
解析：6个月牙形的面积之和 ，
故答案为：A.
分析：根据三角形的面积计算方法、扇形的面积计算方法j及正多边形的性质，由6个月牙形的面积之和=6[直径为2的半圆的面积-(半径为2、圆心角为60°的扇形的面积-边长为2的等边三角形的面积）]即可算出答案。
12.如图，圆?半径为 ，弓形高为 ，则弓形的弦 的长为（?? ）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
答案： C
考点：勾股定理，垂径定理
解析：如图,过O作OD⊥AB于C,交⊙O于D,
∵CD=4,OD=10,
∴OC=6,
又∵OB=10,
∴Rt△BCO中,BC= =8
∴AB=2BC=16。
故答案为：C。
分析：如图,过O作OD⊥AB于C,交⊙O于D,根据线段的和差得出OC=6，在Rt△BCO中，根据勾股定理算出BC的长，进而根据垂径定理，由AB=2BC即可得出答案。
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13.如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为________
答案：
考点：勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义
解析：连接OA，OC，
∵∠COA=2∠CBA=90°，
∴在Rt△AOC中，AC= ，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△ACD中，CD= ，
故答案为： . 分析：连接OA，OC，根据圆周角定理∠COA=2∠CBA=90°.在Rt△AOC中，利用勾股定理可求出AC的长.在Rt△ACD中,利用解直角三角形可求出CD的长.
14.如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C＝2∠A，则BD＝________.
答案： 4
考点：垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质
解析：连接OB、OD，过O作OE⊥BD，垂直为E， ∵ 四边形ABCD内接于⊙O ， ∴∠C+∠A=180°，又∠C=2∠A， ∴∠A=60°，∠C=120°, ∠BOD=120°，∠BOE= ∠BOD=60°， BE=4× = ， BD=2BE= 。
分析：根据圆内接四边形对角互补和已知可求出∠A，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可以求出∠BOD，最后根据垂径定理解直角三角形即可求得BD长。
15.如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，AB=6，则BD=________．
答案：
考点：圆周角定理，等腰直角三角形
解析：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD，则? ，
∴AD=BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,∠ADB=90°.
∵AB=6，
∴BD=? AB=3 cm.
故答案为3 .
分析：连接AD，根据角平分线的定义得出∠ACD=∠BCD，根据相等的圆周角所对的弧相等得出 ， 根据等弧所对的弦相等得出AD=BD，根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ADB=90°，根据等腰直角三角形的边之间的关系即可得出BD的长。
16.如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径为________.
答案：
考点：垂径定理的应用
解析：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5?R，
∵直径EF⊥CD,垂足为M,CD=2，
∴CM=DM=1，
在Rt△OMC中,由勾股定理得：OC2=OM2+CM2 ，
R2=(5?R)2+12 ，
解得R= .
故答案为 .
分析：连接OC，设⊙O的半径为R，可表示出OC，OM，利用垂径定理求出CM的长，再利用勾股定理求出圆的半径。
17.如图，四边形ABCD中， ，若 ，则 ________度
答案：
考点：圆的认识，圆周角定理
解析：∵AB=AC=AD，
∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，
∴∠CBD是弧CD对的圆周角，∠CAD是弧CD对的圆心角；
∵∠CAD=76°，
∴∠CBD= ∠CAD= ×76°=38°．
分析：根据同圆的半径相等，由AB=AC=AD，故点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可由∠CBD= ∠CAD得出答案。
18.如图， 是圆 的弦， ，垂足为点 ，将劣弧 沿弦 折叠交于 的中点 ，若 ，则圆 的半径为________.
答案：
考点：勾股定理，垂径定理，翻折变换（折叠问题）
解析：连接OA，设半径为x，
将劣弧 沿弦AB折叠交于OC的中点D，
， ，
，
，
，
解得， .
故答案为： 。
分析：连接OA，设半径为x，根据折叠的性质可知， ，进而根据垂径定理得出， 然后利用勾股定理建立方程，求解即可。
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
19.如图，∠C=90°，以AC为半径的圆C与AB相交于点D．若AC=3，CB=4，求BD长．
答案：解：（1）∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB= = =5，点C作CE⊥AB于点E，则AD=2AE， ∵∠CAE=∠CAB，∠AEC=∠ACB=90°，∴△ACE∽△ABC，∴ = ，∴AC2=AE?AB，即32=AE×5∴AE=1.8，∴AD=2AE=2×1.8=3.6∴BD=AB﹣AD=5﹣3.6=1.4．
考点：勾股定理，垂径定理
解析：根据勾股定理求得AB的长，再点C作CE⊥AB于点E，由垂径定理得出AE，即可得出BD的长．
20.如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C=60°． 求证：△ABD为等边三角形．
答案：证明：∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC， ∴AE=DE，∴BD=BA，∵∠D=∠C=60°，∴△ABD为等边三角形．
考点：等边三角形的判定，圆周角定理
解析：根据垂径定理求出AE=DE，根据线段垂直平分线性质得出BA=BD，根据圆周角定理求出∠D=60°，根据等边三角形判定推出即可．
21.如图，AB是 的直径，点C、D是 两点，且AC=CD．求证：OC//BD.

答案： 证明：∵AC=CD，
∴ ，
∴∠ABC=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥BD．
考点：平行线的判定，圆周角定理
解析：根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出 ，根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠ABC=∠DBC，根据等边对等角得出 ∠OCB=∠OBC， 故 ∠OCB=∠DBC， 根据内错角星等，二直线平行得出 OC∥BD 。
22.已知在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC 于 D，BC 于E， 连接ED．

（1）求证：ED=EC；
（2）若 CD=3，EC=2 ，求 AB的长.
答案： （1）证明： 连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵AB=AC,∴BE=CE,∠BAE=∠CAE,
∴弧BE=弧DE,∴BE=ED,∴ED=EC
（2）解： ∵四边形ABED是圆内接四边形∴∠B+∠ADE=180°，又∵∠ADE+∠EDC=180°，∴∠EDC=∠B，∴△CDE∽△CBA，∴， ∴∴AC=AB=8
考点：等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质
解析：（1）根据直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，根据等腰三角形的三线合一得出BE=CE,∠BAE=∠CAE,根据圆周角定理得出弧BE=弧DE,根据等弧所对的弦相等得出BE=ED,根据等量代换即可得出ED=EC；
（2）根据同角的余角相等得出∠EDC=∠B，然后判断出△CDE∽△CBA，根据相似三角形对应边成比例得出根据比例式即可算出答案。
23.如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，EF⊥AB于E，连接OE，AC∥OE，OD⊥AC于D，若BF=2，EF=4，求线段AC长．
答案：解：设OE=x，则OF=x﹣2， 由勾股定理得，OE2=OF2+EF2 ， 即x2=（x﹣2）2+42 ， 解得，x=5，∴OF=3，∵AC∥OE，OD⊥AC，∴OD⊥OE，∵OA=OE，EF⊥AB，∴△ADO≌△OFE，∴AD=OF=3，∵OD⊥AC，∴AC=2AD=6．
考点：垂径定理
解析：设OE=x，根据勾股定理求出x，根据全等三角形的判定定理和性质定理得到AD=OF=3，根据垂径定理得到答案．
24.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
答案：（1）解：∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=（x﹣4）2+82 ，
解得：x=10，
∴⊙O的直径是20．
（2）解：∵∠M= ∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D= ∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=30°.
考点：勾股定理，垂径定理的应用
解析：（1）根据垂径定理可得CE，再在Rt△OCE中，根据勾股定理可得半径，最后求得直径。（2）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得∠D=∠BOD，再根据AB⊥CD，求得∠D=30°即可。
25.已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆， = ，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．
（1）求证：AD=CE；
（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．
答案：（1）证明：（1）在⊙O中，
∵ = ，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠B=∠EAC，
在△ABD和△CAE中， ，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD=CE
（2）解：连接AO并延长，交边BC于点H，
∵ = ，OA为半径，
∴AH⊥BC，
∴BH=CH，
∵AD=AG，
∴DH=HG，
∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，
∵BD=AE，
∴CG=AE，
∵CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
考点：全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系
解析：（1）根据弧、弦的关系和平行线的性质得出∠B=∠EAC，然后利用SAS证得△ABD≌△CAE，即可得证；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，根据垂径定理得出BH=CH，进而得出BD=CG，再得出CG=AE，根据CG∥AE即可证明.