第3章 圆的基本性质培优测试卷（含解析）

浙教版九上数学第3章 圆的基本性质 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠两次．若折叠后的 和 都经过圆心O则图中阴影部分的面积是（?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?3π????????????????????????????????????C.?9 ????????????????????????????????????D.?18π
2.如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（?? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?10

（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
3.己知正方形ABCD的边长为2，点E为正方形所在平面内一点，满足∠AED=90°，连接CE，若点F是CE的中点，则BF的最小值为(?? )
A.?2?????????????????????????????????B.?-1?????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?2
4.如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB=2∠BOC，则下列说法中正确的是（?? ）
A.?∠OBA=∠OCA???????????B.?四边形OABC内接于⊙O???????????C.?AB=2BC???????????D.?∠OBA+∠BOC=90°
5.如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧 的中点，点D是优弧 上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝3 cm；③扇形OCAB的面积为12π；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是(??? )
A.?①③????????????????????????????????B.?①②③④????????????????????????????????C.?②③④????????????????????????????????D.?①③④
6.如图，MN是半径为2的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为(??? )
A.?4 ???????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????D.?2
7.已知如图，点O为△ABD的外心，点C为直径BD下方弧BCD上一点，且不与点B，D重合，∠ACB=∠ABD=45°，则下列对AC，BC，CD之间的数量关系判断正确的是（?? ）
?AC=BC+CD???????????????B.?AC=BC+CD???????????????C.?AC=BC+CD???????????????D.?2AC=BC+CD

（第6题） （第7题） （第8题）
如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（?? ）
A.?2???????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?2
9.如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若P都是整数点，则这样的点共有（?? ）
A.?4个?????????????????????????????????????B.?8个?????????????????????????????????????C.?12个?????????????????????????????????????D.?16个
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
10.如图， 中， 是 内部的一个动点，且满足 ,则线段 长的最小值为（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
11.如图，点A,B,C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A,O,C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE, BE，则 的最大值是（?? ）
A.?4????????????????????????????????????????B.?5????????????????????????????????????????C.?6????????????????????????????????????????D.?
12.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，把 沿BC折叠后，与弦AB交于点P，恰好OP⊥AB．若OP=1，AB=4，则BC：AC等于（?? ）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，动点P为矩形边上的一点，点P沿着B﹣C的路径运动（含点B和点C），则△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是________．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，以点 A 为圆心，1 为半径作圆，点 E 是⊙A 上的任意 一点，点 E 绕点 D 按逆时针方向转转 90°，得到点 F，接 AF，则 AF 的最大值是________
15.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是________
16.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB= ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为________．
17.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；② ；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有________（填序号）．

18.如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在 上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
19.（8分）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
20.（8分）已知：⊙O为Rt△ABC的外接圆，点D在边AC上，AD=AO；
（1）如图1，若弦BE∥OD，求证：OD=BE；
（2）如图2，点F在边BC上，BF=BO，若OD=2 ?， OF=3，求⊙O的直径．
21.（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE． （2）若DE＝ ，AB＝6，求AE的长．
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的 ，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．
22.（10分）如图，AB，AC是⊙O的弦，过点C作CE⊥AB于点D，交⊙O于点E，过点B作BF⊥AC于点F，交CE于点G，连接BE．
（1）求证：BE＝BG；
（2）过点B作BH⊥AB交⊙O于点H，若BE的长等于半径，BH＝4，AC＝ ，求CE的长．
23.（10分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任一点（点P不与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求∠APC和∠BPC的度数．
（2）求证：△ACM≌△BCP．
（3）若PA=1，PB=2，求四边形PBCM的面积
24.（10分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC＝∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；
（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．
25.（10分）如图，四边形ACBE内接于⊙O，AB平分∠CAE，CD⊥AB交AB、AE分别于点H、D．
（1）如图①，求证：BD=BE；
（2）如图②，若F是弧AC的中点，连接BF，交CD于点M，∠CMF=2∠CBF，连接FO、OC，求∠FOC的度数；
（3）在（2）的条件下，连接OD，若BC=4 ?，OD=7，求BF的长．
浙教版九上数学第3章 圆的基本性质 培优测试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1. B 2.C 3. C 4.D 5. D 6.D
7.B 8. D 9. C 10. C 11.C 12. B
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13.
14.
15.
16.
17. ①②④
18. 2 π
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
9. 解：（Ⅰ）如图①， ∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC= = =8．∵AD平分∠CAB，∴ = ，∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2 ， ∴易求BD=CD=5 ；（Ⅱ）如图②，连接OB，OD． ∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB= ∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．
20. （1）证明：连接AE交OD于点F．
∵AB为直径，
∴AE⊥BE，
∵BE∥OD，
∴AE⊥OD，
∵AD=AO，
∴AE平分∠CAB，
∴OD=2OF，
∵BE=2OF，
∴BE=OD；
（2）解：分别作弦BE∥OD，AH∥OF，连接AE，BH，AE与BH交于点P，
由（1）得：E为弧BC的中点，同理H为弧AC的中点，
∴∠HAE=∠HBE=45°，
∵AB为直径，
∴∠H=∠E=90°，
∴AP= AH，PE=BE，
∵点O为AB的中点，BE∥OD，
∴EB=OD= ，
∴PE=BE= ，同理AH=OF=3，
∴AP= ，在Rt△ABE中，AE= ，BE= ，
根据勾股定理得：AB= ，
则圆的直径为 ．
21. （1）证明：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD，BD＝CD，
∴ ＝ ，
∴OD⊥BE；
法一：（相似）（2）解：∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝2 ，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝4.
（3）解：∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE ，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∵△OBF∽△ABE，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴S△ABE＝4S△OBF ，
∵ ＝ ，
∴S△ABE＝4S△OBF＝6S△CDE ，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝8S△CDE ，
∵△CDE∽△CAB，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴ ＝ ，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴ ＝ ，
即AC＝ BC．
法二：（非相似）（2）BD＝CD＝DE，由勾股定理可得AD长，再利用等面积法，可得AC*BE=AD*BC，求得BE长，再利用勾股定理求出AE。
（3）△CDE的面积=△BDE的面积=△BDF的面积*2，所以△BDF的面积=△OBF面积的1/3,所以OF=3FD，设DF=a，OF=3a，OB=4a，BF=a，BD=2a，AC=AB=2OB,BC=2BD，可得出结果。
22. （1）证明：由圆周角定理得，∠BAC＝∠BEC，
∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠ADC＝∠GFC＝90°，
∴∠CGF＝∠BAC，∴∠BEC＝∠CGF，
∵∠BGE＝∠CGF，∴∠BEC＝∠BGE，∴BE＝BG；
（2）解：连接OB、OE、AE、CH，
∵BH⊥AB，CE⊥AB??? ∴BH∥CE，
∵四边形ABHC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACH＝∠ABH＝90°，∴BF∥CH，
∴四边形CGBH为平行四边形，
∴CG＝BH＝4，
∵OE＝OB＝BE，∴△BOE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，
∴∠BAE＝ ∠BOE＝30°，∴DE＝ AE，
设DE＝x，则AE＝2x，由勾股定理得，AD＝ ，
∵BE＝BG，AB⊥CD，∴DG＝DE＝x，∴CD＝x+4，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2 ， 即（ x）2+（x+4）2＝（ ）2 ，
解得，x1＝1，x2＝﹣3（舍去）
则DE＝DG＝1，∴CE＝CG+GD+DE＝6．
23. （1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，由同弧所对的圆周角相等可得：∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°。 （2）解：如图，
∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC=60°
∴∠M=180°－∠BPM=180°－120°=60°
∴∠M=∠BPC=60°
∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠MAC=∠PBC又∵AC=BC，
∴△ACM≌△BCP（AAS）
（3）解：∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP，AM=BP=2
又∠M=60°，
∴△PCM为等边三角形
∴CM=PM=1+2=3
作PH⊥CM于H，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，PM=3
24. （1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，
∴∠DAC＝∠DBA；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB＝90°，
∴∠1+∠3＝∠5+∠3＝90°，
∴∠1＝∠5＝∠2，
∴PD＝PA，
∵∠4+∠2＝∠1+∠3＝90°，且∠ADB＝90°，
∴∠3＝∠4，
∴PD＝PF，
∴PA＝PF，即P是线段AF的中点；
（3）解：连接CD，
∵∠CBD＝∠DBA，
∴CD＝AD，
∵CD＝3，∴AD＝3，
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝5，
故⊙O的半径为2.5，
∵DE×AB＝AD×BD，
∴5DE＝3×4，
∴DE＝2.4．
即DE的长为2.4．
25.（1）解：如图1，连接OB、OC、OE，
∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB=∠BAE，
∴∠COB=∠BOE，
∴BC=BE，
∵CD⊥AB，
∴∠CHA=∠DHA=90°，
∵∠CAB=∠BAE，AH=AH，
∴△ACH≌△ADH，
∴CH=DH，
∴AB为线段CD的垂直平分线，
∴BC=BD，
∴BD=BE；
（2）解：∵F是弧AC的中点，
∴ ?，
∴∠CBF=∠ABF，
∵∠CMF=2∠CBF，
∴∠CMF=2∠ABF，
∵CD⊥AB，∠CMF=∠BMH，
∴∠BMH+∠ABF=90°，
∴∠ABF=30°，
∴∠CBF=30°，
∵∠FOC=2∠CBF，
∴∠FOC=60°
（3）解：如图3，连接OM，OB，作ON⊥BF于N，DK⊥OM于K，
由（2）可知：∠CBF=∠ABF=∠BCH=30°，
∴CM=BM，
在Rt△CBH中，∠BCH=30°，BC=4 ，
∴BH=2 ，CH=6，
在Rt△BHM中，∠MBH=30°，BH=2 ，
∴BM=4? HM=2，
∴CM=BM=4，
∵OC=OB，OM=OM，
∴△OMC≌△OMB，
∴∠CMO=∠BMO=120°，∠OMF=∠OMD=60°，
∵CH=DH=6，
∴DM=8，
在Rt△DMK中，∠KMD=60°，DM=8，
∴MK=4，DK=4 ，
在Rt△OKD中，
OD2=OK2+DK2 ，
∵OD=7，DK=4 ，
∴OK=1，
∴OM=5，
在Rt△OMN中，∠OMN=60°，OM=5，
MN= OM= ，
∴BN=BM+MN= ，
∵ON⊥BF，
∴BF=2BN=13．
浙教版九上数学第3章 圆的基本性质 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠两次．若折叠后的 和 都经过圆心O则图中阴影部分的面积是（?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?3π????????????????????????????????????C.?9 ????????????????????????????????????D.?18π
答案： B
考点：垂径定理，扇形面积的计算，直角三角形的性质
解析：如图，作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，
∵OD＝ AO，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
同理∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝120°，
∴阴影部分的面积＝S扇形AOC＝ ＝3π．
故答案为：B．
分析：根据直角三角形的边角关系，可得∠OAD＝30°，从而可求出∠AOB＝2∠AOD=120°，进而得出∠BOC、∠AOC的度数，由阴影部分的面积＝S扇形AOC，利用扇形的面积公式计算即得.
2.如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（?? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?10
答案：C
考点：垂径定理
解析：∵AB=10，
∵OB=OA=OC=5，
过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，
∵OB⊥CD，
∴∠CEO=90°，
由勾股定理得：CE= = =3，
∵OE⊥CD，OE过O，
∴CD=2CE=6，
∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB=10，
∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1=8，
答案为：C．
分析：求出过E的最短的弦，就是以OE为弦心距的弦，最长的弦就是直径，在这个范围内取整数,注意对称性.
3.己知正方形ABCD的边长为2，点E为正方形所在平面内一点，满足∠AED=90°，连接CE，若点F是CE的中点，则BF的最小值为(?? )

?
A.?2?????????????????????????????????B.?-1?????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?2
答案： C
考点：勾股定理，正方形的性质，圆周角定理
解析：如图，连接BO，作OH⊥BC， 以D为原点，以DC与DA为坐标轴建立直角坐标系， 设E点坐标为（m,n）,F点坐标为(x，y), 则A点坐标为（0,2），B点坐标为（2,2），C点坐标为（2,0）， F点坐标为（）,得?,?, ∴m=2x-2, n=2y; ∵∠AED=90°，根据直径所对的圆周角是直角得E点在以AB为直径的半圆上， x，y满足，(m-0)2+(n-1)2=1(0≤x≤1),即(2x-2)2+(2y-1)2=1， 则（x-1）2+(y-)2=， x、y在以（1，）为圆心，以为半径的圆上， ∴连接BO交⊙O于F'，BF的最小值是BF', , 则, 故答案为：C.
分析：连接BO，作OH⊥BC，先求出E点轨迹方程，设F点坐标，根据中点坐标公式把F点坐标用E点坐标表示，得出F点轨迹也是圆，则BF最短点为B点连接圆心交圆于一点的F',构造直角三角形，用勾股定理求出OB，则BF'可求。
4.如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB=2∠BOC，则下列说法中正确的是（?? ）
A.?∠OBA=∠OCA???????????B.?四边形OABC内接于⊙O???????????C.?AB=2BC???????????D.?∠OBA+∠BOC=90°
答案：D
考点：垂径定理的应用，圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质
解析：A.∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∴∠OBA+∠OAB+∠AOB=180°，∴∠OBA=（180°-∠AOB），∵∠AOB=2∠BOC，∴∠OBA=（180°-2∠BOC）=90°-∠BOC，又∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∴∠OCA=（180°-∠AOC），∵∠AOB=2∠BOC，∴∠AOC=3∠BOC，∴∠OCA=（180°-3∠BOC）=90°-∠BOC，∴∠OBA≠∠OCA，故A错误，A不符合题意；B.∵点A、B、C在圆上，而点O在圆内，∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误，B不符合题意；C.过点O作OD⊥AB交AB于D，交⊙O于E， ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE=∠AOB，∵∠AOB=2∠BOC，∴∠AOE=∠BOE=∠BOC，∴AE=BE=BC，又∵AE+BE＞AB，即2BC＞AB，故C错误，C不符合题意；D.由A知∠OBA=90°-∠BOC，∴∠OBA+∠BOC=90°-∠BOC+∠BOC=90°，故D正确，D符合题意.故答案为：D.
分析：根据等腰三角形性质和三角形内角和定理可得∠OBA=90°-∠BOC，∠OCA=90°-∠BOC，得∠OBA≠∠OCA，故A错误；根据圆内接四边形定义可知B错误；过点O作OD⊥AB交AB于D，交⊙O于E，根据垂径定理和弦、弧、圆心角之间关系可得AE=BE=BC，由三角形三边关系得2BC＞AB，故C错误；由A知∠OBA=90°-∠BOC，计算即可得D正确.
5.如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧 的中点，点D是优弧 上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝3 cm；③扇形OCAB的面积为12π；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是(??? )
A.?①③????????????????????????????????B.?①②③④????????????????????????????????C.?②③④????????????????????????????????D.?①③④
答案： D
考点：垂径定理
解析：设OA与BC交于点E，如图， ①∵ 点A是劣弧 的中点， ∴OA⊥BC， 故①正确； ②∵∠D=30°， ∴∠ABC=∠D=30°， ∴∠AOB＝60°， ∵点A是劣弧 的中点， ∴BC=2BE， ∵OA=OB， ∴OA=OB=AB=6cm， ∴BE=ABcos30°=6×=3（cm）， ∴BC=2BE=6（cm）， 故②错误； ③∵∠AOB=60°， ∴∠COB=120°， ∴S扇形BOC==12， 故③正确； ④∵∠AOB=60°， ∴AB=OB， ∵点A是劣弧 的中点， ∴AC=AB， ∴AB=OB=OC=CA， ∴四边形ABOC是菱形， 故④正确； 综上所述：正确的结论为①③④. 故答案为：D. 分析：①由垂径定理可得①正确；②根据圆周角定理可得∠ABC=∠D=30°，由锐角三角形定义可求得BE=3， 由BC=2BE即可判断②错误；③根据扇形的面积公式计算即可判断③正确；④根据菱形的判定即可判定④正确.
6.如图，MN是半径为2的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为(??? )
A.?4 ???????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????D.?2
答案：D
考点：圆周角定理，轴对称的应用-最短距离问题
解析：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′．∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°．∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON= ∠AON= ×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′= OA= ×2= ，即PA+PB的最小值= ．故答案为：D．
分析：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称的最短问题得出：AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，根据等弧所对的圆心角相等得出∠BON=?∠AON=?×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，根据角的和差得出∠AOB′=90o，进而判断出△AOB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的边之间的关系算出AB′的长，从而得出答案。
7.已知如图，点O为△ABD的外心，点C为直径BD下方弧BCD上一点，且不与点B，D重合，∠ACB=∠ABD=45°，则下列对AC，BC，CD之间的数量关系判断正确的是（?? ）
A.?AC=BC+CD???????????????B.?AC=BC+CD???????????????C.?AC=BC+CD???????????????D.?2AC=BC+CD
答案：B
考点：全等三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心
解析：在CD的延长线上截取DE=BC，连接EA，
∵∠ABD=∠ACB=∠ABD=45°，
∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴ AC=CE，
∴ AC=CD+DE=CD+BC，
故选：B．
分析：在CD延长线上截取DE=BC，连接EA，证明△ABC≌△ADE，得到△EAF是等腰直角三角形即可得出结论．
8.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（?? ）
A.?2???????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?2
答案： D
考点：勾股定理，垂径定理，圆周角定理
解析：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝ ×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，
∵OC2+AC2＝OA2 ，
∴（R﹣2）2+42＝R2 ， 解得R＝5，
∴OC＝5﹣2＝3，
∴BE＝2OC＝6，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝ .
故答案为：D.
分析：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，根据垂径定理可得AC=BC=4,在Rt△AOC中,利用勾股定理可得（R﹣2）2+42＝R2 ， 解方程求出R，再根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABE＝90°，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可求出EC的长.
9.如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若P都是整数点，则这样的点共有（?? ）

A.?4个?????????????????????????????????????B.?8个?????????????????????????????????????C.?12个?????????????????????????????????????D.?16个
答案： C
考点：坐标与图形性质，圆的认识
解析：分为两种情况； ①若这个点在坐标轴上，那么有四个，它们是（0，5），（5，0），（﹣5，0），（0，﹣5）； ②若这个点在象限内，
∵52＝42+32 ， 而P都是整数点，
∴这样的点有8个，分别是（3，4），（3，﹣4），（﹣3，4），（﹣3，﹣4）），（4，3），（4，﹣3），（﹣4，3），（﹣4，﹣3）．
∴共12个，故答案为：C．
分析：应分为两种情况：①若这个点在坐标轴上，那么有四个；②若这个点在象限内，由52=42+32 ， 可知在每个象限有两个，综上所述即可得出答案。
10.如图， 中， 是 内部的一个动点，且满足 ,则线段 长的最小值为（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
答案： C
考点：圆周角定理，点与圆的位置关系
解析：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP =90°，
∴∠APB=90°，
∴OP=OA=OB，
∴点P在以AB为直径的 O上，连接OC交于 O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC= ,
∴PC=OC-OP=5-3=2，
故答案为：C.
分析：设AB的中点为O,由题意可得∠APB=90°，OP=OA=OB，点P在以AB为直径的 O上，连接OC交于 O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出OC，即可求出线段 长的最小值 .
11.如图，点A,B,C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A,O,C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE, BE，则 的最大值是（?? ）
A.?4????????????????????????????????????????B.?5????????????????????????????????????????C.?6????????????????????????????????????????D.?
答案：C
考点：圆的认识，圆心角、弧、弦的关系，点与圆的位置关系
解析：设点E（a，b）， C E 2 + B E 2=2（1+a2+b2）=2(1+OE2)
C E 2 + B E 2=6故答案选C。
分析：题目属于分析动点最大值的问题，E在圆上运动，分析什么时候 C E 2 + B E 2有最大值，根据平方的关系联想勾股定理，如果有一边为斜边，即有最大值。
12.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，把 沿BC折叠后，与弦AB交于点P，恰好OP⊥AB．若OP=1，AB=4，则BC：AC等于（?? ）

A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
答案： B
考点：勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质
解析：法一：如图，连接CP，作CD垂直AB，OE垂直CD，连接OC。AC=CP（∠CBA圆周角）得出AD=DP=1，又因为OP=1，所以DEOP是正方形，所以OE=OP，所以EC=BP=2，所以AC=，BC=，得出答案。
法二：作点P关于BC的对称点P’，延长BO交 ⊙O?于另一点Q，连接AQ，P'Q，BP',延长PO交P'Q于点N，作CM⊥AB于点M. ∵AB=4，OP⊥AB， ∴AP=BP= AB=2， 由折叠可得BP'=BP=2，四边形ABP'Q是矩形， ∴四边形APNQ，BPNP'为正方形且边长都为2， ∴NB= ∵OP=1， ∴OB= ， 在等腰直角三角形QCN中，CN= QN= . ∵NP∥CM，∴△CMB∽△NPB， ∴ ， ∴CM=3，MB=3， ∴AM=AB-MB=1， 在Rt△ABC中，AC= ， ∴ . 故答案为:B. 分析：作点P关于BC的对称点P’，延长BO交⊙O?于另一点Q，连接AQ，P'Q，BP',延长PO交P'Q于点N，作CM⊥AB于点M.根据垂径定理可得AP=BP= AB=2.由折叠可得由折叠可得BP'=BP=2，四边形ABP'Q是矩形，从而可得四边形APNQ，BPNP'为正方形且边长都为2.由此可求出NB= ， OB= ， CN= QN= .根据平行可证△CMB∽△NPB，利用相似三角形的性质可得 ， 从而求出CM=3，MB=3，继而可得AM=AB-MB=1，利用勾股定理可求出AC= ， 从而可求出BC：AC的值.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13.在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，动点P为矩形边上的一点，点P沿着B﹣C的路径运动（含点B和点C），则△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是________．
答案：
考点：三角形的外接圆与外心
解析：如图，连接AC、BD交于点O′． 当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，Rt△ODE中，∵OD2=OE2+DE2 ， ∴x2=（4-x）2+32 ， 解得x= ，∴OE=4- = ，∵O′B=O′D，AE=DE，∴O′E= AB=2，∴OO′=O′E-OE= ，∵△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′= ．故答案为: ?分析：连接AC、BD交于点O′．因为三角形外接圆的圆心在线段AD的垂直平分线上，于是可分情况讨论圆心所在的具体位置：①当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，②当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，解直角三角形OED可求得PO的长，则OE=PE-PO，O′E=PE，所以OO′=O′E-OE，由图像可得△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′可求解。
14.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，以点 A 为圆心，1 为半径作圆，点 E 是⊙A 上的任意 一点，点 E 绕点 D 按逆时针方向转转 90°，得到点 F，接 AF，则 AF 的最大值是________
答案：
考点：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆的认识，解直角三角形，旋转的性质
解析：如图，过点A作∠EAB=45°交⊙A于点E，此时旋转后AF最大，过点E作EG⊥AD交DA延长线于G ． 在Rt△AEG中，AE=1，∠GAE=∠EAB=45°，∴EG=AG= ．∵∠ADC=∠EDF，∴∠ADE=∠CDF．在△ADE和△CDF中， ，∴△ADE≌△CDF，∴CF=AE=1，∠DCF=∠DAE=∠BAD+∠EAB=90°+45°=135°，∴点C在线段AF上，∴AF=AC+CF．∵AC是边长为2的正方形的对角线，∴AC=2 ，∴AF=2 +1，即：AF的最大值是2 +1故答案为：2 +1．分析：过点A作∠EAB=45°交⊙A于点E，此时旋转后AF最大，过点E作EG⊥AD交DA延长线于G，在Rt△AEG中，利用解直角三角形求出AG、EG的长，再证明△ADE≌△CDF，得出CF=AE=1，，求出∠DCF度数，再根据AF=AC+CF，就可求出结果。
15.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是________
答案：
考点：三角形中位线定理，圆的认识
解析：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN．
∵AB⊥CN，
∴CP=PN，∵AM=DM，
∴PM= DN，
∴当DN为直径时，PM的值最大，最大值为 .
故答案为 ．
分析：延长CP交⊙O于N，连接DN．由三角形的中位线定理可得PM=DN，所以要是PM最大，只需DN最大即可，在圆中，最大的弦是直径，所以当DN为直径时，PM的值最大。
16.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB= ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为________．
答案：
考点：垂线段最短，勾股定理的应用，垂径定理的应用，圆周角定理
解析：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H， 在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB= ，???????????? ∴AD=BD=1，即此时圆的直径为1，∵∠EOF=2∠BAC=120°，而∠EOH=∠HOF，∴∠EOH=60°，在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH= ?sin60°= ，∵OH⊥EF，∴EH=FH，∴EF=2EH= ，即线段EF长度的最小值为 ．故答案为 ．分析：? 由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，根据勾股定理得AD=BD=1，即此时圆的直径为1，根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系知∠EOF=2∠BAC=120°,根据垂径定理得∠EOH=60°，在Rt△EOH中根据正弦定义得出EH的长，根据垂径定理知EF=2EH，从而得出答案。
17.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；② ；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有________（填序号）．

答案： ①②④
考点：圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形的性质
解析：如下图，连接AM，连接MB，过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，
∵∠BAD=∠CDA=90°， ∴AM过圆心O，而A、D、M、B四点共圆，
∴四边形ADMB为矩形， ∵AB=1，CD=2，
∴CM=2-1=1=AB=DM， 故①正确；
又∵AB∥CD， ∴四边形ABMC为平行四边形，
∴∠AEB=∠MAE， = ， 故②正确；
∵四边形ADMB为矩形，
∴AB=DM， ∴ = ， ∴=， ∴∠DAM=∠EAM，
过点O作OG⊥AM，OH⊥AM， ∴OG=OH，
∴AD=AE， 故④正确；
由题设条件求不出直径的大小，
故③⊙O的直径为2，错误；
故答案为：①②④.
分析：①根据圆周角定理和圆的内接四边形可知四边形ADMB为矩形，从而可求得DM=CM，故①正确； ②根据平行四边形的判定可知四边形ABMC为平行四边形，由平行线的性质可知∠AEB=∠MAE，从而可得?②正确； ③由题设条件求不出直径的大小，故③错误； ④根据矩形的性质和弦、弧之间的关系可得=， 从而可得∠DAM=∠EAM，再由角平分线的性质可得OG=OH，从而可得④正确.
18.如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在 上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．
答案：2 π
考点：圆周角定理，弧长的计算，坐标与图形变化﹣旋转
解析：如图，由此BO交⊙O于F，取 的中点H，连接FH、HB、BD． 易知△FHB是等腰直角三角形，HF=HB，∠FHB=90°，∵∠FDB=45°= ∠FHB，∴点D在⊙H上运动，轨迹是 （图中红线），易知∠HFG=∠HGF=15°，∴∠FHG=150°，∴∠GHB=120°，易知HB=3 ，∴点D的运动轨迹的长为 =2 π．故答案为2 π．分析：由此BO交⊙O于F，取?弧B F 的中点H，连接FH、HB、BD．可证得△FHB是等腰直角三角形，可以得到HF=HB，∠FHB=90°，就可以求出∠FDB的度数，进而可知道点D就是在⊙H上运动，它的运动轨迹就是弧GB的长，∠AOB=120°推出∠AOF=60°，得出△AOF是等边三角形，易求得∠∠HFG=∠HGF=15°，就可得∠FHG的度数，从而求出圆心角∠GHB的度数，在Rt△BHF中可以求出半径HB的长，利用弧长公式就可以求得点D的运动轨迹的长。
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
19.已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
答案：解：（Ⅰ）如图①， ∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC= = =8．∵AD平分∠CAB，∴ = ，∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2 ， ∴易求BD=CD=5 ；（Ⅱ）如图②，连接OB，OD． ∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB= ∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．
考点：等边三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理
解析：（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5 ；（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．
20.已知：⊙O为Rt△ABC的外接圆，点D在边AC上，AD=AO；
（1）如图1，若弦BE∥OD，求证：OD=BE；
（2）如图2，点F在边BC上，BF=BO，若OD=2 ?， OF=3，求⊙O的直径．
答案：（1）证明：连接AE交OD于点F．
∵AB为直径，
∴AE⊥BE，
∵BE∥OD，
∴AE⊥OD，
∵AD=AO，
∴AE平分∠CAB，
∴OD=2OF，
∵BE=2OF，
∴BE=OD；
（2）解：分别作弦BE∥OD，AH∥OF，连接AE，BH，AE与BH交于点P，
由（1）得：E为弧BC的中点，同理H为弧AC的中点，
∴∠HAE=∠HBE=45°，
∵AB为直径，
∴∠H=∠E=90°，
∴AP= AH，PE=BE，
∵点O为AB的中点，BE∥OD，
∴EB=OD= ，
∴PE=BE= ，同理AH=OF=3，
∴AP= ，在Rt△ABE中，AE= ，BE= ，
根据勾股定理得：AB= ，
则圆的直径为 ．
考点：角的平分线，平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理
解析：（1）先连接AE，由直径所对的圆周角是直角，可知∠C=90°，∠E=90°，再由BE∥OD可知AE⊥OD，再根据角平分线的判定可知AE为∠CAB的角平分线，即可得到BE=OD。（2）借鉴第（1）题BE∥OD的思路，分别做两个平行线，由弧，弦，圆心角之间的关系可知，AP与AH之间的关系，PE=BE，再由（1）结论可知AH=OF=3，AP=AH=OF=3， 再由勾股定理即可求得直径的长。
21.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE．
（2）若DE＝ ，AB＝6，求AE的长．
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的 ，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．
答案： （1）证明：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD，BD＝CD，
∴ ＝ ，
∴OD⊥BE；
法一（相似）（2）解：∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝2 ，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝4.
（3）解：∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE ，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∵△OBF∽△ABE，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴S△ABE＝4S△OBF ，
∵ ＝ ，
∴S△ABE＝4S△OBF＝6S△CDE ，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝8S△CDE ，
∵△CDE∽△CAB，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴ ＝ ，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴ ＝ ，
即AC＝ BC．
法二：（非相似）（2）BD＝CD＝DE，由勾股定理可得AD长，再利用等面积法，可得AC*BE=AD*BC，求得BE长，再利用勾股定理求出AE。
（3）△CDE的面积=△BDE的面积=△BDF的面积*2，所以△BDF的面积=△OBF面积的1/3,所以OF=3FD，设DF=a，OF=3a，OB=4a，BF=a，BD=2a，AC=AB=2OB,BC=2BD，可得出结果。
考点：圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质
解析：（1）连接AD，由直径所对的圆周角是直角，得到∠AEB=∠ADB=90°；再由AB=AC，根据等腰三角形的三线合一，可知BD=CD，再由同圆中所对的弧相等可知弧BD等于弧ED，即可证得OD⊥BE； （2）由（1）中可知弦DE=弦BD，由CD=BD，可知BC=2；再由圆内接四边形性质可知∠CDE=∠BAC，加∠C公共角，可判定△CDE∽△CAB，根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长，即可求得AE的长。 （3）由（1）结论可知S△CDE=S△BDE ， 结合已知条件，得到S△BDE=S△OBF；由S△AEB=4S△OBF ， 可知S△AEB=6S△CDE ， 进一步可知S△CAB=8S△CDE ， 由（2）中结论△CDE∽△CAB，根据三角形的面积比等于对应线段比的平方，即可求出CD：CA=1：， 再由（1）中的结论即可求出线段BC与AC之间的等量关系AC=BC。
22.如图，AB，AC是⊙O的弦，过点C作CE⊥AB于点D，交⊙O于点E，过点B作BF⊥AC于点F，交CE于点G，连接BE．
（1）求证：BE＝BG；
（2）过点B作BH⊥AB交⊙O于点H，若BE的长等于半径，BH＝4，AC＝ ，求CE的长．
答案： （1）证明：由圆周角定理得，∠BAC＝∠BEC，
∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠ADC＝∠GFC＝90°，
∴∠CGF＝∠BAC，∴∠BEC＝∠CGF，
∵∠BGE＝∠CGF，∴∠BEC＝∠BGE，∴BE＝BG；
（2）解：连接OB、OE、AE、CH，
∵BH⊥AB，CE⊥AB??? ∴BH∥CE，
∵四边形ABHC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACH＝∠ABH＝90°，∴BF∥CH，
∴四边形CGBH为平行四边形，
∴CG＝BH＝4，
∵OE＝OB＝BE，∴△BOE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，
∴∠BAE＝ ∠BOE＝30°，∴DE＝ AE，
设DE＝x，则AE＝2x，由勾股定理得，AD＝ ，
∵BE＝BG，AB⊥CD，∴DG＝DE＝x，∴CD＝x+4，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2 ， 即（ x）2+（x+4）2＝（ ）2 ，
解得，x1＝1，x2＝﹣3（舍去）
则DE＝DG＝1，∴CE＝CG+GD+DE＝6．
考点：等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，圆周角定理
解析：（1）由同弧所对的圆周角相等，得 ∠BAC＝∠BEC，?由 CE⊥AB，BF⊥AC， ∠BGE = ∠BAC，等量代换， ∠BEC＝∠BGE，等角对等边得BE＝BG； （2）?先求BH平行CE，再利用圆内接四边形对角互补，求得∠ACH是直角，结合已知BF⊥AC，证得BF平行CH，两组对边分别平行，证得四边形CGBH是平行四边形，求得CG的长，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠BAE＝??∠BOE＝30°，在Rt△ADE中，设DE=x, 把各边用x来表示，又上题知BE＝BG，由三线合一知GD=DE=x,? ?在Rt△ADC中根据勾股定理列式求得x, 则CE的长可求。
23.如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任一点（点P不与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求∠APC和∠BPC的度数．
（2）求证：△ACM≌△BCP．
（3）若PA=1，PB=2，求四边形PBCM的面积
答案： （1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，由同弧所对的圆周角相等可得：∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°。 （2）解：如图，
∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC=60°
∴∠M=180°－∠BPM=180°－120°=60°
∴∠M=∠BPC=60°
∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠MAC=∠PBC又∵AC=BC，
∴△ACM≌△BCP（AAS）
（3）解：∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP，AM=BP=2
又∠M=60°，
∴△PCM为等边三角形
∴CM=PM=1+2=3
作PH⊥CM于H，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，PM=3
考点：全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理
解析：（1）由等边三角形的性质和同弧所对的圆周角相等可得∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；（2）由平行线的性质可得∠PCM=∠PCA+∠ACM=∠BPC=60°=∠MPC，根据有两个角是60°的三角形是等边三角形可得三角形PCM是等边三角形，则CM=CP；而∠BCA=∠BCP+∠PCA=60°，所以∠BCP=∠ACM，CA=CB，用边角边可证得△ACM≌△BCP；（3）作PH⊥CM于H，由（2）可得三角形PCM是等边三角形，△ACM≌△BCP，所以AM=BP，则CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB，在Rt△PMH中，用勾股定理可求得PH的长，则SPBCM=(PB+CM)×PH可求解。
24.已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC＝∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；
（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．
答案： （1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，
∴∠DAC＝∠DBA；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB＝90°，
∴∠1+∠3＝∠5+∠3＝90°，
∴∠1＝∠5＝∠2，
∴PD＝PA，
∵∠4+∠2＝∠1+∠3＝90°，且∠ADB＝90°，
∴∠3＝∠4，
∴PD＝PF，
∴PA＝PF，即P是线段AF的中点；
（3）解：连接CD，
∵∠CBD＝∠DBA，
∴CD＝AD，
∵CD＝3，∴AD＝3，
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝5，
故⊙O的半径为2.5，
∵DE×AB＝AD×BD，
∴5DE＝3×4，
∴DE＝2.4．
即DE的长为2.4．
考点：圆周角定理，圆的综合题
解析：（1）由角的平分线和同弧所对的圆周角相等即可得到∠DAC＝∠DBA； （2）直径所对的圆周角是直角，故∠ADE+∠BDE=90°，∠BDE+∠DBE=90°，根据同角的余角相等可得∠ADE=∠DBE，再结合（1）中结论可得∠ADP=∠DAP，即可得PD=PA，又易得PD=PF，故PA=PF； （3）由弧相等得到弦相等，又∠ADB＝90°，故利用勾股定理可得AB=5，即可求出圆半径，再根据直角三角形的面积不同表达方式可求斜边上的高DE。?
25.如图，四边形ACBE内接于⊙O，AB平分∠CAE，CD⊥AB交AB、AE分别于点H、D．
（1）如图①，求证：BD=BE；
（2）如图②，若F是弧AC的中点，连接BF，交CD于点M，∠CMF=2∠CBF，连接FO、OC，求∠FOC的度数；
（3）在（2）的条件下，连接OD，若BC=4 ?，OD=7，求BF的长．
答案：（1）解：如图1，连接OB、OC、OE，
∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB=∠BAE，
∴∠COB=∠BOE，
∴BC=BE，
∵CD⊥AB，
∴∠CHA=∠DHA=90°，
∵∠CAB=∠BAE，AH=AH，
∴△ACH≌△ADH，
∴CH=DH，
∴AB为线段CD的垂直平分线，
∴BC=BD，
∴BD=BE；
（2）解：∵F是弧AC的中点，
∴ ?，
∴∠CBF=∠ABF，
∵∠CMF=2∠CBF，
∴∠CMF=2∠ABF，
∵CD⊥AB，∠CMF=∠BMH，
∴∠BMH+∠ABF=90°，
∴∠ABF=30°，
∴∠CBF=30°，
∵∠FOC=2∠CBF，
∴∠FOC=60°
（3）解：如图3，连接OM，OB，作ON⊥BF于N，DK⊥OM于K，
由（2）可知：∠CBF=∠ABF=∠BCH=30°，
∴CM=BM，
在Rt△CBH中，∠BCH=30°，BC=4 ，
∴BH=2 ，CH=6，
在Rt△BHM中，∠MBH=30°，BH=2 ，
∴BM=4? HM=2，
∴CM=BM=4，
∵OC=OB，OM=OM，
∴△OMC≌△OMB，
∴∠CMO=∠BMO=120°，∠OMF=∠OMD=60°，
∵CH=DH=6，
∴DM=8，
在Rt△DMK中，∠KMD=60°，DM=8，
∴MK=4，DK=4 ，
在Rt△OKD中，
OD2=OK2+DK2 ，
∵OD=7，DK=4 ，
∴OK=1，
∴OM=5，
在Rt△OMN中，∠OMN=60°，OM=5，
MN= OM= ，
∴BN=BM+MN= ，
∵ON⊥BF，
∴BF=2BN=13．
考点：全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理
解析：（1）根据角平分线的性质以及在同圆中圆周角相等，即圆心角也相等，所对的弦也相等，再利用全等三角形的定义求解。（2）弧长相等所对的圆周角也相等，可求解。（3）根据题意，可证得△OMC≌△OMB，由勾股定理以及垂弦定理可求解。