第一章 三角形的初步知识分层练习（含答案）

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1.1 认识三角形（一）
达标题
1．图中的三角形共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
2．在△ABC中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
3．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm
C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm
4．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度能作为第三边的是（ ）
A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
5．已知三角形三边长分别为3，x，12，其中x为正整数，则这样的三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．12个
6．已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
7．在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰5，则∠C= ．
8．已知三角形的两边长分别是3cm和7cm，第三边长是偶数，则这个三角形的周长为　 　　．
9．下列长度的线段能组成三角形吗?请说明理由．
(1)12cm，7cm，8cm (2)3cm，5cm，8cm


(3)4cm，7cm，14cm (4)(k+1)cm，(k+2)cm，(k+3)cm (k>0)



10．（1）在△ABC中，若∠A︰∠B︰∠C=1︰1︰2，那么△ABC按角的大小来分应是什么三角形？



（2）在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，那么△ABC按角的大小来分应是什么三角形？



拓展题
（A层）11．已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是____________．若x是奇数，则x的值是_______________，这样的三角形有_______个；若x是偶数，则x的值是_______________，这样的三角形又有_______个．
（A层）12．若现有5条长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，共可以组成_________个形状不同的三角形．
（A层）13．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为　　　　　　度．


（B层）14．如图，在△ABC的边AB上截取AD=AC，连结CD，
（1）说明2AD＞CD的理由． （2）说明BD＜BC的理由．





（B层）15．记三角形的三条边长分别为，请化简代数式： ．



（B层）16．观察并探求下列各问题：
(1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC____AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)．
(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
















1.1 认识三角形（二）
达标题
1．如图，CD⊥AB，则图中直角三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在△ABC中，∠B=60°，AD是△ABC的角平分线，∠DAC=31°，则∠C的度数为（ ）
A．58° B．60° C．62° D．92°

（第1题） （第2题） （第4题） （第6题） （第7题）
3．在△ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ACD，则AD为△ABC的（ ）
A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定
4．如图，在△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
5．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，AB=5厘米，BC=3厘米，BM为中线，则△ABM与△BCM的周长之差是　　　　　　厘米．
7．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点．若，则　　　　　　．
8．如图, 在△ABC中, 请作图：
①画出△ABC的一条角平分线CD；
②画出△ABC中AC边上的中线BE；
③画出△ABC中BC边上的高AF．


9．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，BD＝8，求PF＋PE的值．


拓展题
（A层）10．如图，在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD将这个三角形的周长分为15cm和6cm两部分，求三角形三边的长．






（A层）11．如图，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线．
（1）若∠ABC=60°，∠ACB=50°，求∠BOC的度数．
（2）若∠A=60°，求∠BOC的度数．
（3）若∠A=，求∠BOC的度数（用的代数式表示）．





（B层）12．如图，在△ABC中，E为BC上一点，EC=2BE，D为AC的中点．设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为若，则=_______．




（B层）13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE是△ABC的角平分线．若，，用含的代数式表示∠EAD．



















1.2 定义与命题（一）
达标题
1．下列语句是定义的是（ ）
A．三角形两边之和大于第三边吗? B．三角形的中线是一条线段
C．判断某一件事情的句子叫做命题 D．同角的补角相等
2．下列语句中，不是命题的是（ ）
A． 内错角相等，两直线平行 B． 如果a+b=0，则a=0
C． 若a2=4，求a的值 D． 玫瑰花是红色的
3．“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”这一命题的条件是（ ）
A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线
4．下列语句中是命题的是（ ）
A．这个问题 B．蛇是动物 C．一定相等？ D．画一条线段
5．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，正确的是（ ）
A．如果同角，那么相等 B．如果同角，那么余角相等
C．如果同角的余角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
6．已知下列语句：①平角都相等．②画两个相等的角．③两直线平行，同位角相等．④等于同一个角的两个角相等吗？⑤邻补角的平分线互相垂直．⑥对顶角相等．其中是命题的有_________________(填序号)．
7．把下列命题的条件和结论分别填入下表：
（1）如果x=0，那么xy=0； （2）大于90°的角是钝角； （3）等角的补角相等．
命题序号 条件 结论
（1）
（2）
（3）
8．改写命题成“如果……，那么……”的形式．
（1）两个锐角的和是直角． （2）平方等于本身的数是0和1．



（3）三角形的内角和等于180°． （4）平行于同一直线的两条直线平行．



拓展题
（A层）9．观察下列给出的方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义．
x3+x2-3x+4=0， x3+x-1=0， x3-2x2+3=x， y3+2y2-5y-1=0．





（A层）10．定义两种新变换： ①f(a，b)=(a，-b)，如f(1，2)=(1，-2)；
②g(a，b)=(b，a), 如g(1，2)=(2，1) ．
据此得g(f(5，-6))= ．
（A层）11．用语言叙述这个命题：
如图，AB∥CD，EF交AB于点G，交CD于点H，GM平分∠BGH，HM平分∠GHD，则GM⊥HM．







（B层）12．对于任意两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当a=c且b=d时，
（a，b）=（c，d）．定义运算“⊕”：（a，b）⊕（c，d）=（ac-bd，ad+bc）．若（p，q）⊕（1，-1）=（1，3），求pq的值．





（B层）13．如图，定义：直线l1与l2交于点O，对于平面内任意一点M到直线l1，l2的距离分别为p，q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，求“距离坐标”是（2，1）的点的个数．


















1.2 定义与命题（二）
达标题
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A．锐角大于它的余角 B．锐角大于它的补角
C．钝角大于它的补角 D．锐角与钝角之和等于平角
2．若a，b，c是同一平面内的三条直线，下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b D．若a⊥c，b∥a，则b⊥c
3．下列命题中是真命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．两直线平行，同旁内角相等
C．两个角相等，这两个角一定是对顶角 D．相等的两个角是同位角
4．下列说法正确的是（ ）
A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题
C．真命题都是基本事实 D．定理都是真命题
5．命题“a、b是实数，若a>b，则a2>b2”显然是错误的，若结论保持不变，怎样改变条件，才能使之成立？以下四种改法：（1）若a>b>0，则a2>b2；（2）若a>b且a+b>0，则a2>b2；（3）若ab2；（4）若ab2；其中正确的改法个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．命题“如果ab=0，那么a=0”是____命题；命题“如果a=0，那么ab=0”是____命题．
7．命题“如果(a－1)(a－2)＝0，那么a＝2”是假命题，反例是________．
8．填空，使之成为一个真命题：若a<3，则=________．
9．判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．
(1)如果ab>0，那么a<0，b<0． (2)有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．



(3)一条直线上的两点到另一条直线的距离相等,则这两条直线平行．



10．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列5个结论：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题（至少写两个命题）．


拓展题
（A层）11．判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)任何偶数都是4的倍数． (2)如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2．
(3)如果a≠0，b≠0，那么a2＋ab＋b2＝(a＋b)2． (4)锐角与钝角之和等于平角．





（A层）12．下列关于代数式x2-4x+8的三个命题：①该代数式的值必定大于8；②该代数式的值必定大于4；③该代数式的值必定大于2．其中是真命题的有____ ___．（填序号）请说明理由．



（A层）13．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC＝25°．
(1)∠1＝ ，∠2＝ ；
(2)请观察∠1、∠2分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个真命题．








（B层）14．一个农妇要过河，随身携带一只小白兔、一篮萝卜和一只饥饿又爱追兔子的狗．她发现系在河边的小船一次只能载她本人和兔子、狗、萝卜其中之一过河，她不能让狗和兔子呆在一起（狗会吓坏可怜的小兔），也不能让小兔和萝卜留在一起（兔子会把萝卜全吃掉），怎么办？请你帮农妇想办法：她怎样来回渡河才能把三样东西安全带到对岸？




（B层）15．定义运算符号“*”的意义为：a*b＝(其中a，b均不为0)．下面有两个结论：①运算“*”满足交换律；②运算“*”满足结合律．其中（ ）
A． 只有①正确 B． 只有②正确
C． ①和②都正确 D． ①和②都不正确












1.3 证明（一）
达标题
1．如图所示，a∥b，∠1为（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°

（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
3．如图，下列推理不正确的是（ ）
A．∵AB∥CD ∴∠ABC+∠C=180° B．∵∠1=∠2 ∴AD∥BC
C．∵AD∥BC ∴∠3=∠4 D．∵∠A+∠ADC=180° ∴AB∥CD
4．如图所示，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=110°，∠2=________．
5．写出一个判断角相等的定理 ．
6．已知∠A=(x-20)°，∠B=(100-3x)°，若∠A、∠B的两边分别平行且方向相同，则x=_____．
7．完成下面的证明过程：
已知：如图，AB∥CD，∠1+∠2＝180°． 求证：CD∥EF．
证明：∵∠1+∠2＝180°（ ）
∠1+∠3＝180°（ ）
∴∠3＝∠2（ ）
又∵AB∥CD（ ）
∴∠3＝∠4（ ）
∴∠2＝∠4
∴CD∥EF（ ）

8．如图所示，AB∥CD，CE平分∠ACD并交AB于E，∠A=118°，求∠AEC的度数．






9．如图，已知直线AB和直线CD被直线EF所截，交点分别为E、F，∠AEF＝∠EFD．
若EM是∠AEF的平分线，FN是∠EFD的平分线．证明：EM∥FN．







拓展题
（A层）10．如图所示，CD⊥AB，垂足为D，点 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)F是BC上任意一点，FE⊥AB，垂足为E，且∠CDG=∠BFE，∠AGD=80°，求∠BCA的度数．






（A层）11．命题“若a是自然数，则代数式(5a+2)(5a+1)+3的值是5的倍数”是真命题还是假命题？如果认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，请给出证明．



（A层）12．如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1=2∠2，则∠1=　 ．


（B层）13．有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（ ）
A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对

（B层）14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC，分别交AC，CD于点E，F，则∠CEF＝∠CFE．请用推理的方法说明它是真命题．






（B层）15．已知∠α=50°，且∠α的两边与∠β的两边互相垂直，画出符合条件的图形并求出∠β的度数．











1.3 证明（二）
达标题
1．如图，△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AC，AB上， 则∠1＋∠2的大小为（ ）
A．130° B．230° C．180° D．310°
2．如图，在△ABC中，∠1是△ABC的一个外角，D是AC上一点，连接BD，下列判断角的大小关系错误的一个是（ ）
A．∠1＞∠2 B．∠1＞∠5 C．∠1＞∠3 D．∠5＞∠4

（第1题） （第2题） （第6题） （第7题）
3．锐角三角形的三个内角是，如果，，，那么这三个角中（ ）
A．没有锐角 B．有1个锐角 C．有2个锐角 D．有3个锐角
4．若三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之比为（ ）
A．4：3：2 B．3：2：4 C．5：3：1 D．3：1：5
5．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠B+∠A=∠C B．∠A：∠B：∠C=2：3：5
C．∠A=2∠B=3∠C D．一个外角等于和它相邻的一个内角
6．如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC=120°，则∠A为（ ）
A．30° B．60° C．80° D．100°
7．如图，已知D是BC上一点，∠B=∠1，则图中与∠2相等的角是 ．
8．如图所示，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27°，∠D=20°，求∠ACB与∠B的度数．






9．已知：如图，E是AB、CD外一点，∠D=∠B+∠E．求证：AB∥CD．









拓展题
（A层）10．如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
（A层）11．如图所示，在锐角△ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
（A层）12．如图所示，四边形ABCD中．求证：∠BDC=∠B+∠A+∠C．
（至少用两种不同的方法证明）
方法1:



方法2：






（B层）13．如图，在△ABC中，BD，CD是两个外角的平分线，且相交于点D．
(1)若∠A＝50°，求∠D的度数；


(2)用∠A表示∠D的度数．


（B层）14．如图，△ABC中，点D，E分别在AB， AC上，将△ADE沿直线DE折叠．
（1）如图①，当A’落在四边形BDEC内部时，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．









（2）如图②，当点A’落在四边形BDEC外部时，探索∠A、∠1、∠2之间的数量关系，并说明理由．








1.4 全等三角形
达标题
1．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形是指能够完全重合的两个三角形 D．所有等边三角形都是全等三角形
2．如图，△ABD≌△CDB，且AB、CD是对应边，下面四个结论中不正确的是（ ）
A．△ABD和△CDB的面积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D． AD=BC, ∠ABD=∠CDB
3．如图，△ABF≌△CDE，则（ ）
A．∠B=∠ECD B．∠FBA=∠ECD C．AF=CE D．AB=CE
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(第2题) (第3题） (第4题） (第5题）
4．如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．∠EAB=∠FAC B．BC=EF C． ∠AFE=∠ACB D． ∠BAC=∠EAB
5．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）
A． 150° B． 180° C． 210° D． 225°
6．如图，△ABC≌△DEF，∠A和∠D是对应角，
那么可知BC=_____，∠ACB=______．
∴BC_____ =EF_____，
即BE=____．
7．如图，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后，得△ADE．
（1）△ABC与△ADE的关系如何？
（2）求∠BAD的度数．


8．如图，△ABC≌△DEF，AB和DE是对应边，∠A和∠D是对应角，找出图中其他的对应边和对应角．




拓展题
（A层）9．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点G，
若∠B=24°，∠CAB=54°，∠DAC=16°，则∠DGB=　　　．






第9题 第10题 第11题
（A层）10．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
（A层）11．若把图形沿AB对折后，点D和点E重合，那么图中有哪几对全等三角形？请表示出来．


（A层）12．下面是4×4的正方形方格图形，如图1所示．在A点有一只蚂蚁沿格线(虚线)爬行到B点，爬行路径正好把大正方形分割成全等的两个图形．请在图2的a、b、c三个4×4正方形方格中分别画出三种不同的走法，把每个大正方形都分成两个全等图形．





图1 图2
（B层）13．如图所示,△ABD≌△ACE,点B与点C是对应点,AD=6cm，AC=4cm，∠ABD=50°，∠E=30°．
求（1）BE的长；（2）∠COD和∠A的度数．





（B层）14．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
（1）当DE=8，BC=5时，线段AE的长为　　　　　　；
（2）已知∠D=35°，∠C=60°，
①求∠DBC的度数；
②求∠AFD的度数．








1.5 三角形全等的判定（一）
达标题
1．下列判断，其中正确的是（ ）
A．三个角对应相等的两个三角形全等
B．周长相等的两个三角形全等
C．周长相等的两个等边三角形全等
D．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
2．周师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是（ ）
A．1根 B．2根 C．3根 D．4根
3．如图，尺规作∠AOB的角平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于点C、D，再分别以点C、D为圆心，大于0．5CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由△OCP≌△ODP从而得两角相等，三角形全等的根据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
4．如图，已知AB=CD，AD=BC，说出∠1=∠2的理由．
解：在_______和_______中

∴____________________（ ）
∴∠1=∠2（ ）
5．如图，已知△ABF≌△DEC，且AC=DF，说明△ABC≌△DEF的理由．
解：∵△ABF≌△DEC
∴AB=________ BF=________
又∵BC=BF+_________，EF=CE+________．
即BC=_________．
在△ABC与△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ ）
6．如图，若AB=DC，AC=DB，可以判定哪两个三角形全等？说明理由．






拓展题
（A层）7．在如图所示的4×4正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ ．
（A层）8．如图，已知AB＝AC，BD＝CD．若∠BDC＝130°，∠ABD＝30°，则∠BAC＝ ．

(第7题) (第8题）

（A层）9．如图所示：
（1）图1中，已知AB=DC，AC=DB，求证：∠A=∠D．
（2）图2中，已知AB=AD，BC=DC，探索：哪两个角必定相等？









（B层）10．如图，已知AC＝AB，AE＝AD，CE＝BD，B，E，D三点在同一条直线上．
(1)求证：∠1＝∠2．
(2)求证：AE平分∠CED．
(3)若CE∥AD，求∠1的度数．





















1.5 三角形全等的判定（二）
达标题
1．下列各组图形中，一定全等的是（ ）
A．两个等边三角形 B．有个角是45°的两个等腰三角形
C．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形
D．各有一个角是40°，腰长都为30cm的两个等腰三角形
2．两边和一角对应相等的两个三角形（ ）
A．全等 B．不全等 C．不一定全等 D．以上判断都不对
3．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC长为8cm，则△ADE的周长为（ ）
A．不能确定 B．8cm C．16cm D．4c
4．如图，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，则图中全等的三角形有（ ）
A．5对 B．6对 C．3对 D．4对

（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
5．根据已知条件，再补充一个条件，使图中的△ABC≌△A’B’C’．
（1）AB=A’B’，AC=A’C’，_______________；（要求用SSS）
（2）AB=A’B’，AC=A’C’，_______________；（要求用SAS）
（3）AB=A’B’，BC=B’C’，_______________；（要求用SAS）
（4）AB=A’B’，∠A=∠A’，_______________．（要求用SAS）
6．如图，要使△ABC≌△ABD，若利用SSS应补 ， ；若利用SAS应补上 ， ．
7．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，DE是AB的中垂线，△BDC的周长为16cm，则BC的长为 ．
8．如图，已知AB=AD，AC=AE，只要找出
∠ =∠ 或∠ =∠ 就可证得
△ ≌△ ，则另外一组对应边为 ，
另外两组对应角为 ， ．


9．如图，AE=CF，∠A=∠C，AD=CB，试说明△ADF≌△CBE．



拓展题
（A层）10．如图，△ABC≌△A’B’C’’，AD、A’D’为△ABC与△A’B’C’′的中线，试说明AD=A’D’ ．






（A层）11．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．







（A层）12．仔细观察右图：
（1）图中的△ABC与△A’B’C’全等吗？
．

（2）由图中的信息，你可以得到的重要结论是：
．

（B层）13．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，则BC上的中线AD
的取值范围是 ．

（B层）14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，延长ED至P，使ED=DP，连接FP与CP，试判断BE+CF与EF的大小关系．






1.5 三角形全等的判定（三）
达标题
1．下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．ASA B．SSA C．SAS D．SSS
2．在△ABC和△DEF中，下列条件中，能根据它判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE, BC=EF, ∠A=∠D B．∠A=∠D,∠C=∠F, AC=EF
C．AB=DE,BC=EF,△ABC的周长=△DEF的周长 D．∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
3．小明给小红出了这样一道题：如图，由AB=AC，∠B=∠C，便可知道AD=AE．这是根据什么理由得到的？小红想了想，马上得出了正确的答案．你认为小红说的理由（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

(第3题) (第4题) (第5题) (第6题)
4．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD、CD，并延长交AC、AB于F、E，则图形中全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5．如图，E是BC边上一点，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，AB＝BC，∠A＝∠CBD，AE与BD交于点O，有下列结论：①AE＝BD；②AE⊥BD；③BE＝CD；④△AOB的面积等于四边形CDOE的面积．其中正确的结论有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
6．如图，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，AC=DF，若使△ABC≌△DEF，则需补充一个条件是 ．
7．如下图，已知∠1＝∠2，∠ABC＝∠DCB．请说明AB＝DC的理由．




8．如下图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．




拓展题
（A层）9．在△ABD和△ACE中，有下列判断：
①AB＝AC；②∠B＝∠C；③∠BAC＝∠EAD；④AD＝AE．
请用其中的三个判断作为条件，余下的一个判断作为结论(用序号?????的形式)，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子，并说明理由．




（A层）10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作AE的垂线CF，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．
（1）试说明：AE=CD；
（2）AC=12cm，求BD的长．




（B层）11．两个大小不同的等腰直角三角板按如下图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）．
（2）猜想CD与BE的位置关系并说明理由．







（B层）12．在△ABC中，∠A＝60°，两条角平分线BD，CE相交于点O，求证：OD＝OE．












1.5 三角形全等的判定（四）
达标题
1．在△ABC中，∠A的平分线交BC于D，则（ ）
A．D是BC的中点 B．D在AB的中垂线上
C．D在AC的中垂线上 D．D到AB和AC的距离相等
2．如图，点D、E分别在AC、AB上，已知AB=AC，添加下列条件，不能说明△ABD≌△ACE的是（ ）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．∠BDC=∠CEB D．BD=CE

（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
3．如图，∠1=∠2，∠C=∠B，下列结论中不正确的是（ ）
A． △DAB≌△DAC B． △DEA≌△DFA C． CD=DE D． ∠AED=∠AFD
4．如图，AC与BD相交于点O，已知AB=CD，AD=BC，则图中全等的三角形有（ ）
A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对
5．如图，已知∠C=∠D，要识别△ABC≌△ABD，需要添加的一个条件是____________．
6．如果点P是三角形三条角平分线的交点，则点P到三角形_______的距离相等．
7．已知AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．




8．在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连结AG，DE⊥AG于点E，BF∥DE交AG于点F，探究线段DE，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．




9．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3， AC=AE，求证：△ABC≌△ADE．











拓展题
（A层）10．如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A． 一处 B． 两处 C． 三处 D． 四处



（A层）11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，试说明：（1）BC=BE；（2）AD+DE=BE．








（B层）12．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，且点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD．








（B层）13．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=8cm，BC=6cm，D为AB的中点．若点P在线段BC上以2cm/s的速度由B向C运动，同时，点Q在线段CA上以a（cm/s）的速度由C向A运动，设运动的时间为t(s)(0小于等于t小于等于3）．
（1）用关于t的代数式表示PC的长度．
（2）若点P,Q的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．
（3）若点P,Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？











1.6 尺规作图
达标题
1．尺规作图的画图工具是（ ）
A．刻度尺、圆规 B．三角板和量角器
C．直尺和量角器 D．没有刻度的直尺和圆规
2．已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段 D．作一条线段等于已知线段的和
3．根据下面给出的条件分别画三角形，那么画出的三角形不一定全等的是（ ）
A．已知两边及它们的夹角 B．已知两角和它们的夹边
C．已知三边 D．已知三角
4．作△ABC的高AD，中线AE，角平分线AF，三者中有可能画在△ABC外的是 ．
5．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是 ．
6．已知∠α，求作一个∠ABC，使得∠ABC=2∠α．





7．如图，已知△ABC，请在∠ABC的平分线上找一点P，使P到B，C两点的距离相等．







8．如图，已知线段及∠α，用直尺和圆规作△ABC，使得BC=，AC=，∠ACB=∠α．















拓展题
（A层）9．利用基本作图，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边及其夹角 B．已知两角及夹边
C．已知两边及一边的对角 D．已知三边
（A层）10．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所做的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个



（A层）11．如图，已知△ABC，AB　
（B层）12．两个城镇A，B与两条公路l1，l2的位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出所有符合条件的点C(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)．







（B层）13．已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40°．
(1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；
(2)你是否还能画出既满足题设条件，又与(1)中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．
(3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个．

（图1） (备用图) (备用图)






第一章三角形的初步知识参考答案
1.1 认识三角形（一）
1．D 2．C 3．D 4．B 5．C 6．A 7．75° 8．16cm,18cm
9．(1)能（2）不能（3）不能（4）能 10．（1）直角三角形（2）钝角三角形 11．1
1.1 认识三角形（二）
1．C 2．A 3．C 4．B 5．D 6．2 7．4 8．图略 9．等积变换可证PF＋PE=8 10．分类，一种情况舍去，三角形三边的长10，10，1 11. （1）∠BOC=125°（2）∠BOC=120°（3）∠BOC=(90+)° 12．2 13． ∠EAD=(β-α) ° ．

1.2 定义与命题（一）
1．C 2．C 3．D 4．B 5．D 6．①③⑤⑥ 7．略 8．略 9．一元三次方程，含有一个求知数且未知数的最高次数为3次的整式方程叫做一元三次方程 10．（6，5） 11．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直 12．p+q=1,-p+q=3,p=-1,q=2,原式=1 13．4个．

1.2 定义与命题（二）
1．C 2．A 3．A 4．D 5．D 6．假 真 7．a＝1 8．3－a 9．(1)假(2)假(3)假 10．答案不唯一，如：若a∥b，b∥c，则a∥c；若a∥b，a∥c则b∥c；
若b∥c，a∥c，则a∥b；若a⊥b，a⊥c，则b∥c；若a⊥b，b∥c，则a⊥c；若b∥c，a⊥c，则a⊥b. 11．(1)假命题．理由：2是偶数，但2不是4的倍数．(2)假命题．理由：∠1＝45°，∠2＝45°，∠1＋∠2＝90°，但∠1＝∠2.(3)假命题．理由：当a＝1，b＝1时，a2＋ab＋b2＝3，而(a＋b)2＝4，∴a2＋ab＋b2≠(a＋b)2.(4)假命题．理由：当锐角为35°，钝角为120°时，它们的和为155°，不是平角． 12．③ 13．(1)∠1＝25°，∠2＝155°(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 14．先把兔子带到对岸，放下兔子自己返回；再把萝卜（狗）带到对岸，放下萝卜（狗），再带上兔子返回；放下兔子，再带上狗（萝卜）到对岸，放下狗（萝卜），独自返回；最后再带上兔子到对岸. 15．选A即①正确②不正确．

1.3 证明（一）
1．C 2．C 3．C 4．70° 5．答案不唯一，如两直线平行，同位角相等 6．30° 7．证明略 8．31° 9．证明略 10．80° 11．真命题 展开提取公因数5 12．80° 13．B 14．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CEF＋∠CBE＝90°，∠DFB＋∠ABE＝90°，∴∠CEF＝∠DFB.∵∠CFE＝∠DFB，∴∠CEF＝∠CFE. 15．相等或互补∠β=50°或130°．

1.3 证明（二）
1．B 2．D 3．A 4．C 5．C 6．B 7．∠BAC 8．∠ACB=110°，∠B=43° 9．证明略 10．C 11．B 12．证明略 13．∠D=65°，∠D=90°- 14．（1）2∠A=∠1+∠2 （2）2∠A=∠1-∠2．

1.4 全等三角形
1．C 2．C 3．C 4．D 5．B 6．EF，∠DFE，EC，EC，CF 7．(1) △ABC≌△ADE（2）∠BAD=30° 8．对应边：AC与DF，BC与EF．对应角：∠B与∠E，∠ACB与∠DFE 9． 70° 10．D 11．3对 △ACD≌△ACE， △BCD≌△BCE， △ABD≌△ABE 12．图略 13．BE=2，（2）∠COD=20°，∠A=100° 14．（1）3（2）∠DBC=25°，∠AFD=130°．

1.5 三角形全等的判定（一）
1．C 2．A 3．B 4．略 5．略 6．∵AB=DC，AC=DB，BC=CB（公共边）∴△ABC≌△DCB（SSS），还可证△ABO≌△DCO 7．315° 8．70° 9．(1)连结BC，可证△ABC≌△DCB（SSS）∴∠A=∠D．（2）∠B=∠D，证明：连结AC，可证△ABC≌△ADC（SSS）∴∠B=∠D． 10．(1)可证△ACE≌△ABD(SSS)．∴∠CAE＝∠BAD.∴∠CAE－∠BAE＝∠BAD－∠BAE，即∠1＝∠2.
(2)∵△ACE≌△ABD，∴∠AEC＝∠ADB.∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADB.∴∠AEC＝∠AED，即AE平分∠CED.(3)∵CE∥AD，∴∠AEC＝∠2.由(2)知∠AEC＝∠AED＝∠ADB，∴∠2＝∠AED＝∠ADB.又∵∠2＋∠AED＋∠ADE＝180°，∴∠2＝∠AED＝∠ADE＝60°.∴∠1＝60°.

1.5 三角形全等的判定（二）
1．C 2．C 3．B 4．C 5．(1)BC=B’C’(2) ∠A=∠A’(3) ∠B=∠B’(4)AC=A’C’ 6．AC=AD,BC=BD; ∠1=∠2,AC=AD 7．6 8．∠BAC=∠DAE或∠DAC=∠BAE,BC与DE, ∠C与∠E, ∠ABC与∠ADE 9．(1) ∵AE=CF∴AE-EF=CF-EF即AF=CE可证△ADF≌△CBE 10．略 11．(1)略(2) ∠BFD=60° 12(1)不全等(2)两边及一边的对角对应相等的两三角形不一定全等. 13. 1＜AD＜4 14.先证△BDE≌△CDP得BE=CP,DE=DP,再由中垂线或证△FED≌△FPD得EF=FP，由CP+CF＞FP得BE+CF＞EF.

1.5 三角形全等的判定（三）
1．B 2．C 3．C 4．C 5．D 6．答案不唯一，如∠A=∠D 7．证△ABC≌△DCB可得AB=DC 8．△AEM≌△ACN, △ABN≌△ADM, △BFM≌△DFN 9．①②③?④或①③④?②或②③④?①.证明略 10． (1) 证△ACE≌△CBD(ASA)．可得AE＝CD.(2)BD＝BC＝AC＝6 cm. 11．(1)△ABE≌△CDF(2)CD⊥BE 12．在BC上取一点F，使BF＝BE，连结OF，先证△BOE≌△BOF(SAS)．再证△COF≌△COD(ASA)．∴OD＝OF＝OE．

1.5 三角形全等的判定（四）
1．D 2．D 3．C 4．D 5．∠ABC=∠ABD或∠CAB=∠DAB 6．三边 7．证明略 8．DE-BF=EF 9．证明略 10．D 11．证明略 12．在BC上截取BF＝AB，连结EF.证△ABE≌△FBE(SAS)．等角的补角相等证∠D＝∠CFE.∴△DCE≌△FCE(AAS)．∴CD＝CF.∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD 13．（1）PC=6-2t(2)全等（3）分两种情况讨论：若PC=BD，6-2t=4,t=1,CQ= at=2=BP,a=2(不合题意，舍去)，若PC=BP，6-2t=2t,t=3/2,CQ=at=4=BD,a=8/3.

1.6 尺规作图
1．D 2．C 3．D 4．高AD 5．SSS 6．作图略 7．作∠ABC的平分线与BC的中垂线交点即为所求点P 8．作图略 9．C 10．D 11．D 12．分别作出AB的垂直平分线与两公路夹角的角平分线，它们的交点即为所求作的点C.由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个，如解图所示 13．(1) 如图，AB=1cm，AC=2cm，△ABC就是所求的三角形.(2)能. 如图，AB=1cm，BD=2cm，△ABD就是所求的三角形.(3)4如图，△ABC中，AB=3cm，AC=4cm；△ABD中，AB=3cm，BD=4cm；△ACE中，AC=4cm，CE=3cm；△ACF中，AC=4cm，CF=3cm.

(第12题解) (第13题解)






































（第1题）

（第14题）

（第13题）

l1

l2

O



（备用图）

E

F

图1

图2

（第9题）

（第8题）

（第7题）





A′



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