6.4 线段的和差(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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浙江版2019-2020学年度七年级数学上册第6章图形的初步知识
6.4 线段的和差
【知识清单】
1. 两条线段的和：如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段叫做另两条线段的和.字母表示：若线段c是线段a与b的和，记作：c=a+b.
2. 两条线段的差：如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫做另两条线段的差.字母表示：若线段a是线段c与b的差，记作：a=cb.
3.注意：两条线段的和或差仍是一条线段.
4.(1)线段的中点：点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫做线段AB的中点.
(2)几何语言：①已知点C是线段AB的中点，
则AC=BC=或AB=2AC=2BC.
②若点C在AB上，且AC=BC=或AB=2AC=2BC，
则点C是线段AB的中点.
5.同样一条线段有三等分点、四等分点、…、n等分点.
6.简单的基本作图：(1)用刻度尺可以画出线段的中点，线段的和、差、倍、分；(2)用圆规可以画出线段的和、差、倍.
7.延长线：延长线段AB是指按从端点A到B的方向延长；延长线段BA是指按从端点B到A的方向延长，这时也可以说反向延长线段AB；关于射线AB，反向延长射线AB.
【经典例题】
例题1、下列说法正确的是(　　)
A. 到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点
B. 两点之间的线段就是这两点的距离
C. 经过两点有一条直线并且只有一条直线
D. 五一小长假小张一家人自驾游，由天津出发到杭州全程路程约1151km，这就是说天津到杭州之间的距离是 1151km.
【考点】线段的和差．
【分析】根据线段中点的定义即可判断各选项．
【解答】A.少了在线段上这一条件，故本选项错误；
B.两点之间的线段的长度才是这两点的距离，故本选项错误；
C.两点确定一条直线，故本选项正确；
D.天津出发到杭州全程约1151km是路程，而不是距离，故本选项错误.
故选C．
【点评】本题考查线段、射线、直线以及有关的概念和性质，属于基础题，熟练掌握线段、射线、直线以及有关的概念和性质是解决问题的关键．
例题2、如图，已知B、C两点把线段AD分成3∶5∶4的三部分，P是AD的中点，若AB=6，求线段AD和线段PC的长．
【考点】线段的长短比较、线段的和差．?
【分析】首先由B、C两点把线段AD分成3∶5∶4的三部分，知AB=AD，即AD=4AB，求出AD的长，再根据P是AD的中点，得出PA=PD=AD，求出AP的长，最后由PC=ACAP，求出线段PC的长．
【解答】∵B、C两点把线段AD分成3∶5∶4的三部分，3+5+4=12，
∴AB=AD，BC=AD，CD=AD
又∵AB=6，
∴AD=4AB=24，
∴BC=AD=10，
∴AC=AB+BC=6+10=16.
∵P是AD的中点，
∴AP=AD=12，
∴PC=ACAP=1612=4．
【点评】利用中点及其它等分点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，提高解决问题的效率，培养学生的数学素养．
【夯实基础】
1．下列四个图中，能表示线段x=(a+cb)的是( )






2．点P在线段AB上，下面四个等式：①AP=PB；②AB=AP+PB；
③AB=2AP；④PB=AB.其中能表示P是线段AB中点的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．若点P是线段AB的四等分点，且AP=12，则AB的长为( )
A．48或24 B．24或16 C．48或16 D．48或24或16

4．如图，C为AB的中点，D是BC的中点，则下列结论正确的个数是( )
①CD=DB=AC；②CD=(ABAC)；③CD=(AC+DB)；④CD=AB；⑤CD=(AB+DB).
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．在线段AB上取一点C，则线段BC与线段AB的大小关系是 ，在线段AB的延长线上取一点C，线段BC与AC的大小关系是 ，在线段AB的反向延长线上取一点C，则线段BC与线段AC的大小关系是 .


6．如图，直线上有四点A，P，Q，B，看图填空：
(1)AQ=_____+PQ=AB_____；
(2)PQ=AQ_____=AB__________；
(3)若AQ=16cm，BP=6cm，AB=18cm，则AQ+BPAB=__ ___．
7．已知点P在直线AB上，线段AB=10cm，(1)若BP=AB，则AP的长度为 4或16 ；
(2)若BP=AP，则AP的长度为 .
8．已知线段a，b.
(1)利用圆规和直尺画一条线段x，使x=2a2b；
(3)利用圆规和直尺画一条线段y，使y=2a+3b.


9．如图，已知线段AB，按下列要求完成作图并回答问题：
(1)完成作图：①延长线段AB到点C，使AC=3AB；②反向延长线段AB到点D，使DB=4AB；③取线段AD的中点P，BC的中点Q.
(2)回答问题：在(1)的条件下：①求AD与BC的关系；②如果AB=2cm，求线段PQ的长．


【提优特训】
10．若线段AB=15cm，PA+PB=19cm，那么下面说法正确的是( )
A．点P在线段AB上 B．点P在直线AB上
C．点P在直线AB外 D．点P在直线AB上或点P在直线AB外
11．在数轴上有A，B，C，D四点，它们表示的有理数分别是，，，，则( )
A．点A是线段CD的中点 B．点B是AC的中点
C．点C是AB的中点 D．点D是BC的中点

12．如图，AB=28，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD∶CB=3∶7，点E在线段CB上，且AC∶CE=7∶2，则DE的长为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
13. 甲地离学校5km，乙地离学校3km，记甲乙两地之间的距离为dkm，则d的取值范围为______．
A．2 km B．8 km C．2 km或 8 km D．2≤d≤8
14．已知线段AB=14，在直线AB上画线段BC=9，则线段AC= ．
15．(1)在一次实践操作中，某人把两根长为19 cm的竹竿绑接成一根长32 cm的竹竿，则重叠部分的长为_____ cm.
(2)若一条长度为2019cm线段截取它的，截取它剩下的，第3次截取它剩下的，依此类推，一直到截取剩下的，则最后剩下的线段的长度为 cm.
(3)如图，三角形ABC中，AB=14cm，AC=12 cm.BC=8 cm，用刻度尺分别作出每条边上的中点D、E、F，连接D、E、F，得到什么图形 三角形 ， 量一量组成这个新图形的各边的长度分别为 ，并求出三角形ABC周长为 与新图形的周长为 ，三角形ABC的周长与新图形的周长的关系是 .






16．如图，①数轴上的点A，B分别表示有理数a，b，则线段AB=______；②当a=5，b=2时，OA=____，OB=_____，AB=_____；③若点x在数轴是且取最小值，则x的取值范围是 .
17．如图，点C，D把线段AB三等分，点P是线段CD上，且AP:PB=2:3，若线段CP的长为
1 cm，求线段AB的长．



18．已知线段AB=7cm，P为线段AB所在平面内一点，请回答下列问题
1、若PA=3cm，PB等于多少时，点P在线段AB上?
2、若PA=10cm ，PB等于多少时，点P在线段AB所在的直线上?
3、若PA=10cm ，PB长在什么范围时，点P不在线段AB所在直线上?



19．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以4 cm/s的速度运动，C是线段PB的中点，AB=32 cm，设点P的运动时间为t s.
(1)当t=3 s时，①AB=____cm；②求线段CB的长；
(2)在运动过程中，若AP的中点为Q，则QC的长是否变化？若不变，求出线段QC的长；若发生变化，请说明理由．




20．如图，点B、C、D在线段AE上，已知AE=14cm，BD=6cm，求图中所有线段的长度和.



21．如图，A、B、C是一条笔直公路上的3个公交公司，A、B之间的路程为120km，A、C之间的路程为50km，现准备在A、B两公交公司之间建一个加油站P，设P、C之间的路程为xkm.
(1)用含x的代数式表示加油站到3个公交公司的路程之和.
(2)若加油站到3个公交公司的路程之和为136km，那么加油站P站应设在何处?
(3)要使加油站P到3个公交公司的路程之和最小， 加油站P站应设在何处?



【中考链接】
22．(2019?模拟) 若点C是线段AB上的点，M，N分别是AC、BC的中点，则ANMC+2NM
= AB.
23．(2019?模拟)如图，已知点P是线段AB的中点，点Q在PB上，若AQ:QB=4:1，PQ=6cm，
求AB的长.



参考答案
1、C 2、B 3、A 4、D 5．AB>BC，BCAC
6、(1)AP、QB (2)AP、AP、QB (3) 4 7、 4或16， 或15 10、D 11、A
12、C 13、D 14、5或23 15、(1) 6 ；(2) 1； (3)三角形，7 cm，6 cm，4 cm，34 cm 17 cm，新图形的周长等于三角形ABC的周长的一半或三角形ABC的周长等于新图形的周长的2倍.
8．解：(1)作法：
①作射线AM，
②在AM上顺次截取AB=BC= a，
③在线段AD上截取AD=DE=b，
则线段EC就是所求的线段x?.
(2)作法：
①作射线AM，
②在射线AM上顺次截取AB=BC =a，
③在射线CM上顺次截取CD=EF=FG=b，
则线段AG就是所求的线段y?.



9．解：(1)所作图形如图所示：
(2)①根据(1)，得AC=3AB，∴BC=2AB，AB=BC，
DB=4AB，AD=3AB，∴AB=AD
∴AD=BC，
即2AD=3BC.
②∵AB=2cm，
∴AD=3AB=6cm，
∴BC=2AB=4cm，
∵点P是线段AD的中点，点Q是线段BC的中点，
∴PA=AD=3cm，BQ=BC=2cm，
∴ PQ=PA+AB+BQ=3+2+2=7cm
16、①ba；②OA=5，OB=2，AB=7；③5≤x≤2 22、
17． 解：∵点C，D把线段AB三等分，
∴AC=CD=DB=AB.
设AB=3a，则AC=a.
∵AP:PB=2:3，
∴AP=AB=×3a=.
∵AP=AC+CP，
∴AP=AC+CP=a+1.
∴= a+1.解这个方程，得a=5.
∴3a=15，∴AB=3a=15(cm)
18．解：1、若PA=3cm，PB=4cm时 点P在线段AB上；
2、若PA=10cm PB=3cm或PB=17cm时，点P在线段AB所在的直线上；
3、若PA=10cm 3cm< PB<17cm时，点P 不在线段AB所在直线上.
19．解：(1)①∵P是线段AB上一动点，沿A→B以4cm/s的速度运动，
∴当t=3 s时，AP=3×4=12cm．
故答案为：12；
②∵AB=32cm，AP=12cm，
∴PB=3212=20cm，
∵C是线段PB的中点，
∴CB=PB=×20=10cm；
(2)不变；
∵AP中点为Q，C是线段PB的中点，
∴QP=AP，PC=PB，
∴QC=QP+PC
=(AP + PB)=AB=16cm．
20． 解：∵AE=14cm，BD=6cm
∴图中所有线段的长度和
=AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
=(AB+BE)+(AC+CE)+ (AD+DE)+(BC+CD)+BD+AE
=AE+AE+AE+AE+BD+BD
=4AE+2BD
=4×14+2×6=68cm.
21．解：(1)如图点P在AB之间①若点P在C公司的左侧，则点P到3个公交公司的路程之和为
PA+PC+PB=50x+x+x+70=(120+x)km；
②若点P在C公司的右侧，则点P到3个公交公司的路程之和为
PA+PC+PB=50+x+x+70x=(120+x)km.
(2)x+120=136，
解这个方程，得x=16.
即车站应设在距C点16公里的地方；
(3)x+120=120
当x等于零时，距离最短.即车站P在C公司.
23．解：设QB=x,
∵AQ:QB=4:1，
∴ AQ=4x,
∴AB=AQ+QB=4x+x=5x.
点P是线段AB的中点,
∴AP=PB=AB=.
∵PQ=6cm，PQ=PBQB,
∴6=x.
解这个方程，得x=4.
∴AB=5x=20.





第8题图(1)






第21题图


第20题图





第21题图












第15题图(3)


C . D.

第8题图(2)

第19题图

第9题图

第16题图

第8题图

第12题图


第23题图

第20题图

第6题图

A . B.

第17题图

第17题图

例题2图

第4题图

第9题图

第19题图



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